第二十章
成本最小化
成本最小化
一个公司是成本最小化，如果它生产的任意给定的产量水平y ³ 0 ，以最小可能的总成本.
c(y) 表示公司的最小可能的总成本对于生产y单位的产量.
c(y) 是公司的总成本函数.
成本最小化
当这个公司面临给定的投入价格w = (w1,w2,…,wn) ，总成本函数将会被写着 c(w1,…,wn,y).
成本最小化的问题
考虑一个公司使用两个投入来生产一个产出.
这个生产函数是 y = f(x1,x2).
假设这个产出水平是y ³ 0 是给定的.
假设这个投入价格w1 和w2,一个投入集 (x1,x2)的成本 是 w1x1 + w2x2.
成本最小化的问题
对于给定的w1, w2 和y, 厂商的陈本最小化问题是来求解
受限制于
成本最小化的问题
这个水平 x1*(w1,w2,y) 和 x1*(w1,w2,y) 在最小代价投入集是厂商对投入1和2的条件需求.
这个 (最小可能) 总成本用来生产y单位的产量，因此是
成本最小化的问题
给定 w1, w2 和 y,这个最小成本投入集怎样配置?
以及这些总陈本函数怎样计算?
等成本线
一个曲线包含所有这些投入集，花费同样的量是等成本曲线.
例如，给定w1 和 w2, 这个 $100等成本曲线有一下方程
等成本线
一般的, 给定 w1 和 w2, $c 单位的等成本线方程是 例如
斜率是 - w1/w2.
等成本线
c’ º w1x1+w2x2
c” º w1x1+w2x2
c’ < c”
x1
x2
等成本线
c’ º w1x1+w2x2
c” º w1x1+w2x2
c’ < c”
x1
x2
斜率 = -w1/w2.
Y单位产出等量曲线
x1
x2
所有投入集受益y’ 单位的产量.
那一个是最便宜的?
f(x1,x2) º y’
成本最小化问题
x1
x2
所有投入集受益y’ 单位的产量.
那一个是最便宜的?
f(x1,x2) º y’
成本最小化问题
x1
x2
所有投入集受益y’ 单位的产量.
那一个是最便宜的?
f(x1,x2) º y’
成本最小化问题
x1
x2
所有投入集受益y’ 单位的产量.
那一个是最便宜的?
f(x1,x2) º y’
成本最小化问题
x1
x2
所有投入集受益y’ 单位的产量.
那一个是最便宜的?
f(x1,x2) º y’
x1*
x2*
成本最小化问题
x1
x2
f(x1,x2) º y’
x1*
x2*
在一个内部成本最小投入集: (a)
成本最小化问题
x1
x2
f(x1,x2) º y’
x1*
x2*
在一个内部成本最小化的投入集: (a) 和 (b) 等成本线的斜率 = 等量线的斜率
成本最小化问题
x1
x2
f(x1,x2) º y’
x1*
x2*
在一个内部成本最小化的投入集: (a) 和 (b) 等成本线的斜率 = 等量线的斜率; 例如.
成本最小化的道格拉斯例子
一个厂商的柯布——道格拉斯生产函数是
投入价格是w1 和w2.
什么是这个公司的条件投入需求函数?
成本最小化的道格拉斯例子
在投入集 (x1*,x2*) ，他们最小化生产y单位产出的成本:
(a) (b)
和
成本最小化的道格拉斯例子
(a)
(b)
成本最小化的道格拉斯例子
(a)
(b)
来之于 (b),
成本最小化的道格拉斯例子
(a)
(b)
来之于 (b),
现在替代到 (a) 以得到
成本最小化的道格拉斯例子
(a)
(b)
来之于 (b),
现在替代到 (a) 以得到
成本最小化的道格拉斯例子
(a)
(b)
来之于(b),
现在替代到 (a) 以得到
So
是公司对投入1的条件需求.
