拍卖的博弈论模型
我们下面研究的是这样
一类拍卖博弈，即假定参
与人的均衡喊价与其估价之间存在严格递增的函数关系。后面的
到处结果将证明这种假定是成立的。
为了简化讨论，我们假 定只有两个投标者，并且分布
函数是上面的均匀分布。
一阶密封价格拍卖：
参与人喊价为时，他赢得 拍卖的概率是
所以，其期望支付是
他选择的最优报价满足下面的一阶条件：
我们假定博弈
是对称的，所以
在均衡下，有
积分
其中是积分常数。
于是
很自然可以假定，于是
类似的可以得到当存在个 投标者的时候，有
All pay 拍卖：
参与人赢得物品的的预期支付是
解为
当存在个投标者的时候， 有
二阶密封价格拍卖：
经济学家维克里发明的“二级密封价格拍卖法”（又称
维克里拍卖法或维克里招标法），既可避免围
标，又可诱使买主们老老实实地开出心中的真实评价。
维克里拍卖法要求每个买主写入信封一个出价，密封后
交给卖主，卖主拆开信封后宣布将古董卖给出价最高的人，但只需
支付开出的第二高的价格。譬如，出价最高的为100万元，第二高的
为90万元，古董
就卖给开出100万元的人，但他只需支付给卖主90万元。
对每个买主来说，他不知道其他买主的评价，但给定其
他买主的评价（尽管他不知道），他一旦获胜，支付的第二高的价
格是固定的，不会随他开出的价格而变；但他开出的价格愈高，获
胜的可能就愈大；但是，他不能开出比他的价值评价更高的价格。因
为一旦存在别的人开出的价格比他的
价值评价还要高，当他获胜时，就必须以高出他的价值评价
的价格购买古董，对他来说是得不偿失的。所以，他开出等于他
的评价的价格是占优于高于其评价的所有价格的。
所以，每个人都会老老实实在按心中的评价开出价格。如
果所有人的评价是一样的，古董就以真实的最高价值卖出。维克里拍
卖法可以诱使买主说出真话。1970年代美国联
邦政府运用维克里招标法进行公共
工程招标，为联邦政府节省了大笔开支。
收益等价定理
我们关心卖者会获得多少 收益，这种收益是来自所有投标
者的预期支付。卖者的预期收益等于单个投标者的预期支付的倍。
因此，为了比较不同拍卖机制给卖者带来的预期收益，只需要比
较单个投标者的预期支付就可以了。
我们首先来比较上述拍卖机制的情形。
1） 一阶密封价格拍卖
参与人在赢得拍卖时
支付的价格是，而他赢得
拍卖的概率是；所以，预期支付是；
2） All pay 拍卖：
此时单个参与人的支付 价格等于
3） 二阶密封价格拍 卖
参与人赢得赢得拍卖的概 率是，第二高价格的预期水平是
；所以预期支付是
显然，在这里，三种拍卖机制给卖者带来同样的预期收益。
一般地，我们有下面的定理：
定理 （收益等价定 理）在对称的，独立估价的，将
物品配置给最高估价投标者，给最低估价参与人的支付为零的
所有拍卖里面，不同拍卖机制给卖者带来同样的预期收益。
注：所有具有严格单调均衡报价策略的对称拍卖都将物品配
置给估价最高者。
证明：
给定其他人的均衡报价
参与人的预期支付是
根据假定有
我们构造函数
显然有
根据均衡报价函数，在
均衡状态，给定其他参与
人的均衡报价，该参与人的均衡报价策略是；也就是说，一定有
于是
因此
显然，参与人的
预期支付与拍卖的
具体机制模式没有
关系。根据
说明与拍卖的具体机制 模式没有关系。
这也说明参与人的预期 支付价格与拍卖的具体机制模
式没有关系。
第五节 最优拍卖机制设计：Myerson定理
我们介绍了几种拍卖或招投标方法。一个顺理成章的问题
是，在不同的拍卖或招投标方法中，有没有一种方法对于拍卖人或
招标人来说是最优的。
Myerson（1981）在其经典论文中对此进行了研究，本
节将概要地介绍他的工作。
这个问题的一般性表述是：
一个卖者打算将其拥 有的一件物品卖给位打算购买这
一物品的潜在购买者中的某一位，但卖者不知道这些潜在的购买者
所愿意为这一物品所支付的最高价格，即卖者对于不同买者对于该
物品的价值评价或支付意愿具有不对称信息。
卖者的问题是如何设计一个拍卖博弈规则，使得拍卖在
纳什均衡为卖者带来一个最高的期望支付（或期望效用）。
