7-1．1)C—D 生产函数： ，其中 A 为效率系数，是广义技术进步水平的反映，参数 、
分别是资本与劳动的产出弹性；并且要求 >0， ， 。
2)CES 生产函数：不变替代弹性生产函数 ，其中 A 为效率系数， 和 为分
配系数，满足 + ＝1， 为替代参数，m 为规模报酬参数。（ >0， ， ，并且
满足 + =1，当 时，表明研究对象是规模报酬不变（递减、递增）的， ）
3)VES 生产函数：变替代弹性生产函数
Revankar 在 1971 年提出的：假定 ，得出
Sato 与 Hoffman（1968）提出的：假定 ，得出
4)要素替代弹性
要素替代弹性，是描述投入要素之间替代性质的一个量，主要用于描述要素之间替代能力的大小。
要 素 替 代 弹 性 是 两 种 要 素 的 比 例 的 变 化 率 与 边 际 替 代 率 的 变 化 率 之 比 ， 一 般 用 表 示 ，
。
5)要素的产出弹性
某投入要素的产出弹性被定义为：当其它投入要素不变时，该要素增加 1%所引起的产出量的变化
率。是从动态变化的角度衡量生产要素对产出量的影响的指标。如果用 表示资本的产出弹性，用
表示劳动的产出弹性，则有：
一般情况下，要素的产出弹性大于 0 小于 1。
6)技术进步
从本质上讲，生产函数所描述的是投入要素与产出量之间的技术关系。即是说，同样的投入要素组
合，在不同的技术条件下，产出量是不同的。技术进步描述的是在投入要素相同的情况下，产出的变化。
7)需求函数
需求函数是描述商品的需求量与影响因素，例如收入、价格、其它商品的价格等，之间关系的数学
表达式。即
其中， 为对第 种商品的需求量； 为收入； 为各种商品的价格； 为商品数目。一
般来讲，影响需求量的主要是收入与价格；对于一些特定的商品和特定的情况，也会在需求函数中引入
其它的解释变量，例如耐用品的存量、一般消费品的消费习惯等。总之，需求函数反映了商品的需求行
为和需求规律，反映了解释变量与被解释变量之间的因果关系，所以可以用于需求的结构分析和需求预
测。
8)需求的价格弹性
需求的价格弹性包括自价格弹性和互价格弹性两种。
需求的自价格弹性是当收入和其它商品的价格不变时，第 种商品价格变化 1%所引起的第 种商品
需求量的变化百分比。即
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p
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需求的互价格弹性是当收入和其它商品的价格不变时，第 种商品价格变化 1%所引起的第 种商
品需求量的变化百分比。即
9)需求的收入弹性
需求的收入弹性是当所有商品的价格不变时，收入变化 1%所引起的第 种商品需求量的变化百分
比。即
11)效用函数：
效用函数分直接效用函数和间接效用函数两大类。
直接效用函数将效用表示为商品需求量的函数。即
间接效用函数将效用表示为收入和商品价格的函数。即
12)消费函数
消费函数模型是关于研究对象的总消费与影响因素，主要是可支配的总收入之间关系的数学表达式，
是计量经济学模型中一个重要组成部分。
13)投资函数
是投资与决定投资的诸因素之间关系的数学描述，也是一定的投资行为理论的数学描述。
14)货币需求函数
是货币需求与决定货币需求的诸因素之间关系的数学描述，在不同的假说下有不同的数学形式。
7-3．试写出需求函数的常见形式，并对影响需求的主要因素进行分析。
⑴ 线性需求函数模型
线性需求函数模型将商品的需求量与收入、价格、其它商品的价格等影响因素之间的关系描述为直
接线性关系。即
⑴ 对数线性需求函数模型
由于它具有合理的经济解释，参数具有明确的经济意义，所以是一种常用的需求函数模型。它的数
学表达式为：
根据弹性的定义， 为需求的收入弹性， 为需求的自价格弹性， 为需求的互价格弹性。根
据需求函数的 0 阶齐次性条件，应该有：
可以采用单方程线性模型的估计方法估计该需求函数模型。
⑴ 耐用品的存量调整模型
对于耐用品，它的需求量不仅受到收入与价格的影响，而且与该种商品的存量有关。一般直接将存
量调整模型设定为
⑴ 状态调整模型
Houthakker 和 Taylor 于 1970 年建议用()
描述耐用品和非耐用品的需求。其中 为状态变量，对于耐用品即为存量，对于非耐用品，它表示消
费习惯等“心理存量”，可以用上一期的实际实现了的需求（即消费）量作为样本观测值。于是。对于非
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耐用品的需求函数模型，可以表示为：
7-4．以投入要素之间替代性质的描述和对技术要素的描述为线索对已有的生产函数模型进行综述，并
从中体会经济研究的方法论。
以投入要素之间替代性质的描述为线索对已有的生产函数模型进行综述：
