第五章 平均指标
第一节 平均指标的意义和特点
一、平均指标的概念
同质总体某一标志在一定时间、地点、条
件下所达到的一般水平，是总体的代表值，它
描述分布数列的集中趋势。
二、平均指标的特点
1、同质性
2、代表性
3、抽象性
三、平均指标的作用
1、可以比较同类现象在不同单位、不同地区
间的平均水平。
2、可以比较同类现象在不同时期的平均水平。
3、可用于研究事物之间的依存关系。
4、利用平均数还可以进行推算和预测。
四、平均指标的种类
算术平均数
调和平均数 数值平均数
几何平均数
众数 位置平均数
中位数
第二节 算术平均数
一、算术平均数的概念
算术平均数是总体各单位某一数量标志的平均数。
算术平均数=标志总量÷总体总量
二、算术平均数与强度相对数的比较
1、概念不同。强度相对数是两个有联系而性质不同的总体对比
而形成相对数指标。算术平均数是反映同质总体单位标志值一般
水平的指标。
2、主要作用不同。强度相对数反映两不同总体现象形成的密度、
强度。算术平均数反映同一现象在同一总体中的一般水平。
3、计算公式及内容不同。算术平均数分子、分母分别是同一总
体的标志总量和总体单位数，分子、分母的元素具有一 一对应
的关系，即分母每一个总体单位都在分子可找到与之对应的标志
值，反之，分子每一个标志值都可以在分母中找到与之对应的总
体单位。而强度相对数是两个总体现象之比，分子分母没有一
一对应关系。
三、算术平均数由于掌握的资料不同和计算上的
复杂程度不同，可分为简单算术平均数和加权算
术平均数。
1、简单算术平均法
计算公式：
其中： 代表算术平均数，xi代表各单位标志值
（变量值），n代表总体单位数（项数）。
采用条件：当统计资料未分组时可用简单算术平均法
计算；如果是组距式资料,则要计算组中值作为代表标
志值进行计算。
例：某公司下属各店职工按工龄分组情况
工龄
组中值
x
人 数 f
一店 二店 三店 四店 五店
0～2年
2 ～5年
5 ～10年
10 ～20年
1
1
1
1
7
7
7
7
25
25
25
25
1
3
6
10
10
6
3
1
合计 — 4 28 100 20 20
平均工龄 —
2、加权算术平均法
计算公式：
其中： 代表算术平均数，x 代表各单位标志值（变
量值），f 代表各组单位数（项数）。
一、二、三店人数相差很远，但平均工龄相等。
四、五店人数相等，但平均工龄相差很大。
结论：平均数水平高低受两个因素的影响：
（1）变量 x
（2）权数 f，绝对权数表现为次数、频数，相对
权数表现为频率。
四、算术平均数的若干数学性质
1、平均数与总体单位数的积等于标志总量
2、若每个变量值 X 加减一任意常数，则平均数也增减一个。
3、若每个变量值 X乘以一任意常数，则平均数也乘以一个。
4、若每个变量值 X除以一任意常数，则平均数也除以一个。
5、各个变量值X与算术平均数 的离差和为零。
6、各个变量值X与算术平均数 的离差平方和为最小值。
交替标志平均数
1、概念：交替标志又称是非标志，它是一个只有两
种答案的标志。如：性别只有男、女；一批产品只有
合格品、不合格品等就可用是非标志来反映。
2、表示形式：
1：具有某种属性的单位标志值。
0：不具有某种属性的单位标志值。
N：全部总体单位数。
N1：具有某种属性的总体单位数。
N2：不具有某种属性的总体单位数。
P= N1 /N：具有某种属性的单位数所占的比重。
Q= N2 /N：不具有某种属性的单位数所占的比重。
其中：P+Q=1
3、平均数
第三节 调和平均数
一、调和平均数的概念及计算方法
调和平均数又称倒数平均数，是变量倒数的算术平均
数的倒数。
二、调和平均数与算术平均数的比较
变量不同：算术平均数是x，调和平均数是 1/x 。
权数不同：算术平均数是f或n，代表次数（单位数），
调和平均数是xf或M，代表标志总量。