下面，我们遵循Myerson的方法来导出相当广泛意义上的
一大类可能的拍卖机制设计中的最优拍卖机制。
基本假定与定义
假定拍卖者打算把
一件物品出售。有个潜在的购买人，记为。用表示潜在买者构成的集
合，即
（）
假设参与人的
估价是他的私人信息，这个估价对于别人来说是上的随机变量（贝
叶斯统计学意义上），且密度函数为，并且这也是包括所有买者和
卖者在内的局中人的共同知识，假定，，；且是上的连续函数。设的
分布函数为，即
（）
记为买者们估价的所 有可能的组合：
（）
记为除买者之外的 其他买者的价值评价组合，即
（）
假定个买者的估价 是互相独立的随机变量，于是
上的联合密度函数满足如下关系：
（）
其中。
假定买者和卖者在 上的联合密度函数为：
（）
其中，。
记卖者自己对物品 的估价为，并设它是所有博弈参
与人的共同知识。
参与人对物品的估价之所以是私人信息，存在两个方面
的原因。
首先，某参与人的偏好是其他参与人不知道的。譬如，当
物品是一幅画时，其他人并不知道他在欣赏这幅画的过程中所获得
的愉悦程度。
其次，买者可能拥有一些关于物品内在质量（intrinsic
quality）的特殊信息。我们分别称这两种因素为偏好的不确定性
（ preference uncertainty ） 和 质 量 不 确 定 性 （ quality
uncertainty）。
这种区分带来的差别 是；如果仅存在偏好不确定性，
将买者的估价信息告诉买者将不会引起买者修正其估价（这并不意
味着当买者知道买者的估价后不会修改其报价策略，这仅意味着买
者在拥有货币与物品之间的原初偏好顺序是不变的）。
然而，当存在质量 不确定时，买者在知道了其他人
对物品的估价后将倾向于修正其自己的估价。也就是说，如果买者知
道很低的话，他会认为买者收到了有关物品质量的不好的信息，于
是，买者将根据自己的判断也降低自己对物品的估价。
在许多讨论拍卖的文献中，仅就只存在偏好不确定性的
情形加以考虑，譬如，Vickrey（1961）。
与之不同， Myerson 拓宽了这一研究的范围。他的研
究将一定形式的质量不确定性因素也考虑在内。假定存在个“修正效
应函数”（revision effect function），其定义如下：
是定义在上的实函 数，如果参与人知道了，则会
通过对自己的估价加以修正（这种假定意味着不同的参与人的修正
方式是相同的，因为与参与人无关）。
因此，若知道了
是个买者最初的估价向量，则将修正其估价如下：
（）
类似地，我们假定卖者也会重新对物品进行估价：
（）
在仅存在纯偏好不
确定性假设下，或者不对称信息情况下，。
可行的拍卖机制
给定上述密度函数， 修正函数和，卖者的问题是选择
一种拍卖机制最大化其期望支付（或期望效用）。
我们只将注意力限制在一类特别的拍卖机制上，这就是
“直接显示机制”（direct revelation mechanism）。
在直接显示机制
中，买者们同时且老老实实地向卖者揭示其估价，卖者决定谁将会
买得物品和买者需要支付的价格，这一价格是买者们报出的估价向
量的某种函数。
因 此 ， 直 接
显示机制可以表达为一对产出函数（定义为），满足如下性质：如
果是揭示出来的估价向量，则是得到物品的概率和是必须支付给卖
者的货币量。
以下总假定卖者和 买者都是风险中性的（ risk
neutral），并且对于货币和物品具有可加的可分性效用函数
（additively separable utility functions）。因此，给定知道，
其在一个特定的拍卖机制下的期望支付为
（）
其中。
类似地，卖者在给定的这一拍卖机制中获得的期望支付
为
（）
其中。
可行的机制：
并非每一对函数都 表达一种可行的拍卖机制;因为，
有三种类型的约束必须施加于。
首先，因为仅有一种 待售物品，函数须满足下列概率
条件：
且，，
（）
其次，当潜在买者不参加拍卖时，其期望效用为零，故
欲使买者参与拍卖，就有如下的“个人理性”（ individual
rationality）约束条件：
，，
（）
