标准差概述
标准差是一种表示分散程度的统计观念。标准差已广泛运用
在股票以及共同基金投资风险的衡量上，主要是根据基金净值于
一段时间内波动的情况计算而来的。一般而言，标准差愈大，表
示净值的涨跌较剧烈，风险程度也较大。实务的运作上，可进一
步运用单位风险报酬率的概念，同时将报酬率的风险因素考虑在
内。所谓单位风险报酬率是指衡量投资人每承担 一单位的风险，
所能得到的报酬，以夏普指数最常为投资人运用。
标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观
念。一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异
较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。
例如，两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值
都是 7 ，但第二个集合具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，
做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。
当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重
要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值
做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因
为值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。
标准差的简易计算公式
假设有一组数值 x1, ..., xN （皆为实数），其平均值为：
此组数值的标准差为：
一个较快求解的方式为：
一随机变量 X 的标准差定义为：
须注意并非所有随机变量都具有标准差，因为有些随机变量
不存在期望值。 如果随机变量 X 为 x1,...,xN 具有相同机率，
则可用上述公式计算标准差。从一大组数值当中取出一样本数值
组合 x1,...,xn ，常定义其样本标准差：
范例：标准差的计算
这里示范如何计算一组数的标准差。例如一群孩童年龄的数
值为 { 5, 6, 8, 9 } ：
第一步，计算平均值
n = 4 （因为集合里有 4 个数），分别设为： ，
， ，
用 4 取代 N
此为平均值。
第二步，计算标准差
用 4 取代 N
用 7 取代
标准差与平均值之间的关系
一组数据的平均值及标准差常常同时做为参考的依据。在直
觉上，如果数值的中心以平均值来考虑，则标准差为统计分布之
一"自然"的测量。较确切的叙述为：假设 x1, ..., xn 为实数，定
义其公式
使用微积分，不难算出 σ(r) 在下面情况下具有唯一最小值：
标准偏差与标准差的区别
标准差(Standard Deviation)各数据偏离平均数的距离（离均
差）的平均数，它是离差平方和平均后的方根。用 σ 表示。因此，
标准差也是一种平均数。标准差是方差的算术平方根。 标准
差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相
同。
例如，A、B 两组各有 6 位学生参加同一次语文测验，A 组
的分数为 95、85、75、65、55、45，B 组的分数为 73、72、71、
69、68、67。这两组的平均数都是 70，但 A 组的标准差为
分，B 组的标准差为 分，说明 A 组学生之间的差距要比 B
组学生之间的差距大得多。
标准偏差(Std Dev,Standard Deviation) - 统计学名词。一种量
度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值
的程度。标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。
标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。
标准差的应用分析
标准差在投资决策中的应用[1]
投资是企业生产经营和发展壮大的必要手段。投资者作出投
资决策时，不仅要考虑预期回报，还必须分析比较投资风险。
由于投资风险的客观存在性及其对投资收益的不利性，投资
者在进行投资决策时必须而且也应该对投资风险进行分析，尽可
能地测定和量化风险的大小。
1、用标准差衡量风险大小。此时的标准差计算公式如下：
其中 σ 为标准差，Pi 为期望投资收益率，Pi 为一系列可能性
事件发生的概率，ri 为可能性事件发生时的投资收益。标准差值
越小，说明投资风险越小。
假设投资者要在 A、B 两个项目中选择一个或两个项目进行
投资。估计第二年每个项目的收益率可能有四个结果，每个结果
都有一个确定的概率与之对应。如下表所示，表中 r 为收益率，
p 为收益率实现的可能性。
表 1 A、B 两项目的收益率分布
A 项目 B 项目
r p r p
1
2
3
4
投资项目 A、B 的期望收益率分别为：
计算结果表明，A 项目的期望收益率小于 B 项目。但从收益
