第五章 平均指标
第一节 平均指标的基本理论
第二节 算术平均数
第三节 调和平均数
【学习目标】通过本章的学习和习题演算，掌握平均指标的
概念、特点和作用；算术平均数、调和平均数、几何平均数、中
位数与众数的计算方法和应用。了解平均指标的计算原则和分布
特征。
第四节 几何平均数
第五节 位置平均数
第六节 平均指标的应用
第一节 平均指标的基本理论
概念
平均指标反映同质总体内某一数量标志在具体时
间、地点条件下达到的一般水平的综合指标。
数据集中区
变量x
集中趋势集中趋势 总体中各单位的次数分布从两边向中间集中的趋总体中各单位的次数分布从两边向中间集中的趋
势势
83名女生的身高
分布的集中趋势、
中心数值
算术平均数
（一）作用
一、测定平均指标的作用和特点
第五章 平均指标
第一节 平均指标的基本理论
（二）特点
11、、总体同质性总体同质性 2、数量抽象性 3、一般代表性
1、利用平均指标可以将同类现象的一般水平在不同
的空间和时间上进行比较。
2、利用平均指标可以分析现象之间的依存关系以及
估计、推算其他有关指标。
3、利用平均指标可以反映现象总体的客观规定性。
【专栏5－1】
【据新华社北京2月6日电】我国2002年科技竞争力的国际排
名为第25位，从近年的排名看，基本稳定在第25至28名之间，
反映出我国科技发展在国际上的地位。这是中国科技促进发
展研究中心根据《洛桑报告》评价体系得出的结论。中国科
技促进发展研究中心专家杨起全、吕力之通过分析评价体系
的各单项指标得出，我国的数据特点是“总量排名比较靠前，
平均指标比较落后，综合评价整体排名靠后”，这也是发展
中大国的共同特点。例如，我国R＆D（研究与开发）经费总
量增长较快，1996年排名仅为19位，2002年升至第9位，而
人均R＆D总经费排名第43位（倒数第7位）。
中国科技竞争力总量排名靠前平均指标落后
第五章 平均指标
【专栏5－1】
另外，我国人均R＆D经费的增长速度低于与我国排名比
较接近的国家，1999年我国人均R＆D经费排名第40位，
到2002年这项指标反而退后到了第43位。在科技人力资
源方面也存在类似的情况。我国的R＆D人员总量排名第
2位，而人均仅排名第34位。
第五章 平均指标
中国科技竞争力总量排名靠前平均指标落后
二、平均指标的种类
第五章 平均指标
第一节 平均指标的基本理论
㈠ 算术平均数
㈡ 调和平均数
㈢ 几何平均数
㈣ 中位数
㈤ 众数
数值平均数
位置平均数
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
一、算数平均数的基本形式
例：例：
直
接
承
担
者
※ ※ 注意区分算术平均数与强度相对数注意区分算术平均数与强度相对数
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
二、算数平均数的计算方法
（一）简单算术平均数 ——适用于总体资料未经分组整
理、尚为原始资料的情况
式中：式中： 为算术平均数为算术平均数; ; 为总体单位总数；为总体单位总数； 为第为第 个单个单
位的标志值。位的标志值。
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
二、算数平均数的计算方法
解：平均每人日销售额为：解：平均每人日销售额为：
某售货小组某售货小组55个人，某天的销售额分别为个人，某天的销售额分别为520520元、元、600600元、元、
480480元、元、750750元、元、440440元，求平均每人日销售额。元，求平均每人日销售额。
【例】【例】
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
二、算数平均数的计算方法
（二）加权算术平均数 ——适用于总体资料经过分组整
理形成变量数列的情况
式中：式中： 为算术平均数为算术平均数; ; 为第为第 组的次数；组的次数；m m 为组数；为组数；
为第为第 组的标志值或组中值。组的标志值或组中值。
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
【例】【例】某企业某日工人的日产量资料如下：某企业某日工人的日产量资料如下：
日产量（件） 工人人数（人）
10
11
12
13
14
70
100
380
150
100
合计 800
计算该企业该日全部工人的平均日产量。计算该企业该日全部工人的平均日产量。
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
解：
若上述资料为组距数列，则应取各组的组
中值作为该组的代表值用于计算；此时求
得的算术平均数只是其真值的近似值。
说
明
分析：
成绩（分）
人数（人）
甲班 乙班 丙班
60 39 1 50
100 1 39 50
平均成绩 61 99 80
起到权衡轻起到权衡轻
重的作用重的作用
决定平均数决定平均数
的变动范围的变动范围
第五章 平均指标
表现为次数、频数、单位数；即表现为次数、频数、单位数；即
公式公式 中的中的
表现为频率、比重；即公式表现为频率、比重；即公式
中的中的
指变量数列中各组标志值出现的次数，是变量指变量数列中各组标志值出现的次数，是变量
值的承担者，反映了各组的标志值对平均数的值的承担者，反映了各组的标志值对平均数的
影响程度。影响程度。
权数权数
绝对权数绝对权数