成本最小化的道格拉斯例子
是公司对投入2的条件需求.
因为
和
成本最小化的道格拉斯例子
所以收益Y单位的最便宜的投入集是
固定 w1 和 w2.
条件投入需求曲线
固定 w1 和 w2.
条件投入需求曲线
固定 w1 和 w2.
条件投入需求曲线
固定 w1 和w2.
条件投入需求曲线
固定 w1 和w2.
条件投入需求曲线
常量扩展路径
固定w1 和 w2.
条件投入需求曲线
常量扩展路径
对投入2的条件需求
对投入1的条件需求
一个柯布—道格拉斯成本最小化的例子
对于生产函数
收入y单位的最便宜的投入集是
一个柯布—道格拉斯成本最小化的例子
所以公司的总陈本函数是
一个柯布—道格拉斯成本最小化的例子
所以公司的总成本函数是
一个柯布—道格拉斯成本最小化的例子
所以公司的总成本函数是
一个柯布—道格拉斯成本最小化的例子
所以公司的总成本函数是
成本最小化的完全互补的例子
公司的生产函数是
投入价格w1 和w2 被给定.
什么是厂商的条件需求，对于投入1和投入2?
什么是厂商的总成本函数?
成本最小化的完全互补的例子
x1
x2
min{4x1,x2} º y’
4x1 = x2
成本最小化的完全互补的例子
x1
x2
4x1 = x2
min{4x1,x2} º y’
成本最小化的完全互补的例子
x1
x2
4x1 = x2
min{4x1,x2} º y’
收入y单位的最便宜的投入集是?
成本最小化的完全互补的例子
x1
x2
x1*
= y/4
x2* = y
4x1 = x2
min{4x1,x2} º y’
收入y单位的最便宜的投入集是?
成本最小化的完全互补的例子
厂商的生产函数是
以及这些条件投入需求是
and
成本最小化的完全互补的例子
公司的生产函数是
以及这些条件投入需求是
和
所以厂商的总成本函数是
成本最小化的完全互补的例子
厂商的生产函数是
条件投入需求是
和
所以厂商的总成本函数是
平均总生产成本
对于正的产量水平y, 一个公司的平均产出y单位的平均总成本是
规模报酬和平均总成本
一个公司技术的规模回报的性质决定于平均产出成本怎样随着产量水平的改变而改变.
我们公司目前正生产y单位的产出.
公司的平均产量成本怎样改变，如果代之以2y’ 单位的产出？
规模报酬不变和平均总成本
如果一个公司的技术显示出常数规模回报，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ，要求双倍的投入水平.
规模报酬不变和平均总成本
如果一个公司的技术显示出常数规模回报，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ，要求双倍的所有投入水平.
所有的生产成本双倍.
规模报酬不变和平均总成本
如果一个公司的技术显示出常数规模回报，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ，要求双倍的所有投入水平.
整个生产成本双倍.
平均生产成本不改变.
规模报酬递减和平均总成本
如果一个公司的技术显示出规模报酬递减，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ，要求超过双倍的所有投入水平.
规模报酬递减和平均总成本
如果一个公司的技术显示出规模报酬递增，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ，要求超过双倍的所有投入水平.
所有的生产成本超过两倍.
规模报酬递减和平均总成本
如果一个公司的技术显示出规模报酬递减，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ，要求超过双倍的所有投入水平.
整个生产成本超过两倍.
平均生产成本增加.
递增规模报酬和平均总成本
如果一个公司的技术显示出规模报酬递增，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ，要求少于双倍的所有投入水平.
递增规模报酬和平均总成本
如果一个公司的技术显示出规模报酬递增，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ，要求少于双倍的所有投入水平.
总生产成本少于两倍.
递增规模报酬和平均总成本
如果一个公司的技术显示出规模报酬递增，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ，要求少于双倍的所有投入水平.
总生产成本不到两倍.
平均生产成本增加.
规模报酬和平均总成本
y
$/产量单位
常数 .
