线性规划 教 师：苗金利 爱护环境，从我做起 提倡使用电子讲义
线性规划 知识要点 1、 曲线与方程 2、 线性规划 例题分析 x≥0⎧4⎪例1. （2009安徽卷理）若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等x+3y≥4⎨3⎪3x+y≤⎩的两部分，则k的值是（ ） 7343A. B. C. D. 3734 x+y−6≥0⎧⎪x−y≥0⎪例2. 画出不等式组表示的平面区域. ⎨y≤3⎪⎪x<5⎩ - 第 1页 - 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 咨询电话：400-650-7766
例3. 求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤ 2表示的平面区域的面积. 例4. 画出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）为顶点的△ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z = 3x－2y的最大值和最小值. - 第 2页 - 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 咨询电话：400-650-7766
例5. 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元/吨和元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少? 例6. 某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次.甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低? - 第 3页 - 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 咨询电话：400-650-7766
2例7. 实系数方程f（x）=x+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求： b−2（1）的取值范围； a−122（2）(a−1)+(b−2)的取值范围； （3）a+b−3的取值范围. 例8. 设实数x、y满足不等式组 1≤x+y≤4,⎧ ⎨y+2≥2x−3.⎩（1）求点（x,y）所在的平面区域； （2）设a>−1，在（1）所求的区域内，求函数f(x,y)=y−ax的最值. - 第 4页 - 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 咨询电话：400-650-7766
练习题 1.（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是（ ） A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 2x+y≥4⎧⎪2.（2009宁夏海南卷理）设x，y满足x−y≥−1,则z=x+y（ ） ⎨⎪x−2y≤2⎩A. 有最小值2，最大值3 B. 有最小值2，无最大值 C. 有最大值3，无最小值 D. 既无最小值，也无最大值 x−2y≥0⎧223.（2009湖南卷理）已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆x+y=4在区域⎨x+3y≥0⎩D内的弧长为（ ） ππ3π3πA. B. C. D. 4242 - 第 5页 - 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 咨询电话：400-650-7766
x+y≥3⎧⎪4.（2009天津卷理）设变量x，y满足约束条件：x−y≥−1.则目标函数z = 2x+3y的最小值为（ ） ⎨⎪2x−y≤3⎩A. 6 B. 7 C. 8 D. 23 .. x+y−1≥0⎧⎪5.（2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组x−1≤0（α为常数）所表示的平面区⎨⎪ax−y+1≥0⎩域内的面积等于2，则a的值为（ ） A. −5 B. 1 C. 2 D. 3 - 第 6页 - 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 咨询电话：400-650-7766
6. 玩具公司每天工作10小时的机器上可制造两种玩具：卫兵和骑兵。制造一个卫兵需要8秒钟和8克金属，制造一个骑兵需要6秒钟和16克金属，每天可供给的金属量最多为64千克，制造一个卫兵的利润是元，制造一个骑兵的利润是元，问：每种玩具制造度多少时利润最大，最大利润是多少？ 7. 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目。根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%。投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元。问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ - 第 7页 - 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 咨询电话：400-650-7766
参考答案 例1、[解析] 其平面区域如图，不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ΔABC x+3y=4⎧4由 得A（1，1），又B（0，4），C（0，） ⎨3x+y=43⎩144∴S△=(4−)×1=. ABC233设y=kx与3x+y=4的交点为D， 1215则由S=SΔABC=知x=，∴y= ΔBCDDD23225147∴=k×+,k=.选A. 2233 例2、 [分析] 考查不等式组表示的平面区域的画法. 解：不等式x+y－6≥ 0表示在直线x+y－6=0上及右上方的点的 集合，x－y ≥ 0表示在直线x－y = 0上及右下方的点的集合， y≤ 3表示在直线y = 3上及其下方的点的集合，x＜5表示 x+y−6≥0⎧⎪x−y≥0⎪直线x=5左方的点的集合，所以不等式组 ⎨y≤3⎪⎪x<5⎩表示的平面区域如图所示 [说明] 不等式组表示的区域应注意其边界线的虚实. 例3、[剖析] 依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积. 解：｜x－1｜+｜y－1｜≤ 2可化为 x≥ 1， x≥ 1， x≤ 1， x≤ 1， y≥ 1， 或 y≤ 1， y≥ 1， y≤ 1， 或或 x+y ≤ 4 x−y ≤ 2 y−x ≤ 2 x+y≥ 0. 其平面区域如图. 1∴面积S = ×4×4=8. 2 - 第 8页 - 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 咨询电话：400-650-7766
例4、[分析] 本例含三个问题： ①画指定区域； ②写所画区域的代数表达式——不等式组； ③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值. 解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求△ABC区域. 直线AB的方程为x+2y−1=0，BC及CA的直线方程分别为x−y+2=0，2x+y−5=0. 在△ABC内取一点P（1，1），分别代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5得 x+2y−1>0，x−y+2>0，2x+y−5<0. 因此所求区域的不等式组为 x+2y−1≥ 0， x−y+2≥ 0， 2x+y−5≤ 0. 3作平行于直线3x−2y=0的直线系3x−2y = t（t为参数），即平移直线y = x， 2311观察图形可知：当直线y = x−t过A（3，−1）时，纵截距−t最小. 222此时t最大，t=3×3－2×（−1）=11； max311当直线y = x−t经过点B（−1，1）时，纵截距−t最大， 222此时t有最小值为t= 3×（−1）−2×1= −5. min因此，函数z = 3x−2y在约束条件 x+2y−1≥ 0， 下的最大值为11，最小值为−5. x−y+2≥ 0， 2x+y−5≤ 0 例5、解：设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤， 那么总运费z = x+（200−x）++（300−y）（万元） 即z = 780−−. x、y应满足： x≥0⎧⎪y≥0⎪⎪200−x≥0⎪ ⎨300−y≥0⎪⎪x+y≤280⎪200−x+(300−y)≤360⎪⎩- 第 9页 - 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 咨询电话：400-650-7766