率的分布看，A 项目的收益率在 4％～20%之间波动，变动范围
小；而 B 项目收益率从-100％到+100％，变动范围大。收益率的
变动大小反映了风险的大小，收益率变动大，风险就大。根据公
式(3)计算得：σA = %，σB = %。这是不是说明 B 项目的
风险更大呢?从数学角度看，B 项目标准差大可能来源于 B 项目
的各种可能收益都比较大。
2、标准差的局限性。当不同项目的期望回报率相同时，用
标准差衡量风险程度是合适的，否则就不能再用标准差而必须用
一个相对的风险指标。取标准差与期望值的比率 ；，
称为变异系数或标准离差，该值越大反映项目的风险越大。
可以计算项目 A 的变异系数 ,项目 B
的变异系数 。这个时候就可以说 B 项目风险
更大。
标准差在股市分析中的应用[1]
股票价格的波动是股票市场风险的表现，因此股票市场风险
分析就是对股票市场价格波动进行分析。波动性代表了未来价格
取值的不确定性，这种不确定性一般用方差或标准差来刻画
(Markowitz，1952)。下表是中国和美国部分时段的股票统计指标，
其中中国证券市场的数据由“钱龙”软件下载，美国证券市场的数
据取自 ECI 的“world stock Excllarlge Data Disk”。
表 2 股票统计指标
业绩表现 波动率
年份
上证综指 标准普尔指数 上证综指 标准普尔指数
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
通过计算可以得到：
上证综指业绩期望值
≈(+++)/7=
上证波动率期望值≈
标准普尔业绩期望值≈
标准普尔波动率期望值≈
而标准差的计算公式则根据公式(2)计算：
上证综指的业绩标准差
上证波动率标准差≈
标准普尔指数业绩标准差≈
标准普尔波动率标准差≈
因为标准差是绝对值，不能通过标准差对中美直接进行对比，
而变异系数可以直接比较。计算可得：
上证业绩变异系数≈
上证波动率变异系数≈
标准普尔业绩变异系数≈
标准普尔波动率变异系数≈
通过比较可以看出上证波动率变异系数要大于标准普尔波
动率变异系数，说明长期来讲中国股市稳定性相对较差，还是一
个不太成熟的股票市场。
标准差在确定企业最优资本结构中的应用[1]
资本结构指的是企业各种资金来源的比例关系，是企业筹资
活动的结果。最优资本结构是指能使企业资本成本最低且企业价
值最大的资本结构；产权比率，即借入资本与自有资本的构成比
例，是反映企业资本结构的重要变量。企业的资产由债务性资金
和权益性资金组成，但其风险等级和收益率各不相同。根据投资
组合理论，投资的多样化可以分散掉一定的风险，因此资金提供
者需要决定投资于债务性资金和权益性资金的比例。以便在权衡
风险和收益的情况下保证其利益的最大化。
理论探索而外部资金提供者利益的最大化也就是企业价值
的最大化，这一投资比例对于企业融资而言也就是企业的最优资
本结构比例。
假定某企业的资金通过发行债券和股票两种方式获得，并且
都属于风险性资产。σ 其中债券的收益率为 rD，风险通过标准差
σD 来衡量；股票的收益率为 rE，风险为 σE；股票和债券的相关
系数为 pDE，协方差为 COV(rD,rE)；债券所占的比重为 wD，股票
所占比重为 WE(WD + WE = 1)。根据投资组合理论，企业外部投
资者对该企业投资所获的期望收益率为 E(rp) = WDE(rD) +
wEE(rE)，方差为
1、企业债务性资金和权益性资金完全正相关，即相关系数
pDE 为 1。企业外部投资者获得的期望收益率为 E(rp) = wDE(rD) +
wEE(rE)，风险标准差为 σ = wDσD + wEσE,也就是组合的标准差等
于各个部分标准差的加权平均值，通过投资组合不可能分散掉投
资风险。根据投资组合理论，投资组合的不同比例对于投资者而
言是无差异的。
2、企业债务性资金和权益性资金完全负相关，即其相关系
数为-1。投资者获得的报酬率的期望值及其方差分别为
。
根据投资组合理论，只有当投资比例大于 σE / (σD + σE)时其
投资组合才是有效的。对于企业筹资而言，也即企业的权益性资
金的比例大干 σE / (σD + σE)，企业的筹资比例才是有效的，而且
当组合比例为 σE / (σD + σE)时，企业的筹资组合风险为零。
3、企业债务性资金和权益性资金的相关系数大于-1 小于 1。
理论上，一个企业的两种筹资方式之间的相关程度较高，一方面
两种筹资方式都承担系统风险，另一方面它们也承担相同的公司
风险。因此从实践来看，企业的不同筹资方式间的相关程度不可
能是完全的正相关和负相关。对于一个企业而言，债务性资金对
企业有固定的要求权，权益性资金对企业只有剩余要求权，因此
债务性资金的波动不可能像权益性资金的波动那么大。同时企业
的风险会同时影响企业的债务性资金和权益性资金，因此企业的
债务性资金和权益性资金的相关系数不可能为负数。企业不同的
筹资方式间的相关系数一般在 0-1 之间。
那么究竟在什么比例下企业的价值才会达到最大呢?根据投
资组合理论，当 E(r1) > E(r2)，且 时，才能出现 r1，
优于 r2。可见，决定企业资本结构的直接因素主要是不同筹资方
式的收益率和风险以及它们之间的相关系数。