相对权数相对权数
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
二、算数平均数的计算方法
（二）加权算术平均数
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
三、算数平均数的数学性质
⒈变量值与其算术平均数的离差之和衡等于零，即：
⒉如果对每个标志值加或减一个任意数A，则算术平均数也
要增加或减少那个A值
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
三、算数平均数的数学性质
3. 如对每个标志值乘以或除以一个任意值A，则平均数也
要乘以或除以那个A值。
乘以A：简单算术平均数：
除以A：简单算术平均数：
4. 变量值与其算术平均数的离差平方和为最小，即：
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
三、算数平均数的数学性质
5. 两个独立的同性质变量代数和的平均数等于各
变量平均数的代数和。
6. 两个独立的同性质变量乘积的平均数等于各变
量平均数的乘积
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
四、算数平均数的特殊应用
（一）等级标志平均数
平均等级也正是依据等级资料计算的反映总
体一般质量水平的综合指标。一般平均等级指标
采用加权算术平均数的形式计算。
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
【例】【例】 假设某企业生产的某产品分三个等级，
2005—2006年各等级产量资料如下表：
产品等级
X
产量(件)f Xf
2005年 2006年 2005年 2006年
1
2
3
1800
750
450
2400
640
160
1800
1500
1350
2400
1280
480
合计 3000 3200 4650 4160
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
解：解：
产品一级品质量最好，2006年平均等级小于2005年，
说明2006年产品综合质量水平较2005年有所提高。
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
四、算数平均数的特殊应用
（二）质量评分平均数
生产工作质量要评价其产量、品种、质量、效率、
消耗、利润等方面完成情况，而种种方面有些表现为
数量特征，有些则表现为属性特征，要综合评判，我
们可以给每一方面打分。通常在打分时，可以采用5
分制，5分最优，1分最差，也可以采用百分制。在对
分数加权平均时，权数的选择一般是依据各标志在综
合评价中的地位和作用，根据其作用大小，确定它们
各自应占的比重，即比重为权数。
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
【例】【例】甲、乙两企业生产同种产品，按性能、外观、甲、乙两企业生产同种产品，按性能、外观、
费用、时间这四个主要标志对其评价，采用费用、时间这四个主要标志对其评价，采用5 5 分制分制 。
评价
项目
评分X f Xf
甲企业 乙企业 比重(%) 甲企业 乙企业
性能
外观
费用
时间
5
4
4
3
4
5
5
3
60
15
15
10
300
60
60
30
240
75
75
30
合计 — — 100 450 420
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
解：解：
计算结果表明，两企业产品综合质量评判，平均说来
甲企业略高于乙企业。
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
四、算数平均数的特殊应用
（三）是非标志平均数
分组分组 单位数单位数 变量值变量值
具有某一属性具有某一属性
不具有某一属性不具有某一属性
11
00
合计合计 ——
为研究是非标志总体的数量特征，令
指总体中全部单位只具有指总体中全部单位只具有““是是””或或““否否””、、““
有有””或或““无无””两种表现形式的标志，又叫两种表现形式的标志，又叫交替交替
标志。标志。
是非标志是非标志
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
四、算数平均数的特殊应用
（三）是非标志平均数
均均
值值
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
四、算数平均数的特殊应用
（三）是非标志平均数
具有某种标志表现的
单位数所占的成数
不具有某种标志表现
的单位数所占的成数
指是非标志总体中具有某种表现或不具有某种指是非标志总体中具有某种表现或不具有某种
表现的单位数占全部总体单位总数的比重表现的单位数占全部总体单位总数的比重
成数成数
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
四、算数平均数的特殊应用
（三）是非标志平均数
【例】【例】某厂某月份生产了某厂某月份生产了400400件产品，其中合格品件产品，其中合格品380380件，件，
不合格品不合格品2020件。求产品质量分布的集中趋势件。求产品质量分布的集中趋势..
