拍卖的博弈论模型
我们下面研究的是这样一类拍卖博弈，即假定参与人的均衡喊价与其估价之间存在严格递增的函数关系。后面的到处结果将证明这种假定是成立的。
为了简化讨论，我们假定只有两个投标者，并且分布函数是上面的均匀分布。
一阶密封价格拍卖：
参与人喊价为时，他赢得拍卖的概率是
所以，其期望支付是
他选择的最优报价满足下面的一阶条件：
我们假定博弈是对称的，所以
在均衡下，有
积分
其中是积分常数。
于是
很自然可以假定，于是
类似的可以得到当存在个投标者的时候，有
All pay 拍卖：
参与人赢得物品的的预期支付是
解为
当存在个投标者的时候，有
二阶密封价格拍卖：
经济学家维克里发明的“二级密封价格拍卖法”（又称维克里拍卖法或维克里招标法），既可避免围
标，又可诱使买主们老老实实地开出心中的真实评价。
维克里拍卖法要求每个买主写入信封一个出价，密封后交给卖主，卖主拆开信封后宣布将古董卖给出价最高的人，但只需支付开出的第二高的价格。譬如，出价最高的为100万元，第二高的为90万元，古董
就卖给开出100万元的人，但他只需支付给卖主90万元。
对每个买主来说，他不知道其他买主的评价，但给定其他买主的评价（尽管他不知道），他一旦获胜，支付的第二高的价格是固定的，不会随他开出的价格而变；但他开出的价格愈高，获胜的可能就愈大；但是，他不能开出比他的价值评价更高的价格。因为一旦存在别的人开出的价格比他的
价值评价还要高，当他获胜时，就必须以高出他的价值评价的价格购买古董，对他来说是得不偿失的。所以，他开出等于他的评价的价格是占优于高于其评价的所有价格的。
所以，每个人都会老老实实在按心中的评价开出价格。如果所有人的评价是一样的，古董就以真实的最高价值卖出。维克里拍卖法可以诱使买主说出真话。1970年代美国联
邦政府运用维克里招标法进行公共
工程招标，为联邦政府节省了大笔开支。
收益等价定理
我们关心卖者会获得多少收益，这种收益是来自所有投标者的预期支付。卖者的预期收益等于单个投标者的预期支付的倍。因此，为了比较不同拍卖机制给卖者带来的预期收益，只需要比较单个投标者的预期支付就可以了。
我们首先来比较上述拍卖机制的情形。
一阶密封价格拍卖
参与人在赢得拍卖时支付的价格是，而他赢得拍卖的概率是；所以，预期支付是；
All pay 拍卖：
此时单个参与人的支付价格等于
二阶密封价格拍卖
参与人赢得赢得拍卖的概率是，第二高价格的预期水平是
；所以预期支付是
显然，在这里，三种拍卖机制给卖者带来同样的预期收益。
一般地，我们有下面的定理：
定理（收益等价定理）在对称的，独立估价的，将物品配置给最高估价投标者，给最低估价参与人的支付为零的所有拍卖里面，不同拍卖机制给卖者带来同样的预期收益。
注：所有具有严格单调均衡报价策略的对称拍卖都将物品配置给估价最高者。
证明：
给定其他人的均衡报价
参与人的预期支付是
根据假定有
我们构造函数
显然有
根据均衡报价函数，在均衡状态，给定其他参与人的均衡报价，该参与人的均衡报价策略是；也就是说，一定有
于是
因此
显然，参与人的预期支付与拍卖的具体机制模式没有关系。根据
说明与拍卖的具体机制模式没有关系。
这也说明参与人的预期支付价格与拍卖的具体机制模式没有关系。
第五节 最优拍卖机制设计：Myerson定理
我们介绍了几种拍卖或招投标方法。一个顺理成章的问题是，在不同的拍卖或招投标方法中，有没有一种方法对于拍卖人或招标人来说是最优的。
Myerson（1981）在其经典论文中对此进行了研究，本节将概要地介绍他的工作。
这个问题的一般性表述是：
一个卖者打算将其拥有的一件物品卖给位打算购买这一物品的潜在购买者中的某一位，但卖者不知道这些潜在的购买者所愿意为这一物品所支付的最高价格，即卖者对于不同买者对于该物品的价值评价或支付意愿具有不对称信息。
卖者的问题是如何设计一个拍卖博弈规则，使得拍卖在纳什均衡为卖者带来一个最高的期望支付（或期望效用）。
