标准差
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平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测
值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：
算术平均数算术平均数（（arithmetic meanarithmetic mean））
中位数中位数（（medianmedian））
众数众数（（modemode））
几何平均数几何平均数（（geometric meangeometric mean））
调和平均数调和平均数（（harmonic meanharmonic mean））
算术平均数算术平均数（（arithmetic meanarithmetic mean）是指资料中各观测值的）是指资料中各观测值的
总和除以观测值个数所得的商，简称总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数平均数或均数。。
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设某一资料包含设某一资料包含nn个观测值：个观测值： xx11、、xx22、、……、、xxnn，，
则样本平均数可通过下式计算：则样本平均数可通过下式计算：
（（11））
其中，其中，ΣΣ为总和符号；为总和符号； 表示从第一个观测值表示从第一个观测值
xx11累加到第累加到第nn个观测值个观测值xxnn。当。当 在意义上已明确时，可在意义上已明确时，可
简写为简写为ΣΣxx，（，（11）式可改写为：）式可改写为：
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平均数的基本性质
1、样本各观测值与平均数之差的和为零，
即离均差之和等于零。
或简写成
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2 2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均离均
差平方和为最小差平方和为最小。。
( (xxii- )- )2 2 < (< (xxii- a- a))22 （常数（常数a≠ a≠ ））
或简写为：或简写为： < <
对于总体而言，通常用对于总体而言，通常用μμ表示总体平均数，有限总体的平表示总体平均数，有限总体的平
均数为：均数为：
（（22））
式中，式中，NN表示总体所包含的个体数。表示总体所包含的个体数。
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当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数
时，则称此统计量为该总体参数的时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量无偏估计量。。
统计学中常用样本平均数（统计学中常用样本平均数（ ）作为总体平均数）作为总体平均数
（（μμ）的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数）的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数μμ
的无偏估计量。的无偏估计量。
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标准差
标准差的意义
用平均数作为样本的代表，其代表性的强
弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。仅
用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全
面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程
度大小的统计量。
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全距（极差）是表示资料中各观测值变异程
度大小最简便的统计量。但是全距只利用了资
料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料
中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很
多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，
可以利用全距这个统计量。
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为为 了了 准准 确确 地地 表示样本内各个观测值的变异表示样本内各个观测值的变异
程度程度 ，人们，人们 首首 先会考虑到以平均数为标准，求先会考虑到以平均数为标准，求
出各个观测值与平均数的离差，（出各个观测值与平均数的离差，（ ）） ，称为，称为
离均差离均差。。
虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性
质和程度，但因为离均差有正、有负质和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均差之，离均差之
和和 为零，即为零，即ΣΣ（（ ）） = 0 = 0 ，因，因 而而 不不 能能 用离均用离均
差之和差之和ΣΣ（（ ）来）来 表表 示示 资料中所有观测值的资料中所有观测值的
总偏离程度。总偏离程度。
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为了解决离均差有正 、有负，离均差
之和为零的问 题 ， 可先求 离 均 差的绝
对 值 并 将 各 离 均 差 绝对 值 之 和 除以
观 测 值 个 数 n 求 得 平 均 绝 对 离差，
即Σ| |/n。虽然平均绝对离差可以表示
资料中各观测值的变异程度 ，但由于平均
绝对离差包含绝对值符号 ，使用很不方便，
在统计学中未被采用。
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我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均
差有正、有负，离均差之和为零的问题。差有正、有负，离均差之和为零的问题。
先将各个离均差平方，即先将各个离均差平方，即 ( ) ( )22 ，再求，再求离均差离均差
平方和平方和 ，即，即 ，简称，简称平方和平方和，记为，记为SSSS；； 由由
于离差平方和常随样本大小而改变于离差平方和常随样本大小而改变 ，为了消除样本，为了消除样本
大小的影响大小的影响 ，用平方和，用平方和 除除 以以 样样 本本 大大 小，小， 即即
，求出离均差平方和的平均数，求出离均差平方和的平均数
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为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏估计为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏估计
量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，
分母不用样本含量分母不用样本含量nn，而用自由度，而用自由度 n-n-11，， 于是，我于是，我
们们 采采 用统计量用统计量 表示资料的变异程度。表示资料的变异程度。
统计量统计量 称称 为为均方均方（（ mean mean
squaresquare缩写为缩写为MSMS））,,又称又称样本方差样本方差，记为，记为SS22，即，即
S S22= = （（33））
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相应的总体参数叫 总体方差 ，记为σ2。
对于有限总体而言，σ2的计算公式为：
（4）
由于 样本方差 带有原观测单位的 平方
单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异
程度而不作其它分析时 ， 常需要与平均数配
合使用 ，这 时应将平方单位还原，即应求出
样本方差的平方根。统计学上把样本方差 S2
的平方根叫做样本标准差，记为S，即：
（5）
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由于
所以（5）式可改写为：
（6）
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相应的总体参数叫总体标准差，记为
σ。对于有限总体而言，σ的计算公式为：
（7）
在统计学中，常用样本标准差S估计
总体标准差σ。
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标准差的计算方法
对于样本资料 ，可直接利用（5）
或（6）式来计算标准差。
【例】 计算10只辽宁绒山羊产绒量： 450
， 450， 500， 500， 500，550， 550， 550
， 600， 600，650（g）的标准差。
此例n=10，经计算得：Σx=5400，
Σx2=2955000，代入（6）式得：
(g)
即10只辽宁绒山羊产绒量的 标准差 为
。
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标准差的特性标准差的特性
（一）（一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影标准差的大小，受资料中每个观测值的影
响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之
则小。则小。
（二）（二）在计算标准差时，在各观测值加上或减去在计算标准差时，在各观测值加上或减去
一个常数，其数值不变。一个常数，其数值不变。
（三）（三）当每个观测值乘以或除以一个常数当每个观测值乘以或除以一个常数aa，则，则
所得的标准差是原来标准差的所得的标准差是原来标准差的aa倍或倍或11/a/a倍。倍。
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（四）（四）在资料服从正态分布的条件下，资料中约在资料服从正态分布的条件下，资料中约
有有%%的观测值在平均数左右一倍标准差（的观测值在平均数左右一倍标准差（
±S±S）范围内；约有）范围内；约有%%的观测值在平均数左右的观测值在平均数左右
两倍标准差（两倍标准差（ ±2S ±2S）范围内；约有）范围内；约有%%的观的观
测值在平均数左右三倍标准差（测值在平均数左右三倍标准差（ ±3S ±3S）） 范范 围内。围内。
也就是说全距近似地等于也就是说全距近似地等于66倍标准差，可用（全距倍标准差，可用（全距
/6/6）来粗略估计标准差。）来粗略估计标准差。
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