第五章 平均指标
第三节 调和平均数
【例】 设设X=X=（（22，，44，，66，，88），则其调和平均数可），则其调和平均数可
由定义计算如下：由定义计算如下：
⒉⒉再求算术平均数：再求算术平均数：
⒈⒈求各标志值的倒数求各标志值的倒数 ：： ，， ，， ，，
⒊⒊再求倒数：再求倒数：
是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，
又叫又叫倒数平均数。倒数平均数。
第五章 平均指标
第三节 调和平均数
一、简单调和平均数
——适用于总体资料未经分组整理、尚为原始
资料的情况
式中： 为调和平均数; 为变量值
的个数； 为第 个变量值。
第五章 平均指标
第三节 调和平均数
二、加权调和平均数
——适用于总体资料经过分组整理形成变量数
列的情况
式中： 为第 组的变量值； 为第
组的标志总量。
——当己知各组变量值和标志总量时，作为算术
平均数的变形使用。
因为：因为：
调和平均数的应用调和平均数的应用
第五章 平均指标
第三节 调和平均数
调和平均数的应用调和平均数的应用
第五章 平均指标
第三节 调和平均数
日产量（件）日产量（件） 各组工人日总产量（件）各组工人日总产量（件）
1010
1111
1212
1313
1414
700 700
1 1001 100
4 5604 560
1 9501 950
1 4001 400
合计合计 9 7109 710
【例】【例】 某企业某日工人的日产量资料如下：某企业某日工人的日产量资料如下：
计算该企业该日全部工人的平均日产量。计算该企业该日全部工人的平均日产量。
调和平均数的应用调和平均数的应用
第五章 平均指标
第三节 调和平均数
即该企业该日全部工人的平均日产量为即该企业该日全部工人的平均日产量为
件。件。
解：
第五章 平均指标
第三节 调和平均数
三、由相对数计算平均数
由于比值（由于比值（平均数或相对数平均数或相对数）不能直接相加，求）不能直接相加，求
解比值的平均数时，需将其还原为构成比值的分解比值的平均数时，需将其还原为构成比值的分
子、分母原值总计进行对比子、分母原值总计进行对比
设相对数设相对数
分子变量分子变量
分母变量分母变量
则有：则有：
第五章 平均指标
第三节 调和平均数
三、由相对数计算平均数
己知己知
，采用基本，采用基本
平均数公式平均数公式
己知己知 ，，
采用加权算术采用加权算术
平均数公式平均数公式
己知己知 ，，
采用加权调和采用加权调和
平均数公式平均数公式
比值比值
第五章 平均指标
第三节 调和平均数
三、由相对数计算平均数
【例【例AA】】某季度某工业公司某季度某工业公司1818个工业企业产值计划完成情况如下：个工业企业产值计划完成情况如下：
计划完成程度计划完成程度
（（﹪﹪））
组中值组中值
（（﹪﹪））
企业数企业数
（个）（个）
计划产值计划产值
（万元）（万元）
9090以下以下
9090～～100100
100100～～110110
110110以上以上
85 85
95 95
105105
115115
22
33
1010
33
800 800
2 500 2 500
17 20017 200
4 400 4 400
合计合计 —— 1818 24 900 24 900
计算该公司该季度的平均计划完成程度。计算该公司该季度的平均计划完成程度。
第五章 平均指标
第三节 调和平均数
三、由相对数计算平均数
【例【例AA】】某季度某工业公司某季度某工业公司1818个工业企业产值计划完成情况如下：个工业企业产值计划完成情况如下：
计划完成程度计划完成程度
（（﹪﹪））
组中值组中值
（（﹪﹪））
企业数企业数
（个）（个）
计划产值计划产值
（万元）（万元）
9090以下以下
9090～～100100
100100～～110110
110110以上以上
85 85
95 95
105105
115115
22
33
1010
33
800 800
2 500 2 500
17 20017 200
4 400 4 400
合计合计 —— 1818 24 900 24 900
计算该公司该季度的平均计划完成程度。计算该公司该季度的平均计划完成程度。
分析：
第五章 平均指标
第三节 调和平均数
三、由相对数计算平均数
【例【例BB】】某季度某工业公司某季度某工业公司1818个工业企业产值计划完成情况个工业企业产值计划完成情况
如下（按计划完成程度分组）：如下（按计划完成程度分组）：
组别组别 企业数企业数
（个）（个）
计划产值计划产值
（万元）（万元）
实际产值实际产值
（万元）（万元）
11
22
33
44
2 2
3 3
1010
3 3
800 800
2 500 2 500
17 20017 200
4 400 4 400
680 680
2 375 2 375
18 06018 060
5 060 5 060