下面，我们遵循Myerson的方法来导出相当广泛意义上的一大类可能的拍卖机制设计中的最优拍卖机制。
基本假定与定义
假定拍卖者打算把一件物品出售。有个潜在的购买人，记为。用表示潜在买者构成的集合，即
（）
假设参与人的估价是他的私人信息，这个估价对于别人来说是上的随机变量（贝叶斯统计学意义上），且密度函数为，并且这也是包括所有买者和卖者在内的局中人的共同知识，假定，，；且是上的连续函数。设的分布函数为，即
（）
记为买者们估价的所有可能的组合：
（）
记为除买者之外的其他买者的价值评价组合，即
（）
假定个买者的估价是互相独立的随机变量，于是上的联合密度函数满足如下关系：
（）
其中。
假定买者和卖者在上的联合密度函数为：
（）
其中，。
记卖者自己对物品的估价为，并设它是所有博弈参与人的共同知识。
参与人对物品的估价之所以是私人信息，存在两个方面的原因。
首先，某参与人的偏好是其他参与人不知道的。譬如，当物品是一幅画时，其他人并不知道他在欣赏这幅画的过程中所获得的愉悦程度。
其次，买者可能拥有一些关于物品内在质量（intrinsic quality）的特殊信息。我们分别称这两种因素为偏好的不确定性（preference uncertainty）和质量不确定性（quality uncertainty）。
这种区分带来的差别是；如果仅存在偏好不确定性，将买者的估价信息告诉买者将不会引起买者修正其估价（这并不意味着当买者知道买者的估价后不会修改其报价策略，这仅意味着买者在拥有货币与物品之间的原初偏好顺序是不变的）。
然而，当存在质量不确定时，买者在知道了其他人对物品的估价后将倾向于修正其自己的估价。也就是说，如果买者知道很低的话，他会认为买者收到了有关物品质量的不好的信息，于是，买者将根据自己的判断也降低自己对物品的估价。
在许多讨论拍卖的文献中，仅就只存在偏好不确定性的情形加以考虑，譬如，Vickrey（1961）。
与之不同，Myerson拓宽了这一研究的范围。他的研究将一定形式的质量不确定性因素也考虑在内。假定存在个“修正效应函数”（revision effect function），其定义如下：
是定义在上的实函数，如果参与人知道了，则会通过对自己的估价加以修正（这种假定意味着不同的参与人的修正方式是相同的，因为与参与人无关）。
因此，若知道了是个买者最初的估价向量，则将修正其估价如下：
（）
类似地，我们假定卖者也会重新对物品进行估价：
（）
在仅存在纯偏好不确定性假设下，或者不对称信息情况下，。
可行的拍卖机制
给定上述密度函数，修正函数和，卖者的问题是选择一种拍卖机制最大化其期望支付（或期望效用）。
我们只将注意力限制在一类特别的拍卖机制上，这就是“直接显示机制”（direct revelation mechanism）。
在直接显示机制中，买者们同时且老老实实地向卖者揭示其估价，卖者决定谁将会买得物品和买者需要支付的价格，这一价格是买者们报出的估价向量的某种函数。
因此，直接显示机制可以表达为一对产出函数（定义为），满足如下性质：如果是揭示出来的估价向量，则是得到物品的概率和是必须支付给卖者的货币量。
以下总假定卖者和买者都是风险中性的（risk neutral），并且对于货币和物品具有可加的可分性效用函数（additively separable utility functions）。因此，给定知道，其在一个特定的拍卖机制下的期望支付为
（）
其中。
类似地，卖者在给定的这一拍卖机制中获得的期望支付为
（）
其中。
可行的机制：
并非每一对函数都表达一种可行的拍卖机制;因为，有三种类型的约束必须施加于。
首先，因为仅有一种待售物品，函数须满足下列概率条件：
且，， （）
其次，当潜在买者不参加拍卖时，其期望效用为零，故欲使买者参与拍卖，就有如下的“个人理性”（individual rationality）约束条件：