递减 .
递增 .
AC(y)
规模报酬和平均总成本
总成本函数递形状意味着什么？
规模报酬和平均总成本
y
$
y’
2y’
c(y’)
c(2y’)
斜率 = c(2y’)/2y’
= AC(2y’).
斜率 = c(y’)/y’
= AC(y’).
平均成本增加随着y ，
如果公司的技术显示出DRS.
规模报酬和平均总成本
y
$
c(y)
y’
2y’
c(y’)
c(2y’)
Slope = c(2y’)/2y’
= AC(2y’).
Slope = c(y’)/y’
= AC(y’).
平均成本增加随着y ，
如果公司的技术显示出DRS.
规模报酬和平均总成本
y
$
y’
2y’
c(y’)
c(2y’)
斜率 = c(2y’)/2y’
= AC(2y’).
斜率 = c(y’)/y’
= AC(y’).
平均成本随着y递减 ，
如果公司的技术显示出递增递.
规模报酬和总成本
y
$
c(y)
y’
2y’
c(y’)
c(2y’)
斜率 = c(2y’)/2y’
= AC(2y’).
斜率= c(y’)/y’
= AC(y’).
平均成本随着y递减 ，
如果公司的技术显示出递增
规模报酬和总成本
y
$
c(y)
y’
2y’
c(y’)
c(2y’)
=2c(y’)
斜率 = c(2y’)/2y’
= 2c(y’)/2y’
= c(y’)/y’
所以
AC(y’) = AC(2y’).
平均成本是常数 ，
如果公司的技术显示出常数.
短期和长期总成本
在长期，一个公司能够在所有的投入水平变动.
考虑一个公司，它不能改变它的投入2水平从x2’ 单位.
一个短期总成本生产y单位产出与一个长期总成本生产y单位产出相比较怎样?
短期和长期总成本
长期成本最小化问题是
短期成本最小化问题是
受限于
受限于
短期和长期总成本
短期成本最小化问题是长期问题受限于特殊限制x2 = x2’.
如果长期选择对于x2 是 x2’ 则额外限制x2 = x2’ 根本就不是真的限制，所以长期和短期生产y单位产量的总成本是一样的.
短期和长期总成本
短期成本最小化问题是长期问题受限于特殊限制x2 = x2’.
但是，如果长期选择对于x2 ¹ x2”，则这个额外限制 x2 = x2”阻止了公司在这些短期形式 来获得它的长期生产成本，导致短期总成本来超过长期总成本（生产y个产量单位）.
短期和长期总成本
x1
x2
考虑三个产量水平.
短期和长期总成本
x1
x2
在长期，当公司同时自由选择 x1 和 x2, 这个最小成本投入集是...
短期和长期总成本
x1
x2
长期产量扩展线
短期和长期总成本
x1
x2
长期产量
扩展路径
长期成本是:
短期和长期总成本
现在假设这个公司成为
限制在短期约束之下x2 = x2”.
短期和长期总成本
x1
x2
短期产量
扩展线
长期成本是
短期和长期总成本
x1
x2
短期产量
扩展线
长期成本是
短期和长期总成本
x1
x2
短期产量
扩展线
长期成本是
Short-run costs are:
短期和长期总成本
x1
x2
短期产量
扩展线
长期成本:
短期成本:
短期和长期总成本
x1
x2
短期产量
扩展线
长期成本:
短期成本:
短期和长期总成本
x1
x2
短期产量
扩展线
长期成本:
短期成本:
短期和长期总成本
短期总成本超过长期总成本，除开这个产量水平（此处短期投入水平限制是长期投入水平选择）.
这就是说长期总成本曲线总是有一个点（与任何特殊的短期总成本曲线一样）.
短期和长期总成本
y
$
c(y)
cs(y)
这就是说短期总成本曲线总是有一个点
（与长期总成本曲线一样），
是在别处高于长期总成本曲线.