合计合计 1818 24 90024 900 26 17526 175
计算该公司该季度的平均计划完成程度。计算该公司该季度的平均计划完成程度。
分析：
应采用平均数的基本公式计算
第五章 平均指标
第四节 几何平均数
是是NN项变量值连乘积的项变量值连乘积的NN次方根次方根
用于计算现象的平均比率或平均速度用于计算现象的平均比率或平均速度
应用：应用：
各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；
相乘的各个比率或速度不为零或负值。相乘的各个比率或速度不为零或负值。
应用的前提条件：应用的前提条件：
第五章 平均指标
第四节 几何平均数
一、简单几何平均数
————适用于总体资料未经分组整理尚为原始资料适用于总体资料未经分组整理尚为原始资料
的情况。的情况。
式中：式中： 为几何平均数为几何平均数; ; 为变量值的个数；为变量值的个数；
为第为第 个变量值。个变量值。
第五章 平均指标
第四节 几何平均数
一、简单几何平均数
【例】【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产
品的合格率分别为品的合格率分别为95﹪95﹪、、92﹪92﹪、、90﹪90﹪、、85﹪85﹪、、80﹪80﹪，求整个，求整个
流水生产线产品的平均合格率。流水生产线产品的平均合格率。
分析：分析：
设最初投产设最初投产100A100A个单位个单位 ，则，则
第一道工序的合格品为第一道工序的合格品为100A××；；
第二道工序的合格品为第二道工序的合格品为（（100A××））××；；
…… ……
第五道工序的合格品为第五道工序的合格品为
（（100A××××××××））××；；
第五章 平均指标
第四节 几何平均数
一、简单几何平均数
因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品，因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品， 故故
该流水线总的合格品应为该流水线总的合格品应为
100A××××××××××；；
则该流水线产品总的合格率为：则该流水线产品总的合格率为：
即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几
何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。
第五章 平均指标
第四节 几何平均数
一、简单几何平均数
解：
则整个流水生产线产品的平均合格率为%
【专栏5－2】
第五章 平均指标
若上题中不是由五道连续作业的工序组成的流水生若上题中不是由五道连续作业的工序组成的流水生
产线，而是五个产线，而是五个独立作业的车间独立作业的车间，且各车间的合格，且各车间的合格
率同前，又假定各车间的产量相等均为率同前，又假定各车间的产量相等均为100100件，件，
求该企业的平均合格率。求该企业的平均合格率。
思考
【专栏5－2】
第五章 平均指标
思考
因各车间彼此独立作业，所以有
第一车间的合格品为：100×；
第二车间的合格品为：100×；
……
第五车间的合格品为：100×。
则该企业全部合格品应为各车间合格品的
总和，即
总合格品=100×+…+100×
分析：
【专栏5－2】
第五章 平均指标
思考
不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解相不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解相
对数的平均数的方法计算。又因为对数的平均数的方法计算。又因为
应采用加权算术平均数公式计算，即应采用加权算术平均数公式计算，即
第五章 平均指标
第四节 几何平均数
二、加权几何平均数
————适用于总体资料经过分组整理形成变量适用于总体资料经过分组整理形成变量数
列的情况的情况
式中：式中： 为几何平均数为几何平均数; ; 为变量值的个数；为变量值的个数；
为第为第 个变量值。个变量值。
第五章 平均指标
第四节 几何平均数
二、加权几何平均数
【例】【例】某金融机构以复利计息。近某金融机构以复利计息。近1212年来的年利率有年来的年利率有44年为年为
33﹪﹪，，22年为年为55﹪﹪，，22年为年为88﹪﹪，，33年为年为1010﹪﹪，，11年为年为1515﹪﹪。。
求平均年利率。求平均年利率。
设本金为设本金为VV，则至各年末的本利和应为：，则至各年末的本利和应为：
第第11年末的本利和为：年末的本利和为：
第第22年末的本利和为：年末的本利和为：
……………… ………………
第第1212年末的本利和为：年末的本利和为：
分析：分析：
第2年的计
息基础
第12年的计
息基础
第五章 平均指标
第四节 几何平均数
二、加权几何平均数