，， （）
最后，根据直接显示机制假定，买者真实报价对于他自己来说是最优的。
这就是说，此时说实话才会是一个纳什均衡。如果买者在其真实估价为时宣称其估价为，则期望支付为
其中。因此，为了保证没有一位买者有谎报其估价的动机，下列“激励相容”（incentive compatibility）约束必成立。
（）
当且仅当式（）、（）、（）同时成立时，称机制是可行的（feasible）（或称机制表达了一种可行的拍卖机制）。也就是说，若卖者打算据配置物品和据索取货币支付，则当且仅当式（11）—（13）成立时，该程序将在买者们说真话的情况下得到贯彻。
到目前为止，我们仅考虑了其中买者们总是说真话的直接显示机制。但是，卖者也可设计其它类型的拍卖博弈，譬如，报出其他可能是虚假的类型。
在一般性的拍卖博弈中，每个买者拥有某些备选战略集，并且存在产出函数
且
它描述了物品配置及买者支付的费用是如何依赖于买者们的策略的（即若是买者们选择的策略组合，则就是获得物品的概率和是向卖者支付的期望支付）。
一个策略计划（Strategic Plan）可表达为一个函数满足当的估价为时，是打算选择的策略。
在此一般性的规定下，直接显示机制就显然是这样一种拍卖机制即和。
在这个一般性的框架内，一个可行的拍卖机制必须满足式（）—（）给出的约束条件。
由于仅有一件待售品。对于任何来说，概率必须为非负的且总和不会大于1。给定任何估价值，拍卖机制必须对每个买者都给出非负的期望支付，否则买者不会参与拍卖。在一个拍卖博弈中，所有的策略计划必须构成一个纳什均衡，否则某些买者将修正其计划。
一般地，最优拍卖设计问题是难以求解的，因为对于卖者在其构造的拍卖博弈中所要使用的策略空间的大小和复杂程度没有任何限制。
使我们能解决拍卖机制设计问题的一个基本的出发点是我们仅考虑直接显示机制时并未损失一般性。这一结论来自如下事实：
引理（显示性原理）给定任何一个可行拍卖机制，存在一个等价的可行的直接显示机制（equivalent feasible direct revelation mechanism），它给予卖者及所有的买者予与给定机制完全相同的期望支付。
Myerson（1979）曾在更为一般的贝叶斯公共选择问题中证明了这个显示性原理，但这里我们可以根据直观明白该引理成立的原因。假定给定一个可行的拍卖机制，其策略空间为，产出函数为和；策略计划为。考虑如下定义的一个直接显示机制，其中；，且
也就是说，在直接显示机制中，卖者首先要求每一个买者说出其类型（即估价），然后根据给定的拍卖机制的策略计划计算出买者将选择的策略。最后实施由这些策略给出的产出。因此，直接显示机制总给出与给定拍卖机制相同的产出，故所有参与人在两种机制中获得的期望支付相同。必满足式（）给出的激励相容约束，因为给定可行机制中的策略计划构成了一个均衡。因此，是可行的。
采用显示性原理，我们不失一般性地假设卖者只考虑可行的直接显示机制中的拍卖机制。也就是说，我们今后将可行的拍卖机制与所有满足式（）、（）、()的产出函数的集合等同起来。卖者的拍卖设计问题就是选择这样的函数和使得在式（）—（）约束下达到最大化。
注意，我们在这里并未用到式（）（报价的独立性）或式（）（特别的估价修正函数）。所以，式（）—（）刻画了所有可行拍卖机制的特征，甚至包括买者用函数计算其修正估价的情形，而这种函数可以不是式（）给出的那种特殊的可加形式。然而，当Myerson为导出最优拍卖设计的显性解时，他不得不将研究限于式（）及()给出的范围之内。
模型分析
给定拍卖机制，对于任意的买者和任意的估价，定义
（）
是买者在给定其估价为时将在拍卖机制中获得物品的条件概率。
我们下面首先要在特别情形下简化对可行拍卖机制的刻画。于是有如下引理：
引理 假定 ；是可行的当且仅当下列条件成立：
若则 EMBED （）
（）
（）
和
且， （）
相当于我们可以把激励相容约束条件等价地改为（）和（）.
