蒙特卡罗算法 Monte Carlo
一、Monte Carlo历史渊源
Monte Carlo 方法的实质是通过大量随机试验，利用概率论解决问题的一种
数值方法，基本思想是基于概率和体积间的相似性。它和 Simulation 有细微区
别。单独的 Simulation 只是模拟一些随机的运动，其结果是不确定的；Monte
Carlo在计算的中间过程中出现的数是随机的，但是它要解决的问题的结果却是
确定的。
二、Monte Carlo方法适用用途
（一）数值积分
计算一个定积分，如 ，如果我们能够得到 f(x)的原函数 F(x)，那
么直接由表达式: F(x1)-F(x0)可以得到该定积分的值。但是，很多情况下，由
于 f(x)太复杂，我们无法计算得到原函数 F(x)的显示解，这时我们就只能用数
值积分的办法。如下是一个简单的数值积分的例子。
数值积分简单示例
如图，数值积分的基本原理是在自变量 x的区间上取多个离散的点，用单个
点的值来代替该小段上函数 f(x)值。
常规的数值积分方法是在分段之后，将所有的柱子（粉红色方块）的面积全
部加起来，用这个面积来近似函数 f(x)（蓝色曲线）与 x 轴围成的面积。这样
做当然是不精确的，但是随着分段数量增加，误差将减小，近似面积将逐渐逼近
真实的面积。
Monte Carlo 数值积分方法和上述类似。差别在于，Monte Carlo 方法中，
我们不需要将所有方柱的面积相加，而只需要随机地抽取一些函数值，将他们的
面积累加后计算平均值就够了。通过相关数学知识可以证明，随着抽取点增加，
近似面积也将逼近真实面积。
在金融产品定价中，我们接触到的大多数求基于某个随机变量的函数的期望
值。考虑一个欧式期权，假定我们已经知道在期权行权日的股票服从某种分布
（理论模型中一般是正态分布），那么用期权收益在这种分布上做积分求期望即
可。
（二）随机最优化
Monte Carlo在随机最优化中的应用包括：模拟退火(Simulated Annealing)、
进化策略(Evolution strategy)等等。一个最简单的例子是，已知某函数，我们
要求此函数的最大值，那么我们可以不断地在该函数定义域上随机取点，然后用
得到的最大的点作为此函数的最大值。这个例子实质也是随机数值积分，它等价
于求此函数的无穷阶范数（ -Norm）在定义域上的积分。
由于在金融产品定价中，这部分内容用的相对较不常见，所以此课程就不介
绍随机最优化方法了。
三、Monte Carlo形式与一般步骤
（一）积分形式
做 Monte Carlo时，求解积分的一般形式是：
X 为自变量，它应该是随机的，定义域为(x0, x1)，f(x)为被积函数，ψ(x)
是 x的概率密度。在计算欧式期权例子中，x为期权到期日股票价格，由于我们
计算期权价格的时候该期权还没有到期，所以此时 x 是不确定的（是一随机变
量），我们按照相应的理论，假设 x的概率密度为ψ(x)、最高可能股价为 x1(可
以是正无穷）、最低可能股价为 x0（可以是 0），另外，期权收益是到期日股票
价格 x和期权行权价格的函数，我们用 f(x)来表示期权收益。
（二）一般步骤
我将 Monte Carlo分为三加一个步骤：
1．依据概率分布ψ(x)不断生成随机数 x, 并计算 f(x)
由于随机数性质，每次生成的 x的值都是不确定的，为区分起见，我们可以
给生成的 x赋予下标。如 xi表示生成的第 i个 x。生成了多少个 x，就可以计算
出多少个 f(x)的值
2．将这些 f(x)的值累加，并求平均值
例如我们共生成了 N个 x，这个步骤用数学式子表达就是
3．到达停止条件后退出
常用的停止条件有两种，一种是设定最多生成 N 个 x，数量达到后即退出，
另一种是检测计算结果与真实结果之间的误差，当这一误差小到某个范围之内时
退出。
有趣的类比：积分表达式中的积分符合类比为上式中累加符号，dx类比为
1/N（数学知识告诉我们积分实质是极限意义下的累加；f(x)还是它自己，积
分中的ψ(x)可类比为依据ψ(x)生成随机数
4．误差分析
Monte Carlo 方法得到的结果是随机变量，因此，在给出点估计后，还需要
给出此估计值的波动程度及区间估计。严格的误差分析首先要从证明收敛性出发，
再计算理论方差，最后用样本方差来替代理论方差。在本课程中我们假定此方法
收敛，同时得到的结果服从正态分布，因此可以直接用样本方差作区间估计。详
细过程在例子中解释。
这个步骤的理论意义很重要，但在实际应用中，它的重要性有所淡化，倘若
你的老板不太懂这些知识，你报告计算结果时可以只告诉他点估计即可。
