标准差
(1)如何通过频率分布直方图估计数字特
征（中位数、众数、平均数）？
快乐回忆
估计众数：频率分布直方图面积最大的方
条的横轴中点数字.（最高矩形的中点）
估计中位数：中位数把频率分布直方图分
成左右两边面积相等.
估计平均数：频率分布直方图中每个小矩
形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之
和.
平均数为我们提供了样本数
据的重要信息,但是,有时平均数也会使我
们作出对总体的片面判断.某地区的统计
显示,该地区的中学生的平均身高为176
cm,给我们的印象是该地区的中学生生长
发育好,身高较高.但是,假如这个平均数
是从五十万名中学生抽出的五十名身高较
高的学生计算出来的话,那么,这个平均数
就不能代表该地区所有中学生的身体素质.
因此,只有平均数难以概括样本数据的实
际状态
所以我们学习从另外的角度来考察样
本数据的统计量——标准差
(1)有甲、乙两种钢筋,现从中各抽取一个标
本（如下表）检查它们的抗拉强度（单位：
kg/mm2）,通过计算发现,两个样本的平均
数均为125.
甲110 120 130 125 120125135125135125
乙115 100 125 130115125125145125145
哪种钢筋的质量较好？
由上图可以看出,乙样本的最小值100
低于甲样本的最小值110,乙样本的最大值
145高于甲样本的最大值135,这说明乙种
钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.
我们把一组数据的最大值与最小值的
差称为极差（range）.由上图可以看出,
乙的极差较大,数据点较分散；甲的极差小,
数据点较集中,这说明甲比乙稳定.运用极
差对两组数据进行比较,操作简单方便,但
如果两组数据的集中程度差异不大时,就不
容易得出结论.
我们先来帮下面这个教练来解决问题,寻
找答案!
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 7 8 8 8 9
乙命中环数 10 6 10 6 8
甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：
⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩；
教练的烦恼
甲
乙⑶ 现要挑选一名射击手参加比
赛，若你是教练，你认为挑
选哪一位比较适宜？为什么？
成绩（环）
射
击
次
序
0 1 2
2
3 4 5
4
6
8
10
⑵ 请根据这两名射击手的成绩在
下图中画出折线统计图；
• 根据计算我们可以知道甲、乙两名射击手
的平均成绩都是8环，但是相比之下,甲射
击手的成绩大部分都集中在8环附近，而乙
射击手的成绩与其平均值的离散程度较大.
通常,如果一组数据与其平均值的离散程度
较小,我们就说它比较稳定.
请同学们进一步思考，什么样的数据能反映一组数
据与其平均值的离散程度？
从上面的表和可以看到，甲的射击成绩与平均
成绩的偏差较小，而乙的较大。那么如何说明
呢？可以直接将各数据与平均值的差进行累加
吗？在下表中写出你的计算结果并进行小结，
可以用它们来比较两组数据围绕其平均值的波
动情况（离散程度）吗？
第一
次
第二
次
第三
次
第四次 第五
次
求和
甲
射击成
绩
7 8 8 8 9
每次成
绩与平
均成绩
之差
乙
射击成
绩
10 6 10 6 8
每次成
绩与平
均成绩
之差
-1 0 0 0 1 0
2 -2 2 -2 0 0
你的小结是什么？能用上面的方法比较
两组数据的波动情况吗？
• 不能，每次相减的差有正有负，求和时可
能同为0，或是其它的同一数字，这样就无
法比较了！
如果将每次的差都平方再求和，能解决上面的问题
吗？试一下……
此时甲求和后为2，乙求和后为16，可以
解决上面的问题。那么这种方法适用于所
有的情况吗？看一下下面的问题，想一想
，算一算，再来给出你的结论吧！
• 如果一共进行了七次射击测试，
而甲因故缺席了两次，怎样比
较谁的成绩更稳定呢？用上面
的方法计算一下填入下面的表
格中，然后想一下这种方法适
用吗？如果不适用，应该如何
改进呢？
1 2 3 4 5 6 7 求和
甲成
绩
7 8 8 8 缺
席
9 缺
席
差
的
平
方
∕ ∕
乙成
绩
10 6 10 6 8 7 9
差
的
平
方
1 0 0 0 1 2
4 4 4 4 0
1 1 18
对，有的同学已经发现了这种方
法在这里看似是适用的，但仔细
想来两组数据并不一样多，这样
对数据多的一组来说不公平！那
么应该怎样解决呢？
求平均数就可以解决了！
标准差：
• s=
通常改用如下公式来计算标准差:
意义：标准差用来表示稳定性,
标准差越大,数据的离散程度就越大,也就越不稳定.
标准差越小,数据的离散程度就越小,也就越稳定.
从标准差的定义可以看出,标准差s≥0,
当s=0时,意味着所有的样本数据都等于样本
平均数.
方差：从数学的角度考虑，人们有
时用标准差的平方s2——方差来代
替标准差，作为测量样本数据分散
程度的工具：
计算公式：
一般步骤：
求平均－再求差－然后平方－最后再平均
例1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点.
(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；
(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；
(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；
(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.
比比谁最快
（1）在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下：
,,,,,,,
去掉一个最高分和一个最低分后,
所剩数据的平均值和方差分别为____________.
（2）若给定一组数据x1,x2,…,xn,方差为s2,
则ax1,ax2,…,axn的方差是____________.
3)在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了
6次测试,测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据
如下：
甲 27 38 30 37 35 31
乙 33 29 38 34 28 36
试判断选谁参加某项重大比赛更合适？
• （1）, （2）a2s2
• (3) ＝33， ＝33,
• 乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适.
显然，在刻画样本数据的
离散程度上，方差与标准
差是一样的.但在解决实际
问题时，一般多采用标准
差.
课堂小结
2.用样本估计总体的两个手段（用样本的频
率分布估计总体的分布；
用样本的数字特征估计总体的数字特征）,
需要从总体中抽取一个质量较高的样本,
才能不会产生较大的估计偏差,且样本容量
越大,估计的结果也就越精确..
1.用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：
用样本平均数估计总体平均数,平均数对数据有“取齐”的作用,
代表一组数据的平均水平.
用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大,估计就越精确,标
准 差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的
幅度.
学案