证明：
必要性：
如果拍卖是可行的，则根据假定
所以，激励相容约束式（）等价于
（）
故是可行的当且仅当式（）（概率条件）、（）（个人理性）和式（）（激励相容）成立。这是可行条件的推论。
引理中的式（）（个人理性）是可行条件中直接得到的。
我们现在将证明引理中的式（）（个人理性）及刚才得到的（）（激励相容）就意味着式引理中的（）—（）成立。
我们两次运用式（）（将与互换），有
则式（）在 EMBED 时成立。
这些不等式在对于任意的都可重写为：
令则
因对于是递增的，它是黎曼可积的，故
它给出式（）。
当然，式（）（个人理性）直接由式（）导出，式（）（概率条件）就是式（），故引理2中的所有条件都从可行性得出。
故必要性成立。
充分性：
反过来，现在我们必须证明引理中的条件也意味着式（）（个人理性）和式（）（激励相容）（从而式（））成立）。
因据式（）（概率条件）有，而式（）（个人理性）来自引理中的式（）和（）及。
所以个人理性条件成立。
为了证明式（）（激励相容），假设 EMBED ，则由式引理中的（）和（）有：
类似地，若则
故式（）由式（）和（）导出。当然，式（）（概率条件）就是式（）。所以，由引理2中的条件也导出可行性。证毕！
所以，是一种最优拍卖当且仅当它在引理中的约束（），（）—（）（即可行拍卖条件下）下最大化。
下面的一个引理为最优性提供了某些简单的条件。
引理 假设在约束（）（概率条件）和（）（概率递增条件）下最大化如下积分
（）
还假定
（）
则就是一种最优拍卖。
证明：回忆式（），卖主的预期支付为
（）
我们可将卖者的目标函数改写为：
（）
但运用引理，可知对任何可行的有：
（）
由式（）和（）有
（）
将式（）和（）代入式（），
（）
得
（）
故卖者的问题就是在引理2中的约束（），（）、（）、（）下最大化式（）。在此表述中，仅出现在目标函数中的最后一项和引理中的约束（）、（）中。
（）
（）
这两个约束可重写成：
若卖者据式（）选择：
（）
就有
就是说，如果卖者据式（）选择：
（）
则他同时满足式（）和（）且他获得
这意味着引理中的所有条件都满足，所以拍卖是可行的。
它是目标函数式（）中该项的可能最好的取值，即减项取得最小值。
所以，利用特别的支付函数式（），我们可以在卖者的问题中整个将丢掉。进一步，式（）右端中的第二项是独立于的常数。所以，目标函数可被简化为最大化式（），且式（）（概率递增）和（）（概率条件）是唯一需要满足的约束条件（因为式（）中唯一的需要约束的变量是）。
证毕！
目标函数方程（）有一个重要推论，它是如此重要以至于下面将其作为一个定理给出
定理 （收益等价性定理）卖者从一个可行拍卖机制中获得的期望支付完全由概率函数及（对所有）所决定。
也就是说，一旦我们知道了在每种可能情况下（由刻画）谁获得了物品，以及每个买者在其估价为其最低可能水平时的期望支付为多少，则卖者从拍卖中得到的期望支付并不依赖于产出函数。因此，譬如，对于任意两个拍卖机制，只要它们具有性质（1）物品总是卖给高于的最高估价者和（2）如果其估价位于其最低可能估价,则买者的期望支付为零，则卖者会从它们中获得相同的期望支付。
正规情况下的最优拍卖
在一种简单的假定下，我们能够直接从引理计算出最优拍卖机制。如果函数
（4，26）（注意到，它是式（）中被积函数里面的那个第一个括弧里面的项，除掉一个卖主估价常数）
是的严格递增函数（对中的每一个），我们称问题是正规的（regular）。
也就是说，当，若，则问题是正规的（我们曾假定(对所有中的)，故总有定义且是连续的）。
