第4章
贴现现金流量估价
重要概念与技能
• 会计算多期现金流量的终值 (FV) (现金流量CF)
• 会计算多期现金流量的现值 (PV)
• 会计算贷款支付额 (PMT or pmt)
• 会求解贷款利率 (r or R)
• 了解利率是怎么报价的
• 理解贷款的分期偿还方式
6F-2
本章大纲
• 多期现金流量的终值与现值
• 等额现金流量的估值：年金 (annuity) 与永续年
金 (perpetuity)
• 利率的比较：利息的影响
• 贷款类型与贷款的摊还
6F-3
多期现金流量的终值– 例
• 解出每笔现金流量在第3年末的价值，然后将
它们加总起来
目前 (第0年): FV = 7000()3 = 8,
第1年: FV = 4,000()2 = 4,
第2年: FV = 4,000() = 4,320
第3年: value = 4,000
在第3年末的价值合计 = 8, + 4, + 4,320 +
4,000 = 21,
• 在第4年末的价值 = 21,() = 23,
6F-4
多期现金流量的终值 – 例2
• 假定你今天将$500投资于某共同基金，
1年后再投入$600。如果该共同基金的
投资报酬率为 9%，则2年后你一共可
取出多少钱？
FV = 500()2 + 600() = 1,
6F-5
多期现金流量的终值 – 例2（续）
• 如果你没有再继续投入了，但等到第5
年末才将投资连本带利取出，则一共
可以取出多少钱？
• 第一种方法：
FV = 500()5 + 600()4 =
1,
• 第二种方法 – 直接利用第2年末的价值：
FV = 1,()3 = 1,
6F-6
多期现金流量的终值 – 例3
• 假定你在第1年年末向某帐户中存了
100元，然后又在第3年年末向该帐户
中存入300元，如果利息率为8%，则
在第5年年末你将得到多少钱？
FV = 100()4 + 300()2 = +
=
6F-7
多期现金流量的现值 –例
• 先求出每笔现金流量的现值，然后将它们汇
总：
第1年现金流量的现值: 200 / ()1 =
第2年现金流量的现值: 400 / ()2 =
第3年现金流量的现值: 600 / ()3 =
第4年现金流量的现值: 800 / ()4 =
现值合计 = + + +
= 1,
6F-8
例的时间轴图示
0 1 2 3 4
200 400 600 800
1,
6F-9
多期现金流量的现值 – 例2
• 您正在考虑一项投资计划，它将在一年后
回报您1000元，两年后回报您2000元，三
年后回报您 3000元。 如果您希望您的投资
回报率不低于10%， 则对这项投资您最多
应该投入多少钱？
PV = 1000 * ()-1 =
PV = 2000 * ()-2 =
PV = 3000 * ()-3 =
6F-10
决策，决策
• 经纪人劝说您投资于一项非常划算的项目: 他
说，如果您现在投资100元，则在1年后您就
能收回40元，2年后再收回75元。如果您的
这种类似风险项目要求的报酬率为15%的话，
则您应该采纳该经纪人的投资建议吗？
计算如果投资的话，所得回报的现值
PV = 40*(1+15%)-1+75*(1+15%)-2 =
由于 < 100，因此您不应听从经纪人的
投资建议
6F-11
养老储蓄
• 有人向您提供了一个养老储蓄的机会，
如果您现在投入一笔钱，该储蓄机会将
在40年后连续5年每年向您支付
$25,000。如果您要求的投资报酬率为
12%，则面对这个投资机会，您需要投
入多少钱？
6F-12
养老储蓄：时间轴图示
0 1 2 … 39 40 41 42 43 44
0 0 0 … 0 25K 25K 25K 25K 25K
注意，在第0年的现金流量为0 (CF0 = 0)
第1 – 39年末的现金流量也为 0
第40 – 44年每年年末的现金流量均为25,000
6F-13
快速测试 I
• 假定你正在考虑如下现金流量：第1年CF1
= $100; 第2年和第3年CF2=CF3 = $200;
第4年和第5年CF4 =CF5 = $300。你要求
的必要报酬率是 7%。
上述现金流量在第5年末的价值是多少？
上述现金流量在现在的价值是多少？
上述现金流量在第3年末的价值是多少？
6F-14
年金与永续年金的定义
• 年金 – 等额并定期发生、但次数有限的收支
如果第1次现金流量发生在第1期期末，称为普
通年金 (ordinary annuity)
如果第1次现金流量发生在第1期期初，则称为
预付年金/期初年金 (annuity due)
• 永续年金 (perpetuity) – 等额并定期发生、
且次数无限一直持续下去的现金流量
6F-15
年金与永续年金 – 基本公式
• 永续年金: PV = C / r
• 普通年金:
6F-16
年金 – 例
• 公式：
6F-17
年金 – 彩票的例子
• 假定你赢得了出版商交易所$1000万的彩金
，这笔彩金将在未来的30年里每年支付给
你$333,。如果适用的贴现率为5%,
问：这笔彩金在今天的价值实际上是多少
？
PV = 333,[1 – 1/] / .05 =