⑴ 线性生产函数模型
如果假设资本 与劳动 之间是无限可以替代的，则产出量 与投入要素组合之间的关系可以用
如下形式的模型描述：
对于该模型，要素的边际产量 ，边际产量之比 。于是有
代入()得到 ，即要素替代弹性为∞。从()也可以直观地
看出，一种要素可以被另一种要素替代直至减少为 0，产出量仍然不变。
⑴ 投入产出生产函数模型
假设资本 与劳动 之间是完全不可以替代的，则产出量 与投入要素组合之间的关系可以用如
下形式的模型描述： 称为投入产出型生产函数。其中 为生产 1 单位的产出
量所必须投入的资本、劳动的数量。由于 为常数，所以产出量 所必须的资本投入量 = ，劳
动投入量 = ，二者之比 为常数， 。代入()得到 ，即要素替代
弹性为 0，资本 与劳动 之间完全不可以替代。
⑴ C-D 生产函数模型
C-D 生产函数模型假设要素替代弹性为 1。与上述要素之间可以无限替代的线性生产函数模型和要
素之间完全不可以替代的投入产出生产函数模型相比较，C-D 生产函数模型假设要素替代弹性为 1，是
更加逼近于生产活动的实际，是一个很大的进步。但是，C-D 生产函数模型关于要素替代弹性为 1 的假
设仍然具有缺陷。根据这一假设，不管研究对象是什么，不管样本区间是什么，不管样本观测值是什么，
要素替代弹性都为 1，这是与实际不符的。
⑴ 不变替代弹性(CES)生产函数模型
要素替代弹性
一旦研究对象确定、样本观测值给定，可以得到参数 的估计值，并计算得到要素替代弹性的估计
值。对于不同的研究对象，或者同一研究对象的不同的样本区间，由于样本观测值不同，要素替代弹性
是不同的。这使得 CES 生产函数比 C-D 生产函数更接近现实。但是，在 CES 生产函数中，仍然假定要
素替代弹性与样本点无关，这就是不变替代弹性生产函数模型的“不变”的含义。而这一点，仍然是与实
际不符的。对于不同的样本点，由于要素的比例不同，相互之间的替代性质也应该是不同的。所以，不
变替代弹性生产函数模型还需要发展。
⑴ 变替代弹性(VES)生产函数模型
变替代弹性生产函数模型中较著名的是 Revankar 于 1971 年提出的模型和 Sato 与 Hoffman 于 1968
年提出的模型。
前者假定要素替代弹性 为要素比例的线性函数，即 ，要素比例不同，要素之间的替
代性能是不同的]。当 较大时，资本替代劳动就比较困难；当 较小时，资本替代劳动就比较容
易。后者假定要素替代弹性 为时间的线性函数，即
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随着时间的推移，技术的进步将使得要素之间的替代变得容易。
以对技术要素的描述为线索对已有的生产函数模型进行综述：
⑴ 将技术要素作为一个不变参数的生产函数模型
在 C—D 生产函数和不变替代弹性模型中，已经引入了技术要素，但是仅仅将它作为独立于其它投
入要素之外的一个不变的参数。其基本假设是：技术进步是广义的；技术进步是中性的；技术进步改变
了由其它投入要素的数量决定的生产活动的效率；技术进步的作用在所有样本点上都是相同的。
⑴ 改进的 C-D、CES 生产函数模型
在改进的 C-D、CES 生产函数模型中，作为资本和劳动产出弹性的参数不随样本点变化，这就是说
技术进步不是节约资本型和节约劳动型，而是中性的。
⑴ 含体现型技术进步的生产函数模型
技术进步要素中有一部分是体现为资本、劳动等要素质量的提高，而资本、劳动等要素质量的提高
使得相同数量的要素投入量具有不同的产出效果。所以，如果能将体现为资本、劳动等要素质量提高的
技术进步因素从广义技术进步中分离出来，无论是对技术进步的作用机制描述，还是对技术进步作用的
数量描述都是十分重要的。由 Solow 于 1964 年首先提出并由 Nelson 于 1964 年补充应用的含体现型技
术进步的生产函数模型（也称为 Solow-Nelton 同期模型），就是在这个思路下发展起来的，是生产函数
模型的一个重大进展。
⑴ 总量增长方程
⑴ 分离资本质量的含体现型技术进步的生产函数模型
⑴ 分离劳动质量的含体现型技术进步的生产函数模型
⑴ 边界生产函数模型
边界生产函数按照边界的性质分为确定性边界生产函数和随机边界生产函数两大类。
确定性边界生产函数把影响产出量的不可控因素（例如观测误差、方程设定误差等）和可控因素
（例如生产非效率因素）不加区别，统统归入一个单侧的误差项中，作为对非效率的反映。其模型可以
写成：
随机边界生产函数把影响产出量的不可控因素和可控因素加以区别。其模型可以写成：
7-5．在选择模型类型、变量和函数形式时，各应考虑哪些因素？
在建立与应用模型过程中有许多实际问题需要认真处理，其中较为突出的是数据质量问题。
⑴ 样本数据的一致性问题
可以作为生产函数模型样本数据的有两类：时间序列数据和截面数据。在选择哪类数据作样本时，需要