则该笔本金则该笔本金1212年总的本利率为：年总的本利率为：
即即1212年总本利率等于各年本利率的连乘积年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数，符合几何平均数
的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。
解解
【专栏5－3】
思
考
若上题中不是按复利而是按单利
计息，且各年的利率与上相同，
求平均年利率。
分
析
第1年末的应得利息为：
第2年末的应得利息为：
第12年末的应得利息为：
设本金为V，则各年末应得利息为：
…… ………… ……
第五章 平均指标
【专栏5－3】
则该笔本金12年应得的利息总和为：
=V（×4+×2+……+×1）
这里的利息率或本利率不再符合几何
平均数的适用条件，需按照求解比值的平
均数的方法计算。因为
假定本
金为V
第五章 平均指标
【专栏5－3】
所以，应采用加权算术平均数公式计算平
均年利息率，即：
解：
（比较：按复利计息时的平均年利率为﹪）
第五章 平均指标
第五章 平均指标
是否为比率
或速度
各个比率或速
度的连乘积是否等于总比
率或总速度
是否为
其他比值
是是
否否
否否
是是 否
否
是是 几何平均法
算术平均法
求解比值的平均数的方法
指标三、数值平均数计数值平均数计
算公式的选用顺序算公式的选用顺序
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
一、众数
指总体中出现次数最多的变量值，
用 表示,它不受极端数值的影
响，用来说明总体中大多数单位所
达到的一般水平。
第五节 位置平均数
众数的确定众数的确定
1.单项数列确定众数的方法：出现次数最多的标志值就是众数。
【例【例AA】】已知已知某企业某日工人的日产量资料如下某企业某日工人的日产量资料如下::
日产量（件）日产量（件） 工人人数（人）工人人数（人）
1010
1111
1212
1313
1414
7070
100100
380380
150150
100100
合计合计 800800
计算该企业该日全部工人日产量的众数。计算该企业该日全部工人日产量的众数。
第五章 平均指标第五章 平均指标
第五节 位置平均数
第五章 平均指标
2.组距数列确定众数的方法
①由最多次数来确定众数所在组
②按公式计算众数
第五章 平均指标
【例【例BB】】某车间某车间5050名工人月产量的资料如下：名工人月产量的资料如下：
月产量（件） 工人人数（人） 向上累计次数
（人）
200以下
200～400
400～600
600以上
3
7
32
8
3
10
42
50
合计 50 —
计算该车间工人月产量的众数。计算该车间工人月产量的众数。
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
2.组距数列确定众数的方法
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
出生
160
140
120
100
80
60
40
20
0
没有突出地集中在
某个年份
413413名学生出生时间分布直方图名学生出生时间分布直方图
众数的原理及应用
（无众数）
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
众数的原理及应用
60
50
40
30
20
10
0
413413名学生的身高分布直方图名学生的身高分布直方图
（双众数）
当数据分布呈现出双众数或多众数时，可以
断定这些数据来源于不同的总体。
出现了两个明显
的分布中心
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
二、中位数
将总体各单位标志值按大小顺序排列后，指
处于数列中间位置的标志值，用 表示。
不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大
时，具有较强的代表性。
中位数的作用：
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
中位数的确定
1.由未分组资料确定中位数
（1）对某个标志值按大小顺序资料加以排列
（2）然后用下列公式确定中位数的位置
n为偶数
n为奇数
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
中位数的确定
1.由未分组资料确定中位数
中位数的位次为：中位数的位次为：
即第即第33个单位的标志值就是中位数个单位的标志值就是中位数
【例【例AA】】某售货小组某售货小组55个人，某天的销售额按从小到个人，某天的销售额按从小到
大的顺序排列为大的顺序排列为440440元、元、480480元、元、520520元、元、600600元、元、
