简单的线性规划
第一讲 二元一次不等式表示平面区域
第二讲 线性规划
第三讲 线性规划的实际应用
二元一次不等式表示平面区域
二元一次不等式表示的平面区域
判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法
例题讲解
O
x
y
二元一次不等式表示的平面区域
O
x
y
在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合{(x,y)|x+y-1=0}是经过点(0,1)和(1,0)的一条直线l，那么以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x,y)|x+y-1>0}是
什么图形?
1
1
x+y-1=0
探索结论
结论：二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式 ax+by+c<0表示的是另一侧的平面区域。
x+y-1>0
x+y-1<0
判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法
O
x
y
1
1
x+y-1=0
x+y-1>0
x+y-1<0
由于对在直线ax+by+c=0同
一侧所有点(x，y)，把它的坐标
(x，y)代入ax+by+c，所得的实
数的符号都相同，故只需在这条
直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),
以ax0+by0+c的正负的情况便可
判断ax+by+c>0表示这一直线
哪一侧的平面区域，特殊地，当
c≠0时常把原点作为此特殊点。
二元一次不等式表示平面区域
例1：画出不等式2x+y-6<0表示的平面区 域。
启动几何画板
O
x
y
3
6
注意：把直线画成虚线以表示区域不包括边界
2x+y-6=0
二元一次不等式表示平面区域
例2：画出不等式组
表示的平面区域。
启动几何画板
O
x
y
3
5
x-y+5=0
x+y=0
x=3
线性规划
问题引入
有关概念
例题讲解
O
x
y
3
5
线性规划
问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：
求z的最大值与最小值。
探索结论
线性规划
问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：
求z的最大值与最小值。
目标函数
（线性目标函数）
线性约
束条件
线性规划
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；
可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域；
最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。
可行域
线性规划
例1：解下列线性规划问题：
求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下
列条件：
解线性规划问题的一般步骤：
第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；
第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。
探索结论
线性规划
练习：解下列线性规划问题：
求z=3x+y的最大值，使式中x、y满足下
列条件：
探索结论
线性规划的实际应用
应用举例之一
——纺纱厂的效益问题
应用举例之二
——煤矿调运方案问题
应用举例之三
——其它问题
线性规划的实际应用
例1：某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润
总额最大?
线性规划的实际应用
300
1
2
一级子棉（吨）
900
600
利润（元）
250
2
1
二级子棉（吨）
资源限额（吨）
乙种棉纱（吨）
甲种棉纱（吨）
产品
资源
例1：某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?
线性规划的实际应用
解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，则
Z=600x+900y
作出可行域，可知直线Z=600x+900y通过点M时利润最大。
解方程组
得点M的坐标
x=350/3≈117
y=200/3≈67
答：应生产甲、乙两种棉纱分别为117吨、67吨，能使利润总额达到最大。
线性规划的实际应用
解线性规划应用问题的一般步骤：
1、理清题意，列出表格；
2、设好变元，列出线性约束条件（不 等式组）与目标函数；
3、准确作图；
4、根据题设精度计算。
线性规划的实际应用
例2：已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元/吨和元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?
线性规划的实际应用
280
1
东车站
300
200
产量（万吨）
360
西车站
运量
（万吨）
乙煤矿
（元/吨）
甲煤矿
（元/吨）
煤矿
车站
例2：已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元/吨和元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?
线性规划的应用
已知：-1≤a+b≤1，1≤a-2b≤3，求a+3b的取值范围。
解法1：由待定系数法: 设 a+3b=m(a+b)+n(a-2 b)
=(m+n)a+(m-2n)b
∴m+n=1，m-2n=3
m=5/3 ，=-2/3
∴ a+3b=5/3×(a+b)-2/3×(a-2 b)
∵-1≤a+b≤1，1≤a-2 b≤3
∴-11/3≤a+3 b≤1
解法2：∵-1≤a+b≤1，1≤a-2 b≤3
∴-2≤2a+2 b≤2，
-3≤2 b-a≤-1
∴-1/3≤a≤5/3
-4/3≤b≤0
∴-13/3≤a+3 b≤5/3
线性规划的应用
若x、y满足(x-2)2+(y+2)2=5，求x-2y的最大值。
已知圆C： (θ为参数)，P(x,y)为圆上任意一点，
（1）求 的最大值和最小值；
（2）求x-2y的最大值和最小值。
