经许可复制 著作权人姓名: 魏晓莉 简单的线性规划 北京市第十四中学 魏晓莉 [教学目标] 1、知识目标： （1）了解线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等概念； （2）了解线性规划问题的图解法。 2、能力目标： （1）培养学生的观察能力和联想能力，渗透集合、化归、数形结合等数学思想； （2）培养学生利用现代化信息技术手段进行探索、实验的能力。 3、情感目标： 结合教学内容培养学生学习数学的兴趣以及“用数学”的意识，激励学生勇于创新。 [教学重点] 线性规划的意义及线性规划问题的图解法。 [教学难点] 寻找线性规划问题的最优解。 [教学过程] 一、设置情境，引入新课 放映几段公益广告，引出以下问题： 某班同学计划利用星期日去市郊的养老院进行献爱心活动。学校为同学去养老院提供的往返车费总共是37元。这次活动由A、B两区的同学参与，每区至少去一名同学，并要求B区参与的同学比A区参与的同学至少多一名。已知A区每位同学的往返车费是3元，每人可为5位老人服务，B区每位同学的往返车费是5元，每人可为3位老人服务。怎样合理安排A、B两区参与活动的同学人数，才能使最多的老人得到服务？得到服务的老人人数最多是多少？ 提问：你能将上述问题抽象概括为一个数学问题吗？ 1
分析：将已知数据列成下表： 地区 项目 A区 B区 限额 学生人数（位） x y 车费（元） 3x 5y 37 服务人数（位） 5x 3y 设A区、B区参与活动的同学人数分别是x，y个，得到服务的老人总数为m个，则引例可以转化为以下数学问题： x≥1已知变量x,y满足下列条件：y−x≥1 ① 3x+5y≤37求m=5x+3y的最大值。 二、探索尝试，解决问题 问题1、不等式组①在平面直角坐标系中表示什么？ 问题2、变量x,y受不等式组①的制约，则点P(x,y)应满足什么条件？ 点P(x,y)应在阴影部分所表示的平面区域上。 问题3、m=5x+3y的值是随变量x,y值的变化而变化的，请利用手中的机器探索一下，当点P在何处时m的值最大？ （学生活动） 2
可以观察出当点P与阴影区域边界端点A重合时m的值最大。 问题4、思考一下为什么在点A处m的值最大？ 问题5、将m=5x+3y放入直角坐标系中，它表示什么？m的几何意义是什么？ 问题6、在明了条件和结论的几何意义之后，你能尝试在直角坐标系中解决这个问题吗？ （让学生自己利用TI图形计算器去思考解决问题，然后汇报解决方案） 解：设A区、B区参与活动的同学人数分别是x，y个，得到服务的老人x≥1总数为m个。依题意得：y−x≥1 ① 3x+5y≤37m=5x+3y 作出不等式组①所表示的平面区域，以及直线l: 5x+3y=0， 如图： 3
将直线l：5x+3y=0向右上方移动经过A点，此时直线纵截距最大， 则m取最大值。 解方程组：x−y+1=0 得A点坐标为（4，5） 3x+5y=37∴m=5×4+3×5=35. 答：A区应派4位同学，B区应派5位同学去养老院，最多可为35位老人服务。 问题7、你能求m=5x+3y的最小值吗？ 小结： 在直角坐标系中 变量 x , y 点 P(x,y) 制约条件①坐 标 平 面 上 的一个区域 m斜率为5−的动直线 =5x+3y 3（ 5my=−x+) 33 求 m 的 最 大 值 、 最 小 值求直线5my=−x+在规定条 33 （ 代 数 问 题 ） 件 下纵截距的最大值、最小值 （几何问题） 三、形成概念，归纳方法 1、形成概念 在讲完引例的基础上，采用对比的方法介绍与线性规划有关的概念： 约束条件（线性约束条件）、目标函数（线性目标函数）、线性规划、可 4
行解、可行域、最优解。 2、归纳方法 对照引例的解法，介绍线性规划问题的图解法，师生共同归纳出线性规划问题图解法的解题步骤： （1）画 画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移 在目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵（横）截距最大最小的直线； （3）求 通过解方程组求出最优解； （4）答 作出答案。 四、变式训练，形成技能 6x+7y≤50练习1、已知x,y满足条件x≥3 y≥2（1）求目标函数Z=x+3y的最大值； （2）x,y均为整数，求目标函数Z=x+3y的最大值。 结论一：线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得。 x−4y≤−3练习2、设Z=2x-y，式中变量x,y满足下列条件3x+5y≤25， x≥1求出最优解，并求出Z的最大、最小值。 教学中，要引导学生分清目标函数Z取得最大值时，目标函数所表示的直线的纵截距最大；反之，Z有最小值时，目标函数所表示的直线的纵截距最小。 结论二：求线性目标函数的最优解，要注意分析目标函数所表示的几何意义。 五、归纳小结，延伸提高 1、小结： 5
（1）通过今天的学习，我们初步了解了线性规划的意义及有关概念，学习了线性规划问题的图解法。 （2）数形结合的思想、转化的思想、集合的思想。 代数问题 几何问题 代数问题的解 几何问题的解 （3）数学建模的思想。 2、思考题： （1）若将练习1中的目标函数Z=x+3y变成非线性目标函数=x2y2z+,请同学们思考一下应怎样求解？ （2）以下解法是否正确，请说明道理： 已知：f(x)=px2－q,且-4≤f(1) ≤-1, -1≤f(2) ≤5 求： f(3) 取 值 范 围 解: ∵ f(1)=p－q ∴ -4≤p－q≤-1 …………… ① ∵ f(2)=4p－q ∴ -1≤4p－q ≤5………… ② ∴ 由①，②可得：0≤p≤3, 1≤q≤7 又∵f(3)=9p-q 所以：－7≤f(3)=9p-q≤ 28 六、布置作业 （略） 6
