新课填补:
何谓一组数据的极差?
极差反映了这组数据哪方面的特征?
答 一组数据中的最大值减去最小
值所得的差叫做这组数据的极差。
极差反映的是这组数据的变化范
围或变化幅度，也称离散程度
极差只能反映一组数据中两个极值之间的大
小情况，而对其他数据的波动情况不敏感。
乒乓球的标准直径为40mm，质检部门从A、B两厂生产的
乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径了进行检
测。结果如下（单位：mm）：
A厂：，，，，，
，，，，；
B厂：，，，，，
，，，，.
你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢?
1.请你算一算它们的平均数和极差。
2.是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准？
今天我们一起来探索这个问题。
情境一：
甲，乙两名射击手都很优
秀，现只能挑选一名射击
手参加比赛.
若你是教练，你认为挑选
哪一位比较适宜？
教练的烦恼
情境二：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 6 8 8 8 10
乙命中环数 10 6 10 6 8
甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：
⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩；
教练的烦恼
=8（环）
=8（环）
甲x
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 6 8 8 8 10
乙命中环数 10 6 10 6 8
0 1 2
2
3 4 5
4
6
8
10
甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：
成绩（环）
射
击
次
序
⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩；
⑵ 请根据这两名射击手的成绩在
下图中画出折线统计图；
教练的烦恼
他们的极差分别是多少？
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 6 8 8 8 10
乙命中环数 10 6 10 6 8
0 1 2
2
3 4 5
4
6
8
10
甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：
成绩（环）
射
击
次
序
⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩；
⑵ 请根据这两名射击手的成绩在
下图中画出折线统计图；
教练的烦恼
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 6 8 8 8 10
乙命中环数 10 6 10 6 8
0 1 2
2
3 4 5
4
6
8
10
甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：
成绩（环）
射
击
次
序
⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩；
⑵ 请根据这两名射击手的成绩在
下图中画出折线统计图；
⑶ 现要挑选一名射击手参加比
赛，若你是教练，你认为挑
选哪一位比较适宜？为什么？
教练的烦恼
甲射击成绩与平均成绩的偏差的和：
乙射击成绩与平均成绩的偏差的和：
（6-8）+（8-8）+（8-8）+（8-8）+（10-8）=0
（10-8）+（6-8）+（10-8）+（6-8）+（8-8）=0
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 6 8 8 8 10
乙命中环数 10 6 10 6 8
（10-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（6-8）2+（8-8）2=
（6-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（10-8）2=
甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：
乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：
找到啦！有区别了！
8
16
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 6 8 8 8 10
乙命中环数 10 6 10 6 8
上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？
——与射击次数有关！
所以要进一步用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性
设一组数据x1、x2、…、xn中，各数据与它们的平均数
的差的平方分别是(x1－x)2、(x2－x)2 、… (xn－x)2 ，
那么我们用它们的平均数，即用
S2= [(x1－x)2＋ (x2－x)2 ＋…＋ (xn－x)2 ]
1
n
方差的定义：
我们采用各偏差平方的平均数来衡量数
据的稳定性，
即
叫做这组数据的方差（用S2来表示）。
方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.
方差用来衡量一批数据的波动大小
(即这批数据偏离平均数的大小).
S2= [(x1－x)2＋ (x2－x)2 ＋…＋ (xn－x)2 ]
1
n
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 6 8 8 8 10
乙命中环数 10 6 10 6 8
试一试计算甲，乙两组数据的方差
由方差的定义，要注意：
1、方差是衡量数据稳定性的一个统计量；
2、要求某组数据的方差，要先求数据的平均数；
3、方差的单位是所给数据单位的平方；
4、方差越大，波动越大，越不稳定；
方差越小，波动越小，越稳定。
例题精选
例 为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中
抽出10株苗，测得苗高如下（单位：cm）：
甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；
乙：11，16，17，14，13，19， 6， 8，10，16；
问：哪种小麦长得比较整齐？
X甲＝ （ cm）
X乙＝ （cm）
S2甲＝ （cm2）
S2乙＝ （cm2）
因为S2甲< S2乙，所以甲种小麦长得比较整齐。
解:
乒乓球的标准直径为40mm，质检部门从A、B两厂生产的
乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径了进行检
测。结果如下（单位：mm）：
A厂：，，，，，
，，，，；
B厂：，，，，，
，，，，.
