金融风险的度量
——久期、凸性及久期缺口模型
赵建群金融风险管理 赵建群
1、直观理解
四项投资的现金流（入）如下
一、久期的概念与推导
t
1
2
3
4
5
6
A B C D
100
100
100
100
200
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
200
200
50
30
150
70
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问题：
如何比较四项投资的风险？
赵建群金融风险管理 赵建群
t
1
2
3
4
5
6
A B C D
100
100
100
100
200
100
100
100
100
100
100
100
40
100
180
120
200
50
30
150
70
90
总量相同
分量不同
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t
1
2
3
4
5
6
A B C D
100
100
100
100
200
100
100
100
100
100
100
100
40
100
180
120
200
50
30
150
70
90
时间跨度相同
各期流量不同
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t
1
2
3
4
5
6
A B C D
100
100
100
100
200
100
100
100
100
100
100
100
40
100
180
120
200
50
30
150
70
90
时间跨度不同
各期流量不同
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思路：
设置一个指标，综合衡量时间跨度和流量大小？
同时体现出对风险因子的敏感性程度？
——久期
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假定某息票债券的基本信息如下：
面值
息票率
到期日
第 期末的现金流
贴现率（即市场基准利率）
2、久期的推导Ⅰ：利息支付采取一年一次方式
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于是有
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或者 公允价值核算的直观表达：
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问题：
市场利率的变化对债券价格 有怎样的影响？
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在贴现率发生较小变化的情况下，根据Taylor展开式，
可得
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其中
称为久期
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考察
是一个以 为权
对时间 t 的加权和
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或者，可以认为
久期是项目或资产的平均回收期
（基于现金流现值的加权）
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考察
表示
当期现金流的折现值/总现金流折现值
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3、久期的经济学解释
将
变形得
或者取其离散形式
（之所以采用 ≈ ，是因为 的推导采取的是Taylor一阶近似，当
利率的变化比较大时，取一阶近似是不对的）
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考察
或者
发现：
久期反映了债券价格对市场利率或贴现率变化的敏感程
度
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例1：
假定某债券的久期为5年，当市场利率为8%时，该债
券的市场价格为120元，如果市场利率升为9%，该债
券的市场价格将发生怎样的变化？
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考察久期公式
当市场利率变化由8%升为9%时，贴现因子（1+y）
的变化比率为(9%-8%)/(1+8%) =%
所以
该债券的市场价格将 下降
%×5=%
即下降为120×(%)=元
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4、修正久期
定义修正久期：
——反映收益率曲线 平移一单位引起债券价格变化
的百分比
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比较
显然
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例2
假定某债券的修正久期为5年，当市场利率为8%时，
该债券的市场价格为120元，如果市场利率升为9%，
该债券的市场价格将发生怎样的变化？
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考察
有：
市场利率绝对上升量为1%，因此债券的市场价格将降
低1%×5=5%
因此债券的市场价格将降为120×(1-5%)=144元
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5、久期的推导Ⅱ：付息方式为半年一次
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6、久期的推导Ⅲ：利息一年支付a次
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二、久期的性质
①息票债券的久期一般小于债券的到期期限
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②零息债券的久期是其到期期限
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③息票债券久期的上限是相应的永久债券的久期
令
则有
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④
分析：
如果债券价值被认为是可以变化的；假定各期的息票利
率同等变动，则显然，该变化对久期无影响（相当于各
期的权未变
暗含假定：T、y与i均无关
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如果债券价值是不变的，在此前提下假定息票利率的变
化，则意味着总的时长发生变化，于是有以下分析
虽然此时Fi已经被消掉，但是，T却成为i的函数
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令
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将 以 表示
然后对 求导
——情况比较复杂，应该根据 和 之间的关系进
行讨论
故课本上的结论有误（见P64结论2）
（进一步的讨论留做课后思考题）
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⑤
分析：
直观分析
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进一步的讨论：
令时间连续，且
则
令
与 无关
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Excel演示
略
综合上述
久期只是一个经验性、粗略性标识指标
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练习
请对 、 做出分析
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三、久期应用的缺陷
如果不同期限的贴现率不同，则久期的衡量精度下降
如果贴现率（或者说市场基准利率）变化幅度比较大，
则久期的衡量精度下降
（为了克服上面的第二种缺陷，引入凸性）
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四、久期缺口模型
1、利率敏感性（资产、负债）价值变化与久期
令利率敏感性资产价值为 ，
则有
其中 为资产的久期
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令利率敏感性负债价值为 ，
则有
其中 为负债的久期
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2、（利率敏感性）净资产增加量为
其中 为久期缺口
为（利率敏感性）资产负债率
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3、基本结论
由
可知：
⑴当 ，即资产平均回收期相对较长时，利率
上升将导致净资产价值下降
⑵当 ，即负债平均回收期相对较长时，利率上
升将导致净资产价值上升
⑶在利率变化方向不确定的情况下，预防利率风险的比
较好的办法，就是力求使
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4、进一步探讨
从久期缺口角度，为了防止利率风险，可行操作包括：
调整利率敏感性资产负债比
调整利率敏感性资产的久期
调整利率敏感性负债的久期
力争使
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五、凸性
1、概念
债券价格变化关于利率变动的更为精确的表达形式
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对
将 即 代入上式
有
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令
则有
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考察
称其凸性
是债券价格对贴现率或利率敏感性的二阶估计
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从 发现
凸性度量了债券面临的利率风险非线性部分，是对久期
估计的校正
当贴现率波动比较大时，这种校正作用更为明显
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2、凸性的性质：
①息票债券的凸性总是正的
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②
简略分析：
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进一步讨论：
在前面的推导中，是假定现金流一定的情况下， 与
呈现反向关系（因此才有了 对 的求导）
现在的问题变为求 对 的导数，意味着可以假定
现金流是变化的（对应地， 也是变化的，同时
是 的函数）
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C 与i无关！
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如果根据课本P66的假定：久期一定，收益率一定
则由
同样可以得到“C与i无关”的结论
T一定
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③
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假定时间连续可微
则
分部积分法
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不妨令
得
思路：采取Excel试算法
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④
⑤
（课后思考题）
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3、对凸性的进一步推导
如果付息方式由一年改为半年，凸性如何推导？
如果付息方式由一年一次改为一年a次，凸性如何推导
？
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利息支付：半年一次
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利息支付：半年一次
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利息支付：半年一次
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利息支付：半年一次
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利息支付：一年支付a次
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4、小结
久期和凸性具有一些基本的、粗略的经验特性
但是这些特性不具备严格的数理基础，因此其普适性受
到怀疑
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例P67
2 8
3 8
10 108