作出上面的不等式组所表示的平面区域 设直线x+y=280与y轴的交点为M，则M（0，280） 把直线l：+=0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小 ∵点M的坐标为（0，280）， ∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站、乙煤矿向东车站运280万吨向西车站运20万吨时，总运费最少 例6、[剖析] 弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解. 解：设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么 x+y≤ 9， 10×6x+6×8y≥ 360， 0≤ x≤ 4， 其中x、y∈N. 0≤ y≤ 7. Z = 252x+160y， 作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图. 作出直线l：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的0截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求. 此时，z = 252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，z=252×2+160×5=1304. min答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低. [评述] 用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系 f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点. f(0)>0b>0⎧⎧⎪⎪例7、解：由题意知(1)<0⇒a+2b+1<0 ⎨⎨f(2)>0++2>0⎩⎩如图所示. A（－3，1）、B（－2，0）、C（－1，0）. 又由所要求的量的几何意义知，值域分别为 1（1）[，1）；（2）（8，17）；（3）（－5，－4）. 4 例8、[导析] 必须使学生明确，求点(x,y)所在的平面区域，关键是确定区域的边界线，可从去掉绝对值符号入手 解：（1）已知的不等式组等价于 - 第 10页 - 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 咨询电话：400-650-7766
1≤x+y≤4,1≤x+y≤4⎧⎧⎪⎪y+2≥2x−3 （1） 或y+2≥3−2x （2） ⎨⎨2x−3≥−3<0⎪⎪⎩⎩解得点(x,y)所在的平面区域为所示的阴影部分（含边界） 其中，AB:y=2x−5;BC:x+y=4 CD:y=−2x+1;DA:x+y=1 （2）f(x,y)=y−ax表示直线l:y−ax=k在y轴上的截距，且直线l与（1）中所求区域有公共点 ∵a>−1 ∴当直线l过顶点C时，f(x,y)=y−ax最大 ∵C点的坐标为（−3，7）， ∴f(x,y)=y−ax的最大值为7+3a 如果−1＜a ≤ 2，那么当直线l过顶点A（2，−1）时，f(x,y)=y−ax最小，最小值为−1−2a.如果a＞2，那么当直线l过顶点B（3，1）时，f(x,y)=y−ax最小，最小值为1−3a [说明] 由于直线l的斜率为参数a，所以在求截距k的最值时，要注意对参数a进行讨论，方法是直王新新疆线案敞l动起来学 练习 1、D [解析] 设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系： A原料 B原料 甲产品x吨 3x 2x y 乙产品y吨 3y x>0⎧⎪y>0⎪ 则有： ⎨3x+y≤13⎪⎪2x+3y≤18⎩ 目标函数z=5x+3y 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当x＝3，y＝5时可获得最大利润为27万元，故选D 2、 B [解析] 画出可行域可知，当z=x+y过点（2，0）时，z=2，但无最大值。 min - 第 11页 - 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 咨询电话：400-650-7766
3、B [解析] 解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是11,−，所以圆心角α即为两直线的所成夹角，所以2311|−(−)|π23tanα==1，所以α=，而圆的半径是2，所以弧长114+（⋅−）|23π是. 2 4、B [考点定位] 本小考查简单的线性规划，基础题。 x+y≥3⎧⎪[解析] 画出不等式x−y≥−1表示的可行域，如下图，w. ⎨⎪2x−y≤3⎩ 2xz让目标函数表示直线y=-+在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组33x+y=3⎧得(2,1)，所以z=4+3=7，故选择 ⎨min2x-y=3⎩ 5、D [解析] 如图可得灰色即为满足x−1≤0与x+y−1≥0的可行域，而 ax−y+1=0的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a = −5时，则可行域不是一个封闭区域，当a = 1时，面积是1； 3a = 2时，面积是；当a = 3时，面积恰好为2，故选D. 2 6、解：设造卫兵数为x ≥0 ,骑兵数为y ≥0 ，由题设，可能的解（x, y）应满足以下两条件： 8x+6y ≤36000 8x+16y ≤64000 此时利润应为（+） 由图可知，随k的增加 + = k - 第 12页 - 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 咨询电话：400-650-7766
是一组向上移动的平行线，其中过 8x+6y 和 8x+16y 两直线交点（2400, 2800）的直线为+ = 288 所以卫兵和骑兵每天分别造2400个和2800个时，可得到最大利润288元. [说明] 这是线性规划问题，但可以用几何方法求解。 7、解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目, x+y≤10⎧⎪+≤⎪y 由题意知 目标函数z=x+ ⎨x≥0⎪⎪y≥0⎩(0,18上述不等式组表示的平面区域如图所示， 阴影部分(含边界)即为可行域. 作直线l: x+=0，并作平行于l的 00一组直线x+=z, z∈R,与可行域相交, (0,10)其中有一条直线经过可行域上的M点,且与 直线x+ =0的距离最大,这里M点是直 M(4,6) 线x+y=10和+=的交点。 x+y=10⎧解方程组得x =4, y =6. ⎨+=⎩(10,0) (6,0) x O 此时z = 1×4+×6=7(万元). 因为7>0,所以 x+y=10 += 当x =4, y =6时, z取得最大值. x+=0 答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过万元的前提下,使可能的赢利最大. - 第 13页 - 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 咨询电话：400-650-7766