最后，根据直接显示机制假定，买者真实报价对于他自
己来说是最优的。
这就是说，此时说实 话才会是一个纳什均衡。如果买
者在其真实估价为时宣称其估价为，则期望支付为
其 中 。
因此，为了保证没有一位买者有谎报其估价的动机，下列“激励相
容”（incentive compatibility）约束必成立。
（）
当 且 仅 当 式 （）、（）、（）
同时成立时，称机制是可行的（feasible）（或称机制表达了一种
可行的拍卖机制）。也就是说，若卖者打算据配置物品和据索取货币
支付，则当且仅当式（11）—（13）成立时，该程序将在买者们说
真话的情况下得到贯彻。
到目前为
止，我们仅考虑了其中买者们总是说真话的直接显示机制。但是，卖
者也可设计其它类型的拍卖博弈，譬如，报出其他可能是虚假的类
型。
在一般性的拍卖博 弈中，每个买者拥有某些备选战
略集，并且存在产出函数
且
它描述了物品配
置及买者支付的费用是如何依赖于买者们的策略的（即若是买者们
选择的策略组合，则就是获得物品的概率和是向卖者支付的期望支
付）。
一 个 策 略 计 划
（Strategic Plan）可表达为一个函数满足当的估价为时，是打算
选择的策略。
在此一般性的规
定下，直接显示机制就显然是这样一种拍卖机制即和。
在这个一般性的框架内，一个可行的拍卖机制必须满足
式（）—（）给出的约束条件。
由于仅有一件待售 品。对于任何来说，概率必须为
非负的且总和不会大于1。给定任何估价值，拍卖机制必须对每个买
者都给出非负的期望支付，否则买者不会参与拍卖。在一个拍卖博弈
中，所有的策略计划必须构成一个纳什均衡，否则某些买者将修正
其计划。
一般地，最优拍卖 设计问题是难以求解的，因为对
于卖者在其构造的拍卖博弈中所要使用的策略空间的大小和复杂程
度没有任何限制。
使我们能解决拍卖机制设计问题的一个基本的出发点是
我们仅考虑直接显示机制时并未损失一般性。这一结论来自如下事实
引理（显示性原理）给定任何一个可行拍卖机制，存
在一个等价的可行的直接显示机制（equivalent feasible direct
revelation mechanism），它给予卖者及所有的买者予与给定机制
完全相同的期望支付。
Myerson（ 1979 ）
曾在更为一般的贝叶斯公共选择问题中证明了这个显示性原理，但
这里我们可以根据直观明白该引理成立的原因。假定给定一个可行的
拍卖机制，其策略空间为，产出函数为和；策略计划为。考虑如下定
义的一个直接显示机制，其中；，且
也 就 是
说，在直接显示机制中，卖者首先要求每一个买者说出其类型（即
估价），然后根据给定的拍卖机制的策略计划计算出买者将选择的
策略。最后实施由这些策略给出的产出。因此，直接显示机制总给出
与给定拍卖机制相同的产出，故所有参与人在两种机制中获得的期
望支付相同。必满足式（）给出的激励相容约束，因为给定可行
机制中的策略计划构成了一个均衡。因此，是可行的。
采用显示性原理，
我们不失一般性地假设卖者只考虑可行的直接显示机制中的拍卖机
制。也就是说，我们今后将可行的拍卖机制与所有满足式（）、
（）、()的产出函数的集合等同起来。卖者的拍卖设计问题
就是选择这样的函数和使得在式（）—（）约束下达到最
大化。
注意，我们在这里
并未用到式（）（报价的独立性）或式（）（特别的估价修
正函数）。所以，式（）—（）刻画了所有可行拍卖机制的
特征，甚至包括买者用函数计算其修正估价的情形，而这种函数可
以不是式（）给出的那种特殊的可加形式。然而，当 Myerson为
导出最优拍卖设计的显性解时，他不得不将研究限于式（）及
()给出的范围之内。
模型分析
给定拍卖机制，对 于任意的买者和任意的估价，
定义
（）
是买者在给定其估
价为时将在拍卖机制中获得物品的条件概率。
我们下面首先要在特别情形下简化对可行拍卖机制的刻
画。于是有如下引理：
引理 假
定 ；是可行的当且仅当下列条件成立：
若 则
（）
（）
（）
和
且，
（）
相当于我们可以把激励相容约束条件等价地改为
（）和（）.