5,124,
6F-18
例：买房计划
• 假定您正计划买一套房子，已经准备好了
$20,000用作首付和贷款手续费。假定贷
款需要的手续费为贷款额的4%。你目前的
年薪为$36,000, 按银行要求，您的月供不
得超过您月收入额的28%。目前的银行的
30年期固定利率贷款利率为每年6%，按
月计算复利（即每月%) 。按目前的状
况，银行会愿意贷款多少给你？你可以承
受的最高房价是多少？
6F-19
例：买房计划（续）
• 银行贷款
您的月收入额 = 36,000 / 12 = 3,000
最高月供额 = .28(3,000) = 840
按最高月供额计算的现值PV = 840[1 –
1/] / .005 = 140,105
• 房屋总价格
借款手续费 = .04(140,105) = 5,604
首付款 = 20,000 – 5604 = 14,396
房屋总价格 = 140,105 + 14,396 = 154,501
6F-20
快速测试II
• 如果你知道某笔贷款的月供额，想了
解这笔贷款的本金，需要计算现值还
是终值？
• 希望在退休后每月还能收到5000元，
连续25年，如果你的投资报酬率是每
月%，则在退休时你应该在账户
中存入多少钱才够？
6F-21
求解年金额
• 假定您希望借入20,000元买一辆新
车，借款利率为每年8% ，分4年按
月等额偿还，则您的月供将为多少
？
C =
6F-22
求解支付次数(期数） – 例
• 根据公式，应用对数计算知识
1,000 = 20(1 – 1/) / .015
.75 = 1 – 1 /
1 / = .25
1 / .25 =
t = ln(1/.25) / ln() = 月 = 年
• 而且，这个答案的前提是你不能再有额外透支哦！
PV=$1000; C=$20/月; r=%/月. 求 t ?
6F-23
求解支付次数(期数）– 另一个例题
• 假定你以5%的利率借入了$2,000借款，你
打算今后每年还$，直至还清全部借
款为止。请问：你需要多长时间才能还清欠
款呢？
2,000 = (1 – 1/) / .05
.136161869 = 1 – 1/
1/ = .863838131
=
t = ln() / ln() = 3年
6F-24
求解贴现率
• 假定你向父母借款$10,000以买一辆新车，
你向他们承诺在未来的60个月内，将每月
偿还给他们 $ 。问：这笔借款所隐
含的月利率为多少？
求解贴现率 = .75%
6F-25
快速测试III
• 如果希望在今后5年中每个月都能收到$5,000，在投
资月利率为%的水平下，你需要现在就一次性
地投入多少钱？
• 如果你现在只有$200,000，则为了实现上述目标，
你所选择的投资项目必须具有多高的月投资回报率
才行？
• 假定你有$200,000可供投资，每月的报酬率为
%。
如果投资后每月都取出$5,000的话，可以连续取款
多少个月？
如果在投资后5年内每个月都取出一笔相当金额的
钱，则每个月可以取款的最高金额是多少？
6F-26
年金的终值
• 假定你从现在开始每年在养老金账户
里存入2000元用作今后养老，存款利
率为%，那么40年以后你可以一次
性地取出多少钱？
终值
= 454,
6F-27
期初年金
• 假定你正在存钱准备买房， 你计划每
年存10,000元，存款利率 为8%。今
天就进行了第一次存款。问：到第3年
年末你一共能存到多少钱？
6F-28
= 35,
期初年金的时间轴图示
0 1 2 3
10000 10000 10000
32,464
35,
6F-29
永续年金 – 例
• 永续年金的计算公式： PV = C / r
• 当前的必要报酬率
40 = 1 / r
r = .025 or % / 每季度
• 新优先股的股利为：
100 = C / .025
C = / 每季度
6F-30
快速测试 IV
• 假定你希望在35年后退休时能够有100万元
可供花费，你现在的投资报酬率是每月1%
，则从本月末开始，每个月你至少要存多少
钱才能够实现这个目标？
• 如果你从现在就开始存钱呢？
• 你正在考虑是否投资于一种每季度支付
元股利的优先股，如果你的期望报酬率为每
季度3%，那么对这种股票，你最多可以付
多少钱购买？
6F-31
互联网上的例子
如果你刚继承了$500万元，把它们用来投资，当
投资报酬率为6%时，你在未来的40年中，每年
(期初)可以取出多少钱来？
可解出每年的取款额 = $313,
6F-32
增长年金
定义；每期支付额按固定比率增长、有固定
到期日的一系列现金流
6F-33
增长年金: 例
一项固定收益退休金计划承诺将连续40年以
$20,000为基准，每年按3%的增长率支付养
老金。如果贴现率为10%的话，该计划在退
休当年的价值是多少？
6F-34
增长型永续年金
定义：指一系列将一直持续支付下去并不断
增长的现金流量
6F-35
增长型永续年金：例
某公司下一年度的预计股利水平为每股
$，并将按 5%的速度一直增长下去。
如果贴现率为10%，这种股利现金流的价
值是多少呢？