特别注意一致性问题。
⑴ 样本数据的准确性问题
在生产函数模型估计中，经常遇到样本数据口径不一致的问题。处理的方法，一是按照最小口径建
立模型，然后在应用中对全口径进行估算；二是利用其它信息对样本数据首先进行调整，然后再估计模
型。
⑴ 样本数据的可比性问题
在生产函数模型估计中，更严重的问题是样本数据的可比性问题，主要表现是在不同的样本点上，
实际相同的产出量或要素投入量出现不同的观测值数据。
7-6．解释 ELES 模型中各个组成部分及整个模型的经济含义，试根据《中国统计年鉴》提供的城乡居
民消费支出和收入的横截面统计资料，建立 ELES 模型并进行消费需求分析。
扩展的线性支出系统需求函数模型(ELES)
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为克服 LES（线性支出系统需求函数模型）在估计上的困难，1973 年 Liuch 对 LES 作了两点修改，
提出了扩展的线性支出系统需求函数模型。这两点修改是：以收入 代替预算 ；将 的概念由边际预
算份额改为边际消费倾向。于是模型表达式为：
其中待估参数为基本需求量 和边际消费倾向 。按照它们的经济意义，应该有：
由收入和价格的样本观测值可对模型进行估计。扩展的线性支出系统需求函数模型具有 0 阶齐次性。
7-7．简述 C—D 生产函数和 CES 生产函数的特点以及各自的估计方法，熟练应用 C—D、CES 生产函
数模型及其改进型。
C—D 生产函数：
对于 C-D 生产函数模型及其改进型，两边取对数，即可化成线性模型，然后采用单方程线性计量经
济学模型的估计方法估计其参数。但是其假设条件是随机误差项可以作为方程的一个因子与理论模型相
乘，即模型的计量经济学型态为：
如果随机误差项作为方程的一个因子与理论模型相加，即
则要采用非线性模型的估计方法估计其参数。在实际应用中，都假设为前一种情况。
CES 生产函数：
对 CES 生产函数模型
为一个关于参数的非线性模型，采用简单的方法难以化为线性模型。自 1961 年以来，关于它的估计问
题有许多研究，主要有两类方法，即利用边际生产力条件的估计方法和直接估计方法。
边际生产力条件，即当生产活动处于均衡的情况下，存在：
其中 分别表示资本的利率、劳动的工资率和产出品的价格。将该条件应用于，经过适当的变换，
可以得到线性计量经济学方程。由于边际生产力条件与实际生产活动有较大距离，在实际上我们基本不
采用这类估计方法。顺便指出，对其它形式的生产函数模型，从理论上讲，也可以利用边际生产力条件
进行估计，所以我们称其为“一类”估计方法。
直接估计方法。将 C-D 生产函数模型的计量型态假设为：
两边取对数，得到：
将其中的 在 处展开台劳级数，取 0 阶、1 阶和 2 阶项，得到：
()为一个简单线性模型，通过变量置换，可以表示成：
采用单方程模型的估计方法，得到 的估计值，利用对应关系和 ，可以计算得到
关于参数 的估计值。
选择在 处展开台劳级数，是因为当 时，要素替代弹性等于 1，即模型退化为 C-D 生产
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函数，由于 C-D 生产函数的普遍适用性，所以可以假定 为接近于 0 的数。当参数估计完成后，可以根
据 的估计值是否接近于 0 来检验这种估计方法的可用性。
从上式可以看出，当 时，方程为：
即为 C-D 生产函数模型。所以可以认为 CES 生产函数模型是对 C-D 生产函数模型的修正。
7-8．技术进步有哪些类型？如何利用生产函数进行纵向技术进步分析和横向技术进步比较研究？
根据包含内容的多少，技术进步可以分为广义技术进步与狭义技术进步。
狭义技术进步仅指要素质量的提高。例如，由于性能的改进，同样数量的资本在生产过程中的贡献
是不一样的；由于文化水平的提高，同样数量的劳动在生产过程中的贡献是不一样的。狭义的技术进步
是体现在要素上的，它可以通过要素的“等价数量”来表示。例如，如果一个具有大学文化水平的劳动者
对产出量的贡献是一个具有中学文化水平劳动者的 3 倍，那么就可以将一个具有大学文化水平的劳动者
等价于 3 个具有中学文化水平劳动者，求得“等价劳动数量”，作为生产函数模型的样本观测值，以这样
的方法来引入技术进步因素。广义技术进步除了要素质量的提高外还包括管理水平的提高等对产出量具
有重要影响的因素，这些因素是独立于要素之外的。
另一种对于技术进步的考虑是基于产出弹性比的，称为中性技术进步。
假设在生产活动中除了技术以外，只有资本与劳动两种要素，定义两要素的产出弹性之比为相对资
本密集度，用ω表示。即
如果技术进步使得ω越来越大，即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得快，则称之为节约劳动型技