注意，前两大步骤还可以继续细分，例如某些五大步骤就是将此处的前两步
细分成四步。
四、最简单的例子
举个例子:
计算从 函数从 0到 2的定积分值 。
数学方法：我们已知 的原函数是 ，那么定积分值就是：
= 。计算这个数值可以在 Matlab中输入代码：
exp(2)-exp(0)
上面得到的值是此不定积分的真实值。
常规数值积分：在 区间内取 N个点，计算各个点上的函数值，然后用
函数值乘以每个区间宽度，最后相加。Matlab代码：
N=100;x=linspace(0,2,N);sum(exp(x).*2/N)
试着调大 N的值，你会发现，最后的结果将更接近真实值。
Monte Carlo数值积分法：在 内随机取 N个点，计算各个点上的函数
值，最后求这些函数值的平均值再乘以 2（为何要乘以 2 在后面小节详细讲）。
看 Matlab代码：
N=100;x=unifrnd(0,2,N,1);mean(2*exp(x))
同样的，通过增大 N，这种方法得到的结果也将越来越接近真实值。
解释
这个例子要求的积分形式是： ， 还不完全是 形式，我们
先做变换， ，这里 是 f(x)；1/2 是ψ(x)，它表示，在取值范围
(0,2)区间内，x服从均匀分布。
前一例子共三条语句，逐句解释如下：
N=100;
设定停止条件，共做 N次 Monte Carlo模拟。
x=unifrnd(0,2,N,1);
按照(0,2)区间均匀分布概率密度对 x 随机抽样，共抽取 N 个 xi。此句相当
于第一个步骤中的前半部分。
mean(2*exp(x))
2*exp(x)作用是对每个 xi计算 f(xi)的值,共可得到 N个值，这个相当于第一
个步骤后半部分；Mean()函数的作用是将所有的 f(xi)加起来取平均值，相当于
第二个步骤。
这段代码中的停止条件隐含于 N值设定中，它一次性生成 N个 x值，完成此
次计算后整个程序就结束了。
五、Monte Carlo方法的优点
对比前面常规数值积分和 Monte Carlo数值积分代码，同样数量的 N值——
也就意味这几乎相同的计算量——常规数值积分结果的精确度要高于 Monte
Carlo数值积分的结果。那么，我们为何还需要用 Monte Carlo来算数值积分呢？
答案的关键在于，常规数值积分的精度直接取决于每个维度上取点数量，维
度增加了，但是每个维度上要取的点却不能减少。在多重积分中，随着被积函数
维度增加，需要计算的函数值数量以指数速度递增。例如在一重积分
中，只要沿着 x轴取 N个点；要达到相同大小的精确度，在 s重积
分 中，仍然需要在每个维度上取 N
个点，s个纬度的坐标相组合，共需要计算 Ns个坐标对应的 f()函数值。取点越
多，会占用计算机大量内存，也需要更长运算时间，最终导致这种计算方法不可
行！
Monte Carlo 方法却不同，不管是积分有多少重，取 N 个点计算的结果精确
度都差不多。因此，即使在一重积分的情形下，Monte Carlo方法的效率比不过
常规数值积分，但随着积分维度增加，常规数值积分的速度呈指数下降，Monte
Carlo方法的效率却基本不变。经验表明，当积分重数达到 4重积分甚至更高时，
Monte Carlo方法将远远优于常规数值积分方法。
现在回到金融产品定价，欧式期权理论定价公式只需要一重积分，此时 Monte
Carlo方法的效果不明显，但是如果我们考虑一个亚式期权：期限为 1年期，期
权价格基于此 1年内每天某个时点时的价格，全年共 252个交易日，这样此亚式
期权理论定价公式是一个 252 重积分。常规的数值积分方法，需要取 N252个点，
这个数有多大，你自己去计算一下就知道了（注意：N 取值要远远大于 2），常
规数值积分方法不可行，只能用 Monte Carlo。
综上，如果计算高维度多重积分，如路径依赖的 exotic options（奇异期权）
等金融产品定价，我们一般用的方法都是 Monte Carlo。
六、Monte Carlo方法原理
Monte Carlo 方法计算的结果收敛的理论依据来自于大数定律，且结果渐进
地（Asymptotically）服从正态分布的理论依据是中心极限定理。
以上两个属性都是渐进性质，要进行很多次抽样，此属性才会比较好地显示
出来，如果 Monte Carlo 计算结果的某些高阶距存在，即使抽样数量不太多，这
些渐进属性也可以很快地达到。
这些原理在理论上意义重大，但由于我们一般遇上的 Monte Carlo问题都是
收敛的、结果也都是渐进正态分布，所以工作中使用时可以不加考虑。