6F-36
实际年利率(EAR)
• 实际年利率：当计息期小于1年时的真实年投资报酬率
• 如果需要对两个计息期不同的备选投资方案进行比较，
则应该计算出方案的实际年利率，然后再展开比较。
注意不能用名义利率(nominal rate / APR)直接比较
当【计息期 = 1年】时，名义利率=实际利率
当【计息期 < 1年】时，实际利率>名义利率
6F-37
年百分率（APR）
• 是法定的报价利率
• 根据定义，APR = 计息期利率 * 1年中复利的次数
• 因此，也可以根据上式求解计息期利率：
计息期利率 = APR / 1年中复利的次数
• 注意：千万不能用实际年利率来除以1年中复利的
次数，这样计算得到的不是计息期利率
6F-38
APR的计算
• 如果按每月%计算利息，那么年百分率为多少？
%*(12) = 6%
• 如果按每半年%计算利息，那么年百分率是多少？
%*(2) = 1%
• 如果年百分率为12%，按月计算利息，那么请问每月的利率
水平有多高？
12% / 12 = 1%
6F-39
需要记住的几个点
• 始终记住：计算时选用的利率水平要与计息
期长短保持一致！
如果以1年为计息期，则应当使用年利率
如果每个月计息一次，则应当使用月利率
• 如果知道按月计息的年百分率，则需要先将
其换算为月利率再开始资金时间价值的计算；
或者，如果计息期另有不同，也应当先调整
利率水平与计息期长短一致后，再开始具体
的计算过程。
6F-40
EAR的计算 – 例
• 假定您有1美元，每月投资报酬率为1%，
您的年度名义投资报酬率为多少？
• 1%*12 = 12%
您的年度实际投资报酬率为多少？
• EAR = 1*(1+1%)12 -1= %
• 假定您将这1美元投资到另一个账户中，每季度的收益率为
3%。
该项投资的年百分率为多少？
• 3%* (4) = 12%
您的年度实际投资报酬率为多少？
• FV = 1*()4 =
• 实际投资报酬率 = ( – 1) / 1 = .1255 = %
6F-41
EAR – 计算公式
Remember that the APR is the quoted rate, and
m is the number of compounding periods per year
6F-42
决策，决策 II
• 你正在考虑两个投资计划，其中一个提供
%的报酬率，按天计息; 而另一个提供
%的报酬率，但按半年计息。请问您应
当选择哪一个投资计划？
第一个投资计划的EAR
• EAR = (1 + %/365)365 – 1 = %
第二个投资计划的EAR
• EAR = (1 + %/2)2 – 1 = %
• 应该选择哪个投资计划进行投资呢？为什
么？
6F-43
决策，决策 II（续）
• 我们来验证一下您的抉择是否明智。假定您
对这两个投资计划各投资 $100，问：1年后，
您的这两个投资计划各值多少钱？
第一个投资计划：
• 日利率： = / 365 =
• FV = 100*()365 =
第二个投资计划：
• 半年期利率 = / 2 =
• FV = 100()2 =
• 因此，您在第一个投资计划中拥有的钱更多
一些。
6F-44
根据EAR计算APR
• 如果知道实际利率，怎样计算出年百
分率呢？将实际利率的计算公式变形，
整理可得到：
6F-45
APR的计算 – 例
• 假定你期望你的投资能得到12%的实际回
报，而现在有一个投资机会是按月结息的，
则该项投资的报价利率至少要为多少你才
会愿意动心？
6F-46
根据APR计算年金额
• 假定你计划购入一台新计算机，经过身份验
证以后，商家愿意接受您的按月付款。计算
机的总价值为3500元，您计划用2年时间按
月付清，那么，如果提出的利率为%的
话，您的月供额应当为多少？
月利率 = % / 12 = %
计息期个数 = 2*12 = 24
3,500 = C[1 – (1 / )24] /0
.01408333333
C =
6F-47
按月计息情况下的终值计算
• 假定您在某个账户中每月存入$50，存款的
报价利率为9%，按月计息。问：35年后，
你在这个账户中一共拥有多少财富？
月利率 = / 12 = .0075
计息期个数 = 35*(12) = 420
FV = 50[ – 1] / .0075 = 147,
6F-48
按日计息情况下的现值计算
• 假定你计划在3年后攒够$15,000来买一辆
新车。 如果你可以将钱存入年利率为%
的某个账户中，按日赚取利息，问：需要
现在一次性存入多少钱就可以在3年后实现
买新车的目标？
日利率 = / 365 =
计息期个数 = 3*(365) = 1,095
PV = 15,000 / ()1095 =
12,
6F-49
连续复利
• 有时候，投资或者贷款是按连续复利进行计
算的
• EAR = eq – 1
公式中，e表示一种特别的函数，在计算器中通
常用 ex表示
• 例：如果按7%计算连续复利，则实际年利
率将为多少？
EAR = – 1 = 或 %
6F-50
快速测试 V
• APR的定义是什么?