750750元，则元，则
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
中位数的确定
1.由未分组资料确定中位数
中位数应为第中位数应为第33和第和第44个单位标志值的算术平均数，即个单位标志值的算术平均数，即
【例【例BB】】若上述售货小组为若上述售货小组为66个人，某天的销售额按从个人，某天的销售额按从
小到大的顺序排列为小到大的顺序排列为440440元、元、480480元、元、520520元、元、600600元、元、
750750元、元、760760元，则元，则
中位数位置：中位数位置：
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
中位数的确定
2.由单项数列确定中位数
① 计算各组的累计次数
② 根据中位数位置确定中位数
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
中位数的确定
2.由单项数列确定中位数
【例【例CC】】某企业某日工人的日产量资料如下：某企业某日工人的日产量资料如下：
日产量（件） 工人人数（人） 向上累计次数
（人）
10
11
12
13
14
70
100
380
150
100
70
170
550
700
800
合计 800 —
计算该企业该日全部工人日产量的中位数。计算该企业该日全部工人日产量的中位数。
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
中位数的确定
3.由组距数列确定中位数
②确定中位数的值
①从数列的累积频数栏确定第 个单位所在的组，即中位数组
式中：L—表示中位数所在组的下限；
—中位数所在组的次数；
—中位数所在组以前各组的累积次数；
d—中位数所在组的组距；
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
中位数的确定
3.由组距数列确定中位数
【例【例DD】】某车间某车间5050名工人月产量的资料如下：名工人月产量的资料如下：
月产量（件） 工人人数（人） 向上累计次数
（人）
200以下
200～400
400～600
600以上
3
7
32
8
3
10
42
50
合计 50 —
计算该车间工人月产量的中位数。计算该车间工人月产量的中位数。
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
3.由组距数列确定中位数
中位数的确定
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
三、分位数
一般称能够将全部总体单位按标志值大小等分为一般称能够将全部总体单位按标志值大小等分为kk
个部分的数值为个部分的数值为““kk分位数分位数””
一般并不表明分布的集中趋势一般并不表明分布的集中趋势((也即本身不属于位置也即本身不属于位置
平均数平均数))，但可以作为考察分布集中趋势和变异状况，但可以作为考察分布集中趋势和变异状况
的有效工具。的有效工具。
分位数的作用：分位数的作用：
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
三、分位数
1.四分位数
四分位数是能够将全部总体单位按标志值大四分位数是能够将全部总体单位按标志值大
小等分为四部分的三个数值，分别记为小等分为四部分的三个数值，分别记为
。第一个四分位数。第一个四分位数 也叫也叫““下四分位数下四分位数””
；第三个四分位数；第三个四分位数 也叫也叫““上四分位数上四分位数””。。
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
三、分位数
1.四分位数
的位次为：的位次为：
四分位数的确定四分位数的确定 ————（未分组资料）（未分组资料）
的位次为：的位次为：
的位次为：的位次为：
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
三、分位数
1.四分位数
四分位数的确定四分位数的确定 ————（未分组资料）（未分组资料）
如果如果(n+1) (n+1) 是是44的倍数，则按上面公式计算出来的位次都是的倍数，则按上面公式计算出来的位次都是
整数，这时整数，这时 ，各个位次上的标志值就是相应的四分位数；，各个位次上的标志值就是相应的四分位数；
如果如果(n+1)(n+1)不是不是44的倍数，按上面公式计算出来的四分位数的倍数，按上面公式计算出来的四分位数
位次就可能带有小数，这时，有关的四分位数就应该是与位次就可能带有小数，这时，有关的四分位数就应该是与
该带小数相邻的两个整数位次上的标志值的某种加权算术该带小数相邻的两个整数位次上的标志值的某种加权算术
平均数。平均数。