术进步；如果技术进步使得ω越来越小，即劳动的产出弹性比资本的产出弹性增长得慢，则称之为节约
资本型技术进步；如果技术进步前后ω不变，即劳动的产出弹性与资本的产出弹性同步增长，则称之为
中性技术进步。
在中性技术进步中，如果要素之比 不随时间变化，则称为希克斯中性技术进步；如果劳动产
出率 不随时间变化，则称为索洛中性技术进步；如果资本产出率 不随时间变化，则称为哈
罗德中性技术进步。
不同的技术进步类型是建立生产函数模型时必须要考虑的重要因素，对生产函数模型将产生重要影
响。
7-9．消费函数与需求函数的研究内容有何不同？熟悉消费者行为理论的几种基本假说及由其导出的消
费函数模型，能够解释各种消费函数的理论模型并推导出模型的一般形式。
消费理论旨在研究消费行为。这里的消费指消费总量，而不是对具体商品或服务的消费需求，这是
它有别于需求理论的主要之点。它的研究对象可以是一个国家、一个群体，甚至一个个体，但一定是对
象的总消费。消费函数模型是关于研究对象的总消费与影响因素，主要是可支配的总收入之间关系的数
学表达式。
⑴ 绝对收入假设消费函数模型
⑴ 绝对收入假设消费函数模型
Keynesian 认为，消费是由收入唯一决定的，消费与收入之间存在着稳定的函数关系。随着收入的
增加，消费将增加，但消费的增长低于收入的增长，即边际消费倾向递减。根据这一理论假设，可以建
立如下消费函数模型：
其中 表示消费额， 表示收入， 为待估参数。从经济意义上讲， 为自发性消费， 为边际消
费倾向，于是有： ，
⑴ 关于绝对收入假设消费函数模型的讨论
上述模型表达了 Keynesian 的消费是由收入唯一决定的假设，但是由于边际消费倾向 为常数，并没有
真正反映边际消费倾向递减规律。但是
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可以较好地反映边际消费倾向递减规律，并且仍然有很方便地采用单方程模型的估计方法估计其参数。
⑴ 相对收入假设消费函数模型
⑴ “示范性”假设消费函数模型
Duesenberry 认为，消费者的消费行为不仅受自身收入的影响，也受周围人的消费水平的影响。由
消费的“示范性”，个人的平均消费倾向不仅与收入有关，而且与个人所处的群体的收入分布有关，在收
入分布中处于低收入的个人，往往有较高的消费倾向。即
其中 为该消费者所处的群体的平均收入水平。当 一定时，对于较低的 ，其 较高。
这就是“示范性”的作用。上式的计量形态可表示为：
其中待估参数 ，反映个人的边际消费倾向； ，反映群体平均收入水平对个
体消费的影响。
⑴ “不可逆性”假设消费函数模型
Duesenberry 认为，消费者的消费支出水平不仅受当前收入的影响，也受自己历史上曾经实现的的
消费水平的影响。由消费的“不可逆性”，当前的平均消费倾向不仅与收入有关，而且与所曾经达到的消
费水平，即曾经达到的最高收入水平有关，当前收入低于曾经达到的最高收入时，往往有较高的消费倾
向。即
其中 为该消费者曾经达到的最高收入水平。从上式可以看出，当 一定时，对于较低的 ，
其 较高。这就是“不可逆性”的作用。上式的计量形态可表示为：
其中待估参数 ，反映当前的边际消费倾向；
，反映曾经达到的最高收入水平对当前消费的影响。
⑴ 生命周期假设消费函数模型
Modigliani，Brumberg 和 Ando 于 1954 年提出，消费者现期消费不仅与现期收入有关，而且与消费
者以后各期收入的期望值、开始时的资产数量和年龄有关。消费者一生中消费支出流量的现值要等于一
生中各期收入流量的现值。所以，消费者的预算约束为：
其中 为贴现率。在预算约束下，消费者总希望将自己一生的全部收入在消费支出中进行最优分配，使
得效用函数 达到最大。于是推导消费函数问题就变成下列拉格郎日函数的极值问题：
表明消费是各个时期的收入和贴现率的函数。
一般近似地用下列函数描述生命周期假设消费函数模型：
其中 为 时刻的资产存量，待估参数 ，反映当前的边际消费倾向； ，反
映消费者已经积累的财富对当前消费的影响。对上式的理论形式（即不出现随机误差项）作如下变换：
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从中可以看出，已经积累的财富越多，其当前的消费倾向 越高。模型可以很方便地采用单方程模
型的估计方法估计其参数。
⑴ 持久收入假设消费函数模型
Friedman 于 1957 年提出了消费的持久收入假设，它是对 Keynesian 的绝对收入假设的修正与补充。
分析消费者的消费行为发现，在消费中有一部分是经常的必须保证的基本消费，另一部分是非经常的额
外消费；而收入也可以分成两部分，一部分是可以预料到的长久性的、带有常规性的持久收入，另一部
分是非连续性的、带有偶然性的瞬时收入。即
