层次分析法（Analytic Hierarchy
Process简称AHP）是将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，
在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡
大学教授萨蒂于本世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国
家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评
价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
层次分析法定义
所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标
分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，
通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标
（多指标）、多方案优化决策的系统方法，称为层次分析法。
层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的
备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的
办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和
的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最
优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一
特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一
层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价
指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判
断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某
一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。
层次分析法的基本步骤
建立层次结构模型
在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地
分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响
，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常
只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，
通常为准则或指标层。当准则过多时(譬如多于9个)应进一步分解出子准则层
。
构造成对比较阵
从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层
诸因素，用成对比较法和1—9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。
计算权向量并做一致性检验
对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标、
随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量(归一化
后)即为权向量：若不通过，需重新构追成对比较阵。
计算组合权向量并做组合一致性检验
计算最下层对目标的组合权向量，并根据公式做组合一致性检验，若检验通
过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重
新构造那些一致性比率较大的成对比较阵。
美国运筹学家于20世纪70年代提出的层次分析(AnalyticHi~hyProces
s，简称AHP方法)，是对方案的多指标系统进行分析的一种层次化、结构化
决策方法，它将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化。应用这
种方法，决策者通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间
进行简单的比较和计算，就可以得出不同方案的权重，为最佳方案的选择提
供依据。运用AHP方法，大体可分为以下三个步骤:
步骤1:分析系统中各因素间的关系，对同一层次各元素关于上一层次中某一
准则的重要性进行两两比较，构造两两比较的判断矩阵;
步骤2:由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行判断矩阵
的一致性检验;
步骤3:计算各层次对于系统的总排序权重，并进行排序。最后，得到各方案
对于总目标的总排序[441。
下面分述上述三个步骤的实现过程。
构造判断矩阵
层次分析法的一个重要特点就是用两两重要性程度之比的形式表示出两个方
案的相应重要性程度等级。如对某一准则，对其下的
个方案进行两两对比，并按其重要性程度评定等级。记为第 和第
因素的重要性之比，表3列出Saaty给出的9个重要性等级及其赋值。按两两比
较结果构成的矩阵 称作判断矩阵。判断矩阵 具有如下性质：
, 且 / ( =1,2,… ) 即 为正互反矩阵
表3 比例标度表
因素比因素 量化值
同等重要 1
稍微重要 3
较强重要 5
强烈重要 7
极端重要 9
两相邻判断的中间值 2，4，6，8
计算权重向量
为了从判断矩阵中提炼出有用信息，达到对事物的规律性的认识，为决策提
供出科学依据，就需要计算判断矩阵的权重向量。
定义：判断矩阵 ，如对 … ，成立 ，则称 满足一致性，并称
为一致性矩阵。
一致性矩阵A具有下列简单性质:
1、 存在唯一的非零特征值 ,其对应的特征向量归一化后 记为
，叫做权重向量，且 ；
2、 的列向量之和经规范化后的向量，就是权重向量；
3、 的任一列向量经规范化后的向量，就是权重向量；
4、对
的全部列向量求每一分量的几何平均，再规范化后的向量，就是权重向量。
因此，对于构造出的判断矩阵，就可以求出最大特征值所对应的特征向量，
然后归一化后作为权值。根据上述定理中的性质2和性质4即得到判断矩阵满
足一致性的条件下求取权值的方法，分别称为和法和根法。而当判断矩阵不
满足一致性时，用和法和根法计算权重向量则很不精确。
一致性检验
当判断矩阵的阶数
时，通常难于构造出满足一致性的矩阵来。但判断矩阵偏离一致性条件又应
有一个度，为此，必须对判断矩阵是否可接受进行鉴别，这就是一致性检验
的内涵。
定理:设 是正互反矩阵 的最大特征值则必有 ,其中等式当且仅当
为一致性矩阵时成立。
应用上面的定理，则可以根据 是否成立来检验矩阵的一致性，如果 比
大得越多，则 的非一致性程度就越严重。因此，定义一致性指标
（1）
CI越小，说明一致性越大。考虑到一致性的偏离可能是由于随机原因造成的
，因此在检验判断矩阵是否具有满意的一致性时，还需将C屿平均随机一致
性指标RI进行比较，得出检验系数CR，即
（2） 如果
，则认为该判断矩阵通过一致性检验，否则就不具有满意一致性。
其中，随机一致性指标RI和判断矩阵的阶数有关，一般情况下，矩阵阶数越
大，则出现一致性随机偏离的可能性也越大，其对应关系如表4:
表4 平均随机一致性指标RI标准值
矩阵阶数 3 4 5 6 7 8 9
RI
可见，AHP方法不仅原理简单，而且具有扎实的理论基础，是定量与定性方
法相结合的优秀的决策方法，特别是定性因素起主导作用的决策问题。
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