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
三、分位数
1.四分位数
四分位数的确定四分位数的确定 ————（未分组资料）（未分组资料）
【例】【例】当给定当给定n =50n =50，容易确定：，容易确定：
的位次的位次=51÷4==51÷4=
的位次的位次=51÷2==51÷2=
的位次的位次=3×51÷4==3×51÷4=
这时第一个四分位数应该为
(其他两个呢？)
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
三、分位数
1.四分位数
四分位数的确定四分位数的确定
————（分组资料）（分组资料）
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
三、分位数
1.四分位数
四分位数的确定四分位数的确定 ————（分组资料）（分组资料）
某市居民家庭收入资料如下，要求计算居民家庭收入的四分位数。
年收入水平（元）年收入水平（元） 居民户数（居民户数（ff）） 向上累计向上累计
80008000以下以下
8000-100008000-10000
10000-1500010000-15000
15000-2000015000-20000
20000-2500020000-25000
25000-3000025000-30000
30000-3500030000-35000
35000-4000035000-40000
4000040000以上以上
18 18
74 74
180180
240240
260260
140140
53 53
26 26
9 9
18 18
92 92
272 272
512 512
772 772
912 912
965 965
991 991
1 0001 000
合计合计 1 0001 000
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
三、分位数
1.四分位数
四分位数的确定四分位数的确定 ————（分组资料）（分组资料）
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
三、分位数
2.十分位数
十分位数是能够将全部总体单位按标志值大
小等分为十部分的九个数值，分别记为
。第一个十分位数 也叫“下十分位数”
；第九个十分位数 也叫“上十分位数”。
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
三、分位数
2.十分位数
十分位数的确定十分位数的确定 ————（未分组资料）（未分组资料）
的位次为：的位次为：
的位次为：的位次为：
的位次为：的位次为：
的位次为：的位次为：
第五章 平均指标
第五节 位置平均数
三、分位数
2.十分位数
如果如果(n+1) (n+1) 是是1010的倍数，则按上面公式计算出来的的倍数，则按上面公式计算出来的
位次都是整数，这时，各个位次上的标志值就是相位次都是整数，这时，各个位次上的标志值就是相
应的十分位数；应的十分位数；
如果如果(n+1)(n+1)不是不是1010的倍数，按上面公式计算出来的十的倍数，按上面公式计算出来的十
分位数位次就可能带有小数，这时，有关的十分位数分位数位次就可能带有小数，这时，有关的十分位数
就应该是与该带小数相邻的两个整数位次上的标志值就应该是与该带小数相邻的两个整数位次上的标志值
的某种加权算术平均数。的某种加权算术平均数。
第五章 平均指标
第六节 平均指标的应用
（一）算术平均数、调和平均数与几何平均数的关系
一、各种平均指标的比较
（二）位置平均数与算术平均数的关系
X
f
X
f
X
f
(对称分布) 正偏态分布（右） 负偏态分布(左）
在偏斜不大时
12 1 2
第五章 平均指标
第六节 平均指标的应用
二、运用平均指标应注意的问题
1.平均指标只能运用于同质总体；
2.用组平均数补充说明总平均数
3.用分配数列补充说明平均数
4.将平均指标与离散指标结合起来分析
第五章 平均指标
第六节 平均指标的应用
二、运用平均指标应注意的问题
2001 2002
工人
数
工资总
额(元)
工资
水平
(元)
工人数 工资总
额(元)
工资
水平
(元)
新工人 100 23200 232 400 94000 235
老工人 400 184000 460 600 279000 465
合计 500 207200 414 1000 373000 373
某企业工资情况表
第五章 平均指标
第六节 平均指标的应用
二、运用平均指标应注意的问题
按计划完成程
度分(%)
企业数 比重数(%)
80-90 3 6
90-100 6 12
100-110 30 60
110-120 10 20
120-130 1 2
合计 50 100
某工业部门50个企业年度产值计划完成情况
本章小结：