• 什么是实际年利率?
• 在对多个投资方案或者贷款方案进行
比较时，应使用什么利率？
• 在计算资金时间价值时，应选用什么
样的利率标准？
6F-51
纯折价贷款 – 例
• 短期国库券是纯折价贷款的绝佳例子，
它承诺在将来某个日期偿还投资人债
券面值，但在持有期间不会支付任何
利息。
• 如果某种短期国库券承诺将在12个月
偿还$10,000给投资人，则在市场利率
为7%的情况下，这种国库券的价值是
多少？
PV = 10,000 / = 9,
6F-52
纯利息贷款 – 例
• 假定有一种5年期的纯利息贷款，本金
为 $10,000，每年按7%支付一次利息。
该贷款的现金流量分布是怎样的？
• 第 1 – 4年每年年末：利息支付7%*10,000 =
700元
• 第5年年末：利息 +本金 = 10,700
这种现金流量分布与公司债券的现金流
量分布非常类似，我们在后续章节中会
有更详细的讨论。
6F-53
定本分期摊还贷款 – 例
• 某笔贷款本金$50,000, 10年期，年利息率
8%。贷款协议要求公司每年偿还 $5,000的
本金和当年的应计利息。则与此笔贷款相关
的现金流量如何？
• Excel 查看贷款摊还表
6F-54
等额分期摊还贷款 – 例
• 每期偿还额相当，由当期利息费用和本金共
同组成
某笔4年期的贷款需要分期等额偿还。贷款利
率为8%，本金5000元。要求：计算该笔贷
款的每年偿还金额。
• 解出C =
• Excel 查看分期摊还表
6F-55
互联网上的例题
• 如果你贷款了$25,000，利率为8%，计算在未来
5年内还清
问：每个月需要还多少钱才行？
假设这是等额分期摊还
6F-56
快速测试 VI
• 什么是纯折价贷款？纯折价贷款最常见的
例子是什么？
• 什么是纯利息贷款？纯利息贷款的最常见
例子是什么？
• 什么是分期摊还贷款？分期摊还贷款的最
常见例子有哪些？
6F-57
道德问题
• 假定你正急着收到你的所得税返还。正常情况下，
所得税返还将在你寄出所得税申报表后3周内收到。
如果你在税务分支机构进行电子申报，则基本上第
二天就能收到预估的返还额，但税务服务机构会先
扣去$50的手续费金额，然后将实际返还额寄给申
报机构。假定你预计能收到 $978的返还额，如果
按周计息的话，APR将有多高？此时的实际年利率
为多少？如果APR为15%，则返还额的金额将为多
高？你觉得应该如何申报呢？
6F-58
综合问题
• 假定某项投资将在未来10年中的每年年末
回报你$100，如果贴现率为8%，按年计息，
该项投资的现值应为多少？
• 如果上题种每笔现金流量都是在年初收到
的，则改项投资的现值应当为多少？
• 如果你将上述投资回报存入一个年报酬率
为8%的账户中，则10年后，这些财富累积
金额有多高？
• 如果你今天开立了一个并存入了$1,000，
然后在每年年末又存入 $100，则10年后，
这个账户中共有多少钱？
6F-59
本章学习结束！
6F-60