联系：调和平均数作为算术平均数的变形使用：
三、应用调和平均数应注意问题
1、变量x的值不能为0。
2、调和平均数易受极端值的影响。
3、要注意其运用的条件。
例题
例一 水果甲级每元1公斤，乙级每元1。5公斤，丙级每元2公斤。问：
（1）若各买1公斤，平均每元可买多少公斤？
（2）各买公斤，平均每元可买多少公斤？
（3）甲级3公斤，乙级2公斤，丙级1公斤，平均每元可买几公斤？
（4）甲乙丙三级各买1元，每元可买几公斤？
例二 自行车赛时速：甲30公里，乙28公里，丙20公里，全程200公
里，问三人平均时速是多少？若甲乙丙三人各骑车2小时，平均时速
是多少？
解：例一
（1）
（2）
（3）
（4）
例二
第四节 几何平均法
一、什么是几何平均法？
几何平均法是n个变量连乘积的n次根。
几何平均法一般适用于各变量值之间存在环比关系的
事物。如：银行平均利率、各年平均发展速度、产品
平均合格率等的计算就采用几何平均法。
1、简单几何平均法
2、加权几何平均法
二、应注意的问题
1、变量数列中任何一个变量值不能为0，一个为0，
则几何平均数为0。
2、用环比指数计算的几何平均易受最初水平和最末
水平的影响。
3、几何平均法主要用于动态平均数的计算。
例题：
假定某地储蓄年利率（按复利计算）：
5%持续年，3%持续年，%持续1
年。请问此5年内该地平均储蓄年利率。
第五节 众数和中位数
一、众数
1、众数是指变量数列中出现次数最多或频率最大的
变量值。
2、适用条件：只有集中趋势明显时，才能用众数作
为总体的代表值。
3、众数的计算方法
（1）单项数列确定众数，即出现次数最多（频率最
大）的标志值就是众数。
（2）组距数列确定众数：在等距数列条件下，先确
定众数组，然后再通过公式进行具体计算，找出众数
点的标志值。
计算公式：
公式1（上限公式）：用众数所在组的上限为起点值的计算公式。
公式2（下限公式）：用众数所在组的下限为起点值的计算公式。
U为众数所在组组距的上限，L为众数所在组组距的下限，f 为众
数所在组的次数，f-1 为众数所在组前一组次数， f+1 为众数所在
组后一组次数，i 为组距。
二、中位数
1、中位数：将总体单位的某一数量标志的各个数值
按照大小顺序排列，居于中间位置的那个数值就是中
位数。
2、计算方法
（1）由未分组资料确定中位数
排序：确定中位数位置
奇数：中间位置的标志值为中位数。
偶数：中间位置相邻两个变量值的简单平均数是中
位数。
（2）由分组资料确定中位数
第一步：确定中位数所处位置，按 确定
（f为次数）。
第二步：采用公式计算
上限法：用“以上累计”法确定中位数。
下限法：用“以下累计”法确定中位数。
其中：U是中位数所在组的上限，L是中位数所在组的下限，fm
是中位数所在组的次数，Sm+1是中位数所在组后面各组累计数，
Sm-1是中位数所在组前面各组累计数，i是中位数所在组的组距。
第六节 计算和应用平均数的原则
一、只能在同质总体中计算。
二、总平均数要与组平均数结合运用。
三、平均数必须同绝对数和具体事例结
合应用。
新老职工平均工资比较
基期 报告期 平均工
资增减
（%）工资总
额（元）
职工人
数（人）
平均工
资（元）
工作总
额（元）
职工人
数（人）
平均工
资（元）
新职工
老职工
210000
630000
600
1400
350
450
1155000
495000
3000
1000
385
495
+10
+10
合计 840000 2000 420 1650000 4000 —
第七节 几种平均数的关系
一、算术平均数、众数和中位数关系
1、次数分布呈现正态分布：
2、次数分布呈偏正态分布：
（1）右偏分布 （有极大值）
（2）左偏分布 （有极小值）
3、三者推算公式
二、算术平均数和几何平均数、调和平均数的关系
1、一般情况下（同一资料为前提）
2、当同一资料所由变量值都相同时