其中 分别为实际收入、持久收入和瞬时收入； 分别为实际消费、持久消费和瞬时消
费。持久消费由持久收入决定，瞬时消费由瞬时收入决定。于是持久收入假设消费函数模型的一种计量
形态是：
⑴ 合理预期的消费函数模型
理性预期理论认为，人们可以对原因变量进行预期，然后根据原因变量的预期值对结果变量进行预
测。于是，在消费函数研究中，假设第 t 期的消费是收入预期值 的函数，即
表示消费者按收入预期决定自己的消费计划和实现消费。而收入预期值 是现期实际收入与前一期预
期收入的加权和：
代入得到：
于是可以将合理预期的消费函数模型的计量形态表示为：
模型可以很方便地采用单方程线性模型的估计方法估计其参数。
6． 适应预期的消费函数模型
适应预期理论认为，人们可以根据原因变量的实际值对结果变量进行预期，但是实际上往往达不到
预期的结果，就需要对结果变量的预期值进行调整。于是，在消费函数研究中，假设第 t 期的消费预期
值 是收入的函数，即
表示消费者按收入决定自己的消费预期。而由于种种原因，实际消费与消费预期值之间存在如下关系：
为调整系数。可以将该式写成：
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t
t
t
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1
代入即可求得消费函数模型，其计量形态为：
可以很容易地估计该模型。
7-10．弹性分析的意义和在经济分析中的作用是什么？
弹性是某一变量的相对变化引起另一变量的相对变化的度量，即变量的变化率之比。在经济研究中，除
了需要研究经济系统中变量绝对量之间的关系，还要掌握变量的相对变化所带来的相互影响，以掌握经
济活动的数量规律和有效地控制经济系统。弹性分析是结构分析地三个主要分析方法之一。
7-11．总投资由哪两部分组成？投资函数主要用于研究什么问题？
总投资由上一年的资本存量和当年的资本投入两部分组成。投资函数模型是投资与决定投资的诸因
素之间关系的数学描述，也是一定的投资行为理论的数学描述。投资行为理论研究主要包括两个问题，
一是最优资本存量是如何决定的，二是实际资本存量如何调整到最优资本存量。投资活动是形成资本存
量的过程，所以它与经济增长之间的关系是通过资本存量的变化实现的。这就决定了投资函数是由投资
额、资本存量或增量和经济活动水平或增量，以及它们之间的关系构成的函数。
7-12．投资的加速模型有哪些形式？解释各自的原理及模型的推导过程。
⑴ 原始加速模型(Naïve Accelerator Model)
加速模型是西方国家用于投资研究的主要模型，经历了漫长的发展过程。1917 年首先由 Clark 提出
了原始的加速模型，它是以不变的固定资产产出比为基础的模型。即 其中 为最优资本存
量， 为固定资产产出比，是一个不变的参数。如果假定在每个时期实际资本存量都能及时调整为最优
资本存量，则有： 它的计量形态为：
⑴ 灵活的加速模型（Flexible Accelerator Model）
Koyck 于 1954 年放弃实际资本存量都能及时调整为最优资本存量的假设，提出了灵活的加速模型。
该模型认为实际资本存量与最优资本存量之间存在如下关系：
即
其中 ，为调整系数。它可以写成：
表明 t 时刻的资本存量不仅取决于现期产出，而且也与过去的产出 水平有关。这是由多方面的原因造成
的，例如决策者在投资之前需要确认产出 的上升是持久性的，需要足够的时间来筹集投资资金，投资
品需要前期供给等。
如果考虑到折旧，则有：
其中 为折旧率。写成计量经济方程形式为：
其中有两个解释变量，3 个待估参数，不能直接估计全部参数，必须先验地得到折旧率 ，然后估计
和 。
⑴ 实用的加速模型
将考虑折旧的灵活加速模型表示成含有内生解释变量的形式：
这里利用了
C C Yt t t t ( )1 1 t T 1 2, , ,
K Ye K e
I K K K K Y Yt t t t
e
t t t 1 1 1( ) I Yt t t
K K K Kt t t
e
t 1 1 ( )
K K K Y Kt t
e
t t t ( ) ( )1 11 1
0 1 K Y Y Yt t t t ( ( ) ( ) )1 11
2
2
I K K K Y Kt t t t t t 1 1 1 ( )
I Y Kt t t t ( ) 1
I I Y K Y Kt t t t t t ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 11 1 1 2
Y Y It t t( ) ( )1 1 1
I K Kt t t 1 1 21( )
于是有
该模型中全部参数都可以直接估计得到，而且不需要资本存量的数据，是一个比较实用的加速模型。
⑴ 利用最新信息的加速模型
