第 2l卷第 2期 山 东科 技 大 学 学 报 (自然 科 学 版 ) Wo1．21 N02
2 0 0 2年 6月 Journal of Shandong University of Science and Technolcgy(Natural Science) Jun．2002
文章编号：1000—2308(2002)02—0011—03
久期在债券利率风险度量中的应用及修正
杨 文瀚
(山东科技大学 信息科学与工程学院，泰安 271019)
摘 要：介绍了不可赎回债券的麦考莱久期，通过分段考虑贴现率，给出了麦考莱久期两种有效修改形
关键词 ：麦考莱久期 ；远期利率 ；布 朗运动 ；随机利率
中图分类号：F403．8 文献标识码 ：A
Application and M odification of Duration in
M easurement of Interest Rate Risk of Bonds
YANG W en—han
(College of In{o Science and Engg，SUST，Taian 271019，China)
Abstract：This article simply introduces Macaulay’S duration of non—callable bonds，and gives out two
kinds of effective mod ification forms of M acaulay’S duration through considering the discount rate in differ—
ent stages ．
Key words：M acaulay’S duration；forward rate；Brown motion；random rate
在金融市场中，债券的价格决定于预期现金
流的现值 ，它是一系列预期现金流的现值总和。债
券有别于股权投资，一般而言 ，债券具有固定的现
金流和到期 日。
现假定持有某种 71期不可赎回债券 ，债券的
持有者在 t时刻将收到的现金流为 C，(1≤ t≤
)，则债券价格 P与现金流贴现率Y的关系为 ：
P=骞t 1 = ＼1 0-y，
由上式可知 ：现金流与期限均固定 的债券价
格完全由贴现率的高低决定 ，而影响贴现率的主
要因素是市场利率的总体水平，因而利率风险是
债券投资风险的重要组成部分，债券价格对利率
敏感性度量就显得尤为重要。在传统的分析中，一
般用麦考莱久期作为利率变化影响债券价格变化
的敏感度的测度。麦考莱久期的定义如下 ：
。 =耋
不难看出，麦考莱久期等于债券价格对收益率的
一 阶导数，它是包含所有本金利息在 内的现金流
的加权平均期限，其对应于 t时刻的权重等于t时
刻所支付的现值与总现值的比率，由于考虑了现
金流的大小和期 限，从而包含了影响债券价格对
利率的敏感度的所有因素 ，对固定的已知现金流
的债券而言，麦考莱久期代表了价格相对于收益
率变化的敏感性 。它也可以用于估计债券价格相
对于利率变动百分 比的变动，方法是将利率变动
额乘以麦考莱久期的值 。
由麦考莱久期的定义可知，麦考莱久期 的概
念存在一个严重的缺陷：用于所有未来现金流的
收稿 日期 ：2001—10—08
作者简介：扬文瀚(1976一)，男 ，山东青岛人 ，硕士研究生 ，从事金融教学的研究
维普资讯
12 山 东 科 技 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 ) 第 21卷
贴现率是固定的。这一假设限制了其作 为债券利
率风险度量的有效性。
下面给出麦考莱久期的两种有效修改形式。
1 分段考虑贴现率
据利率期限结构的纯预期理论 ，将来 的短期
即期利率是可以预测的，其等于收益曲线隐含的
远期利率 。对于不同时刻的现金流使用不同的贴
现率 ，可以部分克服贴现率固定 的不足。
一 般说来 ，各种债券的定价都是以国库券的
收益曲线为基础 ，这为各种债券提供了基础利率 ，
从国库券的市场信息可获得不同时期的隐含远期
利率。
第一步 ，从国库券的市场价格信息换算 出零
息票利率(即期利率)；设 Pa，为国库券的面值；
为 t时刻的利息值 ；
P 为 年期国库券的市场均衡价 ；r，为t年
期的零息票利率。 t=1，2，⋯
则零息票利率与市场均衡价格 之间的关系
为 ：
， 一 Pl
， rl
— Pl一 ’ 一
=
n-I
+ > -
第二步，由零息票利率换算出隐含的远期利
率：
卜 ． 为第t期隐含远期利率，则
of,= rt．t= 1
H ： ÷ _1’ >1 一‘J 一(1+r