（1）平均指标反映了总体分布的共性或一般水平，和标志变异
指标一起分别从集中趋势和离中趋势两个方面来描述总体分布的
特征。平均指标有动态上的平均指标和静态上的平均指标之分。
静态上的平均数有算术平均数、调和平均数、几何平均数、中位
数和众数。
（2）算术平均数通常用来反映总体分布的集中趋势，调和平均
数往往只作为算术平均数的变形来使用，即在已知标志总量而未
知总体单位总量的情况下计算调和平均数；而几何平均数较适用
于计算平均比率和平均速度。
（3）中位数和众数是根据标志值的位置计算的，所以也叫位置
平均数。把标志值从小到大排列起来处于中间位置上的数就是中
位数；在一个变量数列中出现次数最多的哪个数就是众数。众数、
中位数、算术平均数存在一定的数量关系。
第五章 平均指标
华盛顿大学医疗中心的Barnes医院，建于1914年，是为圣
路易斯及其邻近地区的居民提供医疗服务的主要医院。该医
院被公认为美国最好的医院之一。Barnes医院有一个收容计
划，用以帮助身患绝症的人及其家人提高生活质量。负责收
容工作的小组包括一名主治医师、一名助理医师、护士长、
家庭护士和临床护士、家庭健康服务人员、社会工作者、牧
师、营养师、经过培训的志愿者，以及提供必要的其他辅助
服务的专业人员。通过收容工作组的共同努力，病人及其家
庭会获得必要的指导和支持，以帮助他们克服由于疾病、隔
离和死亡而带来的紧张情绪。
在收容工作组的协作和管理上，采用每月报告和季度总结来
帮助小组成员回顾过去的服务。对于工作数据的统计概括则
用作方针措施的规划和执行的基础。
【专栏5－4】 Barnes医院
第五章 平均指标
比如，他们搜集了有关病人被工作组收容的时间的数据。一
个含有67个病人记录的样本表明，病人被收容的时间在1～
185天内变化。频数分布表的使用对于概括总结收容天数的
数据也是很有用的。此外，下面的描述统计学数值量度也被
用于提供有关收容时间数据的有价值的信息。平均数：
天；中位数：17天；众数：1天。对以上数据进行解释，表
明了平均数即对病人的平均收容时间是天，也就是1个
月多一点，而中位数则表明半数病人的收容时间在17天以下，
半数病人的收容时间在17天以上。众数是发生频数最多的数
据值，众数为1天表明许多病人仅仅被收容了短短的1天。
【专栏5－4】 Barnes医院
第五章 平均指标
复习思考题
1. 一组数据的分布特征可以从哪几个方面进行测度？
2. 什么是平均指标，它的特点和作用如何？
3. 平均数与强度相对数有何区别？
4. 平均指标有几种？为何算术平均数是其中最基本的一种？
5. 如何理解加权算术平均数中权数的意义？
6. 什么是众数和中位数？如何运用？
第五章 平均指标
复习思考题
7. 加权算术平均数和加权调和平均数之间的关系如何？什么情
况下加权调和平均数等于简单调和平均数，试举例说明。
8. 中位数、众数与算术平均数的关系是怎样的？
9. 计算和应用平均指标应注意哪几个问题？
第五章 平均指标
复习思考题
第五章 平均指标
10. 某农场三种不同地段的粮食产量资料如下：
地 段 播种面积（亩） 收获量（斤）
甲 60 48 000
乙 50 35 000
丙 40 24 000
合 计 150 107 000
试计算每个地段的单位面积产量和三个地段的平均单位面积产量。
复习思考题
第五章 平均指标
11. 某厂50名工人，各级工人工资和工人数资料如下：
技术级别 月工资（元） 工人数（人）
1 1500 5
2 1560 15
3 1640 18
4 1750 10
5 1900 2
合 计 — 50
试计算工人的平均月工资。
复习思考题
第五章 平均指标
12. 已知某地区各工业企业产值计划完成情况及计划产值资料如下
计划完成程度（%） 企业数（个） 计划产值（万元）
90以下 7 140
90—100 22 310
100—110 57 1650
110—120 26 710
120以上 3 40
合 计 115 2850
试根据上述资料计算产值计划平均完成程度。
复习思考题
第五章 平均指标
13. 某地2006年收购苹果单价及收购金额资料如下表：
收购单价（元） 收购金额（万元）
500
780
650
600
300
试计算苹果的平均收购价格。
复习思考题
第五章 平均指标
14. 为了扩大国内居民需求，银行为此多次降低存款利润，
近5年年利润率分别为7％、5％、4％、3％、2％，试计算在
单利和复利情况下5年的平均年利率。
15. 某人在银行存了一笔款，前六年的年利润率为5％，后
四年的年利润率为6％，求该笔存款的年平均利润率。
复习思考题
第五章 平均指标
16. 某市居民家庭收入资料如下：
每户平均月收入（百元） 职工户数
30～40
40～50
50～60
60～70
70～80
80～100
200
300
1200
800
500
150
合 计 3150
根据上述资料，计算职工家庭每户收入的众数和中位数。