Hines 和 Catephores 于 1970 年用 代替 ，其中 表示产出水平的最新信息，
它指出，人们是根据产出水平的最新信息来确定资本存量的期望值，而不是根据尚未可知的实际产出水
平。于是有
其计量形态为：
估计模型时必须首先给定 n，然后估计其它参数。
7-13．理解确定型统计边界生产函数及其 COLS 估计
用修正的普通最小二乘法估计确定性统计边界生产函数模型，即是首先用最小二乘法估计平均生产
函数，然后计算所有样本点的产出量的观测值与平均生产函数估计值之差，取其最大者加到平均生产函
数的常数项上，即得到边界生产函数的常数项，进行而得到边界生产函数。
修正的普通最小二乘估计（COLS）是 Richmand 于 1974 年首先提出的在普通最小二乘估计结果的
基础上对常数项进行修正的一种估计方法，得到了广泛的应用。
对于确定性统计边界生产函数
如果用 C-D 生产函数的形式表示，则写成：
其对数形式为：
其中实质上的边界生产函数为：
为理论上的最大产出量。设 ，将其写成：
式中 ，可以用普通最小二乘法估计模型，得到：
这就是我们所说的平均生产函数，它与我们所要求的边界生产函数的差别在于常数项。要求得边界生产
函数的常数项 的估计值，应该有：
根据边界生产函数应该使得所有实际产出量都在它的下面的特点，可以用
作为 的值，代入得到 。于是所要求的边界生产函数为
该边界生产函数即是平均生产函数向上平移了 。
7-14．在估计生产函数模型时，为什么样本数据的可比性显得尤其重要和突出？
在生产函数模型估计中，更严重的问题是样本数据的可比性问题，而这个问题经常被忽视。主要表
现是在不同的样本点上，实际相同的产出量或要素投入量出现不同的观测值数据。例如，产出量用当年
价格计算时，采用时间序列数据为样本，由于价格的变化，会使不同样本点上实际相同的产出量表现出
相差甚大的观测值。再如，固定资产原值按固定资产形成时的价格计算，对于同行业的两个规模相同、
生产工艺相同、设备技术水平相同的企业，只是因为投产时间不同，帐面上的固定资产原值差别会很大，
作为样本数据时，尽管在不同样本点上实际投入的固定资产数量相同，却出现了不同的观测值。诸如此
I t Y Y It t t t( ) ( )1 11 1
K Yt
e
t n K Yt
e
t Yt n
I t Y Y It n t n t( ) ( )1 11 1 Y Y It n t n t1 11( )
I t Y Y It n t n t t1 11( )
Y f K L e u ( , , ) ( )u 0
Y AK L e u ( )u 0
ln ln ln lnY A K L u
ln ln ln ln Y A K L
Y Eu A a , ln ln ( ) ln ln ( )Y a K L u
E u( ) 0 ln ( ) ln lnY a K L
a ( ) a a
M ax Y Y M ax Y a K Li i i i i(ln ln ) (ln (( ) ln
ln ))
a
Y e K La
类的样本数据不可比问题，会给生产函数的结构参数估计值造成很大的“失真”
7-15．理解需求弹性和需求函数的齐次性条件；如何应用它们检验需求函数模型参数估计量？
当收入、价格、其它商品的价格等都增长 倍时，对商品的需求量没有影响。即
这就是需求函数的 0 阶齐次性条件，是需求函数的一个重要特征。可以用该条件检验实际建立的需求函
数模型是否正确。
7-22．．某市纺织工业总产值、固定资产、职工人数统计资料如下表所示：
年份 总产值 Y（亿
元）
固定资产 K（亿
元）
年末职工人数 L（万
人）人）人1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
要求：（1）估计该市纺织工业部门的 C—D 生产函数
（2）求 1987~1996 年 10 年间平均的技术进步贡献率。
解： ，
将数据代入，得到各个参数的估计值， ,m=, , ,
技术进步速度： ，
根据样本数据得到： ，由 , ,得到
技术进步的平均贡献率为： =
7-24．将商品分成食品、衣着、日用品、住房、燃料、文化生活服务六大类，建立如下的线性支出系统
需求模型： 其中： ——人均购买第 类商品的支
出； ——第 类商品的价格； ——第 类商品的基本需求量； ——总支出
根据调查资料，利用最小二乘法估计参数结果如下表所示：
1 食品 2 衣着 3 日用品 4 住房 5 燃料 6 服务
f I p p pi n( , , , , , ) 1
0 f I p p pi n( , , , , , )1
KLeAY mt0
KLeAY mt0
KLmtAY lnlnlnln 0
0 A
KLeY t lky
%
%
%
l
k
y
%
E
yA
100% ％＝ %100
)( 00
j