证明：
必要性：
如果拍卖是可行的，则根据假定
所以，激励相容约束式（）等价于
（）
故是可行的当且仅 当式（）（概率条件）、
（）（个人理性）和式（）（激励相容）成立。这是可行条
件的推论。
引理中的式（）（个人理性）是可行条件中直接得
到的。
我们现在将证明引理中的式（）（个人理性）及刚
才得到的（）（激励相容）就意味着式引理中的（）—
（）成立。
我 们 两 次 运 用 式 （）（ 将与互换），有
则式（）在时 成立。
这些不等式在对于 任意的都可重写为：
令则
因对于是递增的，
它是黎曼可积的，故
它给出式（）。
当然，式（）（个人理性）直接由式（）导出，
式（）（概率条件）就是式（），故引理 2中的所有条件
都从可行性得出。
故必要性成立。
充分性：
反过来，现在我们必须证明引理 中的条件也意味着式
（）（个人理性）和式（）（激励相容）（从而式
（））成立）。
因 据 式 （ ）
（概率条件）有，而式（）（个人理性）来自引理中的式
（）和（）及。
所以个人理性条件成立。
为 了 证 明 式 （）（激励相容），假设 ，
则由式引理中的（）和（）有：
类 似
地，若则
故 式
（）由式（）和（）导出。当然，式（）（概率条
件）就是式（）。所以，由引理2中的条件也导出可行性。证毕！
所以，是一种最优
拍卖当且仅当它在引理中的约束（），（）—（）（即
可行拍卖条件下）下最大化。
下面的一个引理为最优性提供了某些简单的条件。
引理 假设在
约束（）（概率条件）和（ ）（概率递增条件）下最大化
如下积分
（）
还假定
（）
则就是一种最优拍 卖。
证明：回忆式（），卖主的预期支付为
（）
我们可将卖者的目标函数改写为：
（）
但运用引理，可 知对任何可行的有：
（）
由式（）和（）有
（）
将式（）和（）代入式（），
（）
得
（）
故卖者的问题就是在 引 理 2 中 的 约 束 （ ） ，
（）、（）、（）下最大化式（）。在此表述中，仅
出现在目标函数中的最后一项和引理 中的约束（）、
（）中。
（）
（）
这两个约束可重写成：
若卖者据式（） 选择：
（）
就
有
就是说，如果卖者据 式（）选择：
（）
则
他同时满足式（）和（）且他获得
这意味着引理中的所有条件都满足，所以拍卖是可行
的。
它是目标函数式（）中该项的可能最好的取值，即
减项取得最小值。
所以，利用特别的 支付函数式（），我们可
以在卖者的问题中整个将丢掉。进一步，式（）右端中的第二项
是独立于的常数。所以，目标函数可被简化为最大化式（），且
式（）（概率递增）和（）（概率条件）是唯一需要满足
的约束条件（因为式（）中唯一的需要约束的变量是）。
证毕！
目标函数方程（）有一个重要推论，它是如此重要
以至于下面将其作为一个定理给出
定理 （收益
等价性定理）卖者从一个可行拍卖机制中获得的期望支付完全由概
率函数及（对所有）所决定。
也就是说，一旦我 们知道了在每种可能情况下（由
刻画）谁获得了物品，以及每个买者在其估价为其最低可能水平时
的期望支付为多少，则卖者从拍卖中得到的期望支付并不依赖于产
出函数。因此，譬如，对于任意两个拍卖机制，只要它们具有性质
（1）物品总是卖给高于的最高估价者和（2）如果其估价位于其最
低可能估价,则买者的期望支付为零，则卖者会从它们中获得相同的
期望支付。
正规情况下的最优拍卖
在一种简单的假定下，我们能够直接从引理 计算出最
优拍卖机制。如果函数
（4，26）（注意到 ，
它是式（）中被
积函数里面的那个第一个括弧里面的项，除掉一个卖主估价常数）
是的严格递增函数 （对中的每一个），我们称问题
是正规的（regular）。
也就是说，当，
若，则问题是正规的（我们曾假定(对所有中的)，故总有定义且是
连续的）。
现 在 ，
考虑一种拍卖机制，买主喊出的报价为，其中当时卖主不出售物品，
否则他把物品卖给报出最高的买主。如果，则卖主可以通过将物品交
给最低编号的买主或其它的随机性规则解决配置问题（在正规情况
下这种情形发生的概率为零）。所以，对于这一拍卖机制，有
意 味 着
（）
根据引理 中的条 件，我们要求在满足约束条件式
（）（概率条件），（）（概率递增条件），还有为式
（）给出的条件下，最大化目标函数式（）。
且 ， ，
（）
若 则
（）
（）
（）
显然，按照这个规则，式（）（概率条件）是得到满
足的。
为了验证它
也满足式（）（概率递增条件），我们需要使用正规性假设。假