现在，考虑一种拍卖机制，买主喊出的报价为，其中当时卖主不出售物品，否则他把物品卖给报出最高的买主。如果，则卖主可以通过将物品交给最低编号的买主或其它的随机性规则解决配置问题（在正规情况下这种情形发生的概率为零）。所以，对于这一拍卖机制，有
意味着 （）
根据引理中的条件，我们要求在满足约束条件式（）（概率条件），（）（概率递增条件），还有为式（）给出的条件下，最大化目标函数式（）。
且，， （）
若则 EMBED （）
（）
（）
显然，按照这个规则，式（）（概率条件）是得到满足的。
为了验证它也满足式（）（概率递增条件），我们需要使用正规性假设。假设，，且当买主提交一个估价就会赢得物品时，如果他将估价变为，他也会赢。也即是对所有的有。故在为给定估价时，赢得物品的概率是的增函数，这正是式（）（概率递增条件）所需的。所以满足引理中的所有条件。
同时，注意，我们这样规定的拍卖规则，其实也就最大化了式（）。
为了完成最优拍卖的构造，我们设为式（）中的取值：
这样就使得拍卖规则完全满足引理的所有条件。
这一公式可以按如下方式重新以更为直观的方式写出来。设
（）
则是在给定下所有可赢得物品概率为正的估价中的下确界，故如果忽略情形的零概率事件，我们就有
（）
这给出
（）
最后，式（）
（）
变成
（）
即买主仅在他获得物品时才会付钱，且若他就是赢得物品所有估价中的最低的估价时，他支付的是物品对于他的价值。
若所有的修正效应函数恒为零（即）且若所有买主是对称的和正规的（注意到正规的意味着是的严格递增函数，所以它存在反函数），则
（）
即我们的最优拍卖变成了一个修正的Vickrey拍卖法（Vickrey，1961），其中卖主自己提交一个等于的买价，也就是说，我们把卖主视为一个报价为的买主（注意：在这种对称情形，有，且正规性保证有是可逆的）且将物品交给最高出价买主，价格是第二高的报价（这里，我们把卖者也看成为是一个投标人，他的估价为，喊价为，当参与人获得物品时，他支付的价格就是第二高价；如果，则第二高价就是）。然而，仅当买主是对称的时且函数是严格递增时，这一结论才成立。所以，这里得到Vickrey拍卖法的一种推广拍卖机制。
譬如，假设对每个和每个在0和100之间的，，每个，，且（即是均匀分布），则直接的计算给出
即 ，它是的增函数。
如果，
要求，就意味着
卖主冒着以概率不能将物品售出的风险，即使某些买主愿支付高于的价格买物品（至少有某个物品才能被卖出，但这就要求由于在匀分布，故概率只有，物品不能被卖出的概率为），但卖主仍然提高了其期望收益，因为他在物品售出时可以获得一个较高的价格。这是典型的不对称信息博弈中的筛选机制——宁愿冒风险没有卖出去，也要去赌卖出高价，这样也导致平均收益达到最大。
于是，最优拍卖不是“事后”有效的。为了更加清晰地说明这一点，考虑上面的例子，并令其中的。则卖主有估价，且唯一的买主有一个取自上均匀分布的估价。事后有效要求买主总能得到物品，只要其估价是正的。
但是，由于任何正的买价都会赢得物品。买主不会报出任何大于无穷小的买价。故卖主若不打算保留物品，则他只会得到零期望收益。事实上，卖主的最优政策是对于任何低于50的价格都拒绝出售物品，这会带给他25的期望收益。
更为一般地，当买主是不对称的时，最优拍卖有时甚至可能将物品卖给估价不是最高的一位买主。譬如，当且对于所有中的成立（没有修正效应时的一般性均匀分布情形），有
它是的增函数。故在最优拍卖中，具有最高的买主将得到物品。若，则即使买主也会赢得物品，只要。事实上，对于估价上界较高的买主，最优拍卖是歧视他们的。这种歧视对于那些低于代表性估价的买主是不利的，而对于那些接近于较高上界的是有利的。