f—1) 一‘一 ’ ／
在债券市场上，如果不同期 限的国库券的品
种是有限的，即只有有限的几个 r，可由市场的实
际价格获得。对于其他的时间期 限 t，贴现率可由
指数插值法获得 ：
： (1+ 。)( )(1+ )( )一l，
t∈ [tl八t2，tl V t2]
rl表示期限为 tl的零息票利率 ；r2表示期限为 f2
的零息票利率 ； 表示期限为 t的零息票利率。
第三步 ， 期债券的修正久期表达式为：
D- ∑
t= l丽 +
P1
(1) (1+
l ) 、
其中：
蓦 +
由上知 ，修正后 的久期公式 (1)是把债券价
格分为 ，z个不同的时间期限来考虑的，因此 ，我们
可用其来度量不同时间期限内的利率发生变化时
对债券价格 的影 响，从而久期公式(1)部分地克
服了麦考久期的不足。
实例分析 ：
以美 国某公司的三年期债券为例 ，此债券面
值为 $1000，息票率为5．3，市场利率为5．2，按修
改以前的久期公式计算其久期如下：
期限 现金流 现金流的现值 t×现金流 的现值
1 53 50．38 50．38
2 53 47 89 95．78
3 1053 904．406 2713．218
总和 1002．676 2859．378
D ≈ 2．852
国库券 的市场信息
期限 面值 收益率 市场均衡价格 零息票利率
1 1000 5．18 950．751 5．18
2 1000 5．23 997．924 5．32
由零息票利率计算出各远期即期利率
oA = 5．18 if2=5．46 2f3= 5．71
按修改后的久期公式计算其久期如下：
期限 现金流 现金流的现值 t×现金流的现值
1 53 50．389 50．389
2 53 47 654 95．308
3 1053 891．415 2674．245
总和 989．458 2819．951
D ≈ 2．849
修改后 的久期变小 了，这样就需要早调整投
资组合，使资产负债的久期相匹配，尽量避免利率
风险损失。
2 考虑随机性
通过研究发现⋯ ：随着时间的推移，利率呈
现出向某个长期平均水平收敛 的趋势，即：当 r，
较高时，它具有负的飘移率 ；当 r，较低时 ，它具有
正的飘移率 ，此种现象称为均值回复。(如图 1)
维普资讯
第 2期 杨文瀚：久期在债券利率风险度量 中的应用及修 正 13
Vasicek提出了短期利率 r，的风险中性过程 ：
drr= a(b—rf)d￡+adzf (2)
其中：a，b， 为常数，a为回复速率 ；b为 回复水
平 ； 为标准差；z 为布朗运动。
对于上述讨论的 期不可赎回债券 ，我们给
出它的另一种久期修正形式 ：
图 l 均值回复
式(2)的显式解为：
rf= roexp(一at)+b[1一exp(一at)]+
rt
aexp(一n￡)J exp(aS)d ，ro为当前利率
令 A r= r0exp(一at)+b[1一exp(一at)]，
广t
B(￡， ) aexp(一n￡)Jnexp(aS)d
贝0 r =A +B(t， )
再求出 t时刻瞬时利率的数学期望作为贴现率：
E[ ]= E[A +B(t， )]=
A +E[B(t， )]=A
令 P2为债券的价格；D2为债券的修正久期
则 P2=∑
t= I
Cr
(1+E[ ]) +
￡Cf ． (c +PⅡ )
P2(1+E[ ]) P2·(1+E[ ])”
由于考虑了利率的随机性 ，使我们对利率的
预测更加接近实际，提高了久期的准确性，从而更
适于对短期债券利率敏感性进行度量。
利率风险是金融机构业绩中由利率变动引起
的变动，利率风险产生于资产负债重新定价时的
错误匹配、期限的影响及其它相关因素。债券的利
率风险监管是一个棘手而又非常重要的问题，久
期作为传统的风险度量方式并不完美 ，需要对其
进行改进 ，本文对此进行 了有益的探索。在利用久
期对利率风险进行管理时 ，要经常调整资产负债
头寸的久期 ，使其保持匹配。需要注意的是 ，当利
率发生较大的变动时 ，还应结合其他的方法对利
率风险进行监管。
参 考 文 献：
[1]约翰·赫尔．期权、期货和衍生证券(中译本)[M]．北
京：科学技术 出版社 ，1999．
[2]安东尼·G·科因，罗伯特·A·克兰，杰斯·莱德曼．利率
风险的控制与管理(中译本)[M]，北京：经济科学出版
社 ．1999．
[3]菲利普·乔瑞，VAR：风险价值——金融风险管理新标
准(中译本)[M]．北京：中信出版社，2000．
[4]约翰 ·马歇尔，威普 尔·班赛儿．金融工程(中译本)
[M]．北京：清华大学出版社，1998．
维普资讯