设，，且当买主提交一个估价就会赢得物品时，如果他将估价变为，
他也会赢。也即是对所有的有。故在为给定估价时，赢得物品的概率
是的增函数，这正是式（）（概率递增条件）所需的。所以满足
引理中的所有条件。
同时，注意，我们这样规定的拍卖规则，其实也就最大
化了式（）。
为了完成最优拍卖的 构造，我们设为式（）中的
取值：
这样就使得拍卖规则完全满足引理的所有条件。
这一公式可以按如下方式重新以更为直观的方式写出来。
设
（）
则 是 在 给 定
下所有可赢得物品概率为正的估价中的下确界，故如果忽略情形的
零概率事件，我们就有
（）
这给出
（）
最后，式（）
（）
变成
（）
即买主仅在他
获得物品时才会付钱，且若他就是赢得物品所有估价中的最低的估
价时，他支付的是物品对于他的价值。
若所有的修
正效应函数恒为零（即）且若所有买主是对称的和正规的（注意到
正规的意味着是的严格递增函数，所以它存在反函数），则
（）
即我们的最优拍
卖变成了一个修正的 Vickrey拍卖法（Vickrey，1961），其中卖主
自己提交一个等于的买价，也就是说，我们把卖主视为一个报价为
的买主（注意：在这种对称情形，有，且正规性保证有是可逆的）
且将物品交给最高出价买主，价格是第二高的报价（这里，我们把
卖者也看成为是一个投标人，他的估价为，喊价为，当参与人获得
物品时，他支付的价格就是第二高价；如果，则第二高价就是）。然
而，仅当买主是对称的时且函数是严格递增时，这一结论才成立。所
以，这里得到 Vickrey拍卖法的一种推广拍卖机制。
譬如，假设
对每个和每个在 0 和
100 之间的，，每个，，
且（即是均匀分布），
则直接的计算给出
即 ，它
是的增函数。
如果，
要求，就意味
着
卖主冒着以
概率不能将物品售出的风险，
即使某些买主愿支付高于的价格买物品（至少有某个物品才能被卖
出，但这就要求由于在匀分布，故概率只有 ，物品不能被卖出
的概率为），但卖主仍然提高了其期望收益，因为他在物品售出时
可以获得一个较高的价格。这是典型的不对称信息博弈中的筛选机制
——宁愿冒风险没有卖出去，也要去赌卖出高价，这样也导致平均
收益达到最大。
于是，最优拍卖不
是“事后”有效的。为了更加清晰地说明这一点，考虑上面的例子，
并令其中的。则卖主有估价，且唯一的买主有一个取自上均匀分布的
估价。事后有效要求买主总能得到物品，只要其估价是正的。
但是，由于任何正的买价都会赢得物品。买主不会报出任
何大于无穷小的买价。故卖主若不打算保留物品，则他只会得到零期
望收益。事实上，卖主的最优政策是对于任何低于 50的价格都拒绝
出售物品，这会带给他25的期望收益。
更为一般地，
当买主是不对称的时，最优拍卖有时甚至可能将物品卖给估价不是
最高的一位买主。譬如，当且对于所有中的成立（没有修正效应时的
一般性均匀分布情形），有
它 是
的增函数。故在最优拍卖中，具有最高的买主将得到物品。若，则即
使买主也会赢得物品，只要。事实上，对于估价上界较高的买主，最
优拍卖是歧视他们的。这种歧视对于那些低于代表性估价的买主是不
利的，而对于那些接近于较高上界的是有利的。
经济学家维克里发明的“二级密封价格拍卖法”（又称维克里拍卖法或维克里招标法），既可避免围
标，又可诱使买主们老老实实地开出心中的真实评价。
维克里拍卖法要求每个买主写入信封一个出价，密封后交给卖主，卖主拆开信封后宣布将古董卖给出价最高的人，但只需支付开出的第二高的价格。譬如，出价最高的为100万元，第二高的为90万元，古董
就卖给开出100万元的人，但他只需支付给卖主90万元。
对每个买主来说，他不知道其他买主的评价，但给定其他买主的评价（尽管他不知道），他一旦获胜，支付的第二高的价格是固定的，不会随他开出的价格而变；但他开出的价格愈高，获胜的可能就愈大；但是，他不能开出比他的价值评价更高的价格。因为一旦存在别的人开出的价格比他的
价值评价还要高，当他获胜时，就必须以高出他的价值评价的价格购买古董，对他来说是得不偿失的。所以，他开出等于他的评价的价格是占优于高于其评价的所有价格的。
所以，每个人都会老老实实在按心中的评价开出价格。如果所有人的评价是一样的，古董就以真实的最高价值卖出。维克里拍卖法可以诱使买主说出真话。1970年代美国联
邦政府运用维克里招标法进行公共
工程招标，为联邦政府节省了大笔开支。
第五节 最优拍卖机制设计：Myerson定理
基本假定与定义
可行的拍卖机制
模型分析
正规情况下的最优拍卖