你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢?
现在可以判断了吗？试试看。
小试牛刀：
标准差的定义
为了使得与数据单位一致，可用方差的
算术平方根来表示（即标准差）：
，S为标准差。
特殊的：如果方差与标准差为零，说明数据
都没有偏差，即每个数都一样 。
一般来说，一组数据的方差或标准差越小，这组数
据离散程度越小，这组数据就越稳定。
练习：
1.若甲组数据的方差比乙组数据的方差大，那
么下列说法正确的是（ ）
A.甲组数据的平均数比乙组数据的平均数大
B.甲组数据比乙组数据稳定
C.乙组数据比甲组数据稳定
D.甲，乙组的稳定性不能确定
C
练习：
2.一组数据的7、8 、9 、10 、11 、12 、13
的方差是______.标准差是______.
3.已知一组数据-1，x，0，1，-2的平均数
是0，那么这组数据的方差是______.
• 反映数据离散程度的指标是什么？
在一次数学测试中，甲、乙两班的
平均成绩相同，甲班成绩的方差为
42，乙班成绩的方差为35，这样的
结果说明两个班的数学学习状况各
有什么特点？
总结：
若x1，x2，x3，x4，…，xn方差为S
2，
则x1＋a，x2＋a，x3＋a，x4＋a，…，xn＋a的
方差仍是S2，而ax1，ax2，ax3，ax4，…，axn的
方差是a2S2。
若x1，x2，x3，x4，…，xn平均数为x，
则x1＋a，x2＋a，x3＋a，x4＋a，…，xn＋a的
平均数是x+a，而ax1，ax2，ax3，ax4，…，axn
的平均数是ax。
（探究题）已知数据x1、x2、x3、x4、x5的
平均数是2，方差是 ， 那么另一组数据
2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的
平均数和方差分别是（ ）
A、2， B、4，
C、2， D、3，
D
• 已知一组数据ｘ1，ｘ2，…，ｘn的方差
是a。平均数是b则数据ｘ1-4,ｘ2-4,…ｘ
n－4的方差是 ；平均数______.
• 数据 3ｘ1，3ｘ2，…，3ｘn的方差是
。平均数是_______.
• 数据3ｘ1－４，3ｘ2－４，…，3ｘn－
４
• 方差是＿＿＿＿＿.平均数是________.
a b-4
9a 3b
3b-49a
今天我们一起探索了数学的有关什么
知识？你取得了哪些收获？
①平均数是反映一组数据总体趋势的指标，方差、
标准差均是表示一组数据离散程度的指标.
②计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差，
平方后，再平均”.
.方差和标准差的区别与联系：
联系：
方差和标准差都是用来衡量（或描述）一组数据偏
离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比
较两组数据的波动情况。
区别：
方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的
方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映
一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据
的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况
更敏感的指标。
在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数
据的波动大小。
标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据
单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同。
极差、方差和标准差的区别与联系：
联系：极差、方差和标准差都是用来衡量
（或描述）一组数据偏离平均数的大小（即
波动大小）的指标，常用来比较两组数
据的波动情况。
区别：极差是用一组数据中的最大值与最
小值的差来反映数据的变化范围，主要反
映一组数据中两个极端值之间的差异情况，
对其他的数据的波动不敏感。
方差是用“先平均，再求差，然后平方，最
后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组
数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值
离散程度的一个重要指标，每个数年据的变化
都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动
情况更敏感的指标。在实际使用时，往往计算
一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小。
标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单
位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原
数据单位相同。
观察下面的图，指出其中谁的标准差较大，
并说说为什么．