jjiiii qpVqpV 6,,2,1 i iV i
ip i
0
iq i V
i
120 20 15 18 10 5
假设人均总支出 。
要求：根据模型计算各类需求的生活消费支出弹性，即生活消费总支出增加 1%时各类需求量的相对变
化率。
解：根据支出弹性公式 ，
，其它同理可得。
根据支出弹性公式 ，
，其它同理可得。
7-25．．设 其中： ——人均食品消费量， ——食品价格； ——人均可支配收入。
已知如下的样本二阶矩：
假设需求函数模型为 要求：估计需求的收入弹性和价格弹性。
解：由 和 得到
收入弹性 ，价格弹性
通过样本二阶距可以得到 ， 的估计量，进而得到收入弹性和价格弹性。
7-26．CES 生产函数与 C—D 生产函数的关系是什么？请证明之。
将 C-D 生产函数模型的计量型态假设为：
两边取对数，得到：
将其中的 在 处展开台劳级数，取 0 阶、1 阶和 2 阶项，代入上式，得到：
，为一个简单线性模型，通过变量置
换，可以表示成：
0
ii q
280V
ii
i
i
i
i qp
V
q
V
V
q
)(
00
j
jjiiii qpVqpV
1
1
V
ii
i
i
i
i qp
V
q
V
V
q
)( 00
j
jjiiii qpVqpV
1
1
V
)lg( ii yx 1y 2y 3y
1x 2x 3x
1x
2x
3x
ueyAyy 321
ueyAyy 321 )lg( ii yx 321 xxax
3
1
3
1
1
3
3
1
ln
ln
dx
dx
yd
yd
y
y
dy
dy
2
1
1
2
2
1
ln
ln
yd
yd
y
y
dy
dy
Y A K L
m
( ) 1 2
1
ln ln ln( )Y A K Lm
1 2
ln( ) 1 2K L
0
ln ln ln ln (ln( ))Y A m K m L m
K
L
1 2
1
2 1 2
2
Z X X X 0 1 1 2 2 3 3
采用单方程模型的估计方法，得到 的估计值，利用对应关系和 ，可以计算得到
关于参数 的估计值。
选择在 处展开台劳级数，是因为当 时，要素替代弹性等于 1，即模型退化为 C-D 生产
函数，由于 C-D 生产函数的普遍适用性，所以可以假定 为接近于 0 的数。当参数估计完成后，可以根
据 的估计值是否接近于 0 来检验这种估计方法的可用性。
从以上结果可以看出，当 时，方程为：
即为 C-D 生产函数模型。所以可以认为 CES 生产函数模型是对 C-D 生产函数模型的修正。
对于改进的 CES 生产函数模型，估计方法是相同的。
7-27．证明：模型 中的 及 的最小二乘估计量是 对 和
的固定不变的偏弹性估计量。
证：偏弹性 ，同理，
例 1：某工业企业资料如下表。试估计该企业的生产函数
年份 总产值（Ｙ） 职工人数（Ｌ） 固定资产原值＋定额流动资金余额（Ｋ）
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
解答：先估计 C-D 生产函数。
方法１：对数线性形式的 OLS 估计
Eviews 的估计结果如下：
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C
LOG(K)
LOG(L)
R-squared Mean dependent var
Adjusted R-squared . dependent var
. of regression Akaike info criterion
Sum squared resid Schwarz criterion
0 1 2 3, , , 1 2 1
A m, , , , 1 2
0 0
0 ln ln ln lnY A m K m L 1 2
uxxy 33221 lglglg 2 3 y 2x 3x
2
2
2
2
2 ln
ln
xd
yd
y
x
dx
dy
33
KLY lnlnln 210
Log likelihood F-statistic
Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)
即：
方法２：强度形式的 OLS 估计
Eviews 的估计结果如下：
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C
LOG(K/L)
R-squared Mean dependent var
Adjusted R-squared . dependent var
. of regression Akaike info criterion
Sum squared resid Schwarz criterion
Log likelihood F-statistic
Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)
即： 由参数的显著性看，方法二得到的生产函数更好一些。
再估计 CES 形式的生产函数：
Eviews 的估计结果如下：
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C
LOG(K)
LOG(L)
(LOG(K/L))^2
R-squared Mean dependent var
Adjusted R-squared . dependent var
. of regression Akaike info criterion
Sum squared resid Schwarz criterion
Log likelihood F-statistic
Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)
由此可计算各参数：m=，⑴1= ，⑴2=，⑴=
由于分配系数⑴1<0，因此这一估计结果的经济含义不正确，需进一步修正。
例 2、使用中国某年的截面家计调查资料，求恩格尔曲线。
人均消费按人均月收
入分组
人均收入 I 人均总支出
食品 衣着 燃料 用品 非商品
20 以下
20~25
25~30
30~35
35~40
40~45
45~50
KLY
)/ln()/ln( 10 LKLY
KLY
ln ln ln ln (ln( ))Y A m K m L m
K
L
1 2
1
2 1 2
2
iii qpV
iV V
50~55
55~60
60 以上
平均数
第一步：将 ELES 模型改写为恩格尔曲线的形式，用 OLS 法估计参数 和 ，
估计结果见表 2；由表 2 求得由此可估计出总的基本需求支出为：
Dependent Variable: V1
Method: Least Squares
Sample: 1 11
Included observations: 11
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C
I
R-squared Mean dependent var
Adjusted R-squared . dependent var
. of regression Akaike info criterion
Sum squared resid Schwarz criterion
Log likelihood F-statistic
Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)
Dependent Variable: V1
Method: Least Squares
Sample: 1 11
Included observations: 11
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C
I
R-squared Mean dependent var
Adjusted R-squared . dependent var
. of regression Akaike info criterion
Sum squared resid Schwarz criterion
Log likelihood F-statistic
Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)
食品、衣着、燃料、用品和非商品五个类别的恩格尔曲线：
商品类别 t( ) t( ) F .
食品
衣着
燃料
日用品
非商品
第二步：将总的基本需求支出的估计值代入即得第 i 种商品的基本消费支出：
例如食品的基本需求支出为
ia ib
ia ia ib ib 2R 2R
),,2,1(ˆ1ˆˆˆˆˆˆˆ
111
nibabarpbarp
n
i
i
n
i
iii
n
i
iiiiii
.*..ˆˆˆˆ
1
n
i
ii rpbarp
有关）（仅与，其中， irpbrpaqpVniIbaV
n
j
jjiiiiiiiiiii
1
),,2,1(
n
i
i
n
i
i
n
i
ii barp
111
ˆ1ˆˆ
第三步，例如食品的 ELES 模型估计结果为： =+*()
同理，逐次求出其他各商品的基本需求支出，得到所有消费品的 ELES 模型估计结果如下：
食品 衣着 燃料 日用品 非商品
线性支出系统可用来分析收入变化对消费需求结构的影响。如消费支出构成为：
如果月均收入有所变化，如分别为 80 元，100 元，带入上述公式可得各项消费支出（单位：元）和
结构变化如下：各项消费支出（单位：元）变化
人均月收入 人均消费总支出 食品支出 衣着支出 燃料支出 日用品支出 非商品支出
80
1V̂
iiqp
*
ib
iii bb /
iiii qpqp /
