第四章 组合投资理论
第一节 证券组合的收益与风险
第二节 组合线
第三节 最小方差集合与有效集合
第四节 单指数模型
第五节 多指数模型
投资组合的收益和风险 (多(N) 种资产)
投资组合:将全部投入资金按某种比例分散投资于两种或
两种以上证券而构成的一个组合。记
p=(x1,…,xN)T,设第 证券的收益为ri,其中Xi为投资于 证
券的资金比例,则 。
ri的标准差为si，ri与rj的协方差为 ,相关系数为
投资组合:
收益率:
期望收益率：
方差:
标准差: S为 的协方差矩阵。
对N=2看投资组合的多元化效应:
sp2 = X12s12 + X22s22 + 2 X1 X2 s1s2<(X1s1+ X2s2)2 ( )
投资组合收益和风险的一个例子
股票 投资 X-i E(ri) si2
IBM $5000 50%
HM $5000 50%
总和 $10000 100%
sIBM,HM = 0
E[rp] = ()() + ()() = 11%
sp2 =(.5)2(.01) + (.5)2(.04) + 2(.5)(.5)(0) =
sp = ()(1/2) =
组合线
一 有两个单一证券组成的证券组合线
二 两个收益率具有特殊相关关系的证券组合线
三 无风险利率的借入和借出
两个证券的组合线
s
E(R )
r
= -1
-1 <
r < 1
r
= 1
MV
MV
MV
P
P
A
B
两证券组合最小方差集合与有效集
设两个证券rA，rr的投资组合：
rP=XArr+Xrrr XA+Xr=1
组合线：在E(rP)-sP平面上， （E(rP)，sP）的轨迹
（ XA+Xr=1），是一条双曲线的右半枝，称为两个
证券投资的机会集或可行集（见下图）。
最小方差组合：双曲线顶点处的投资组合
MV( ， ) XA=
有效集合（有效边界）：组合线从顶点开始的上半枝。
多（N）证券组合的有效集合
设N个证券的投资组合：P=(x1,x2,…，xN)
机会集合（可行集）：
{(E(rP), sP), ,
, }
它是E(rP)-sP 平面上的一个区域，由无数组合线构成。
最小方差集合MVS：机会集合所有组合线的包络线
（与所有组合线内切）
多（N）证券组合的有效集合（续1）
最小方差集合的性质：
性质1、在相同预期收益率下，MVS中的组合具有
最小标准差（风险）
模型（马柯维茨,）:仍为双曲线，
可求解如下优化问题：
（给定常数）
性质2、MVS上任两个组合的组合仍在MVS上。
投资者如何在最小方差集合中选择自己要持有的投资组合：按风险偏好构造投资者的风险—收益无差异曲线，选择其与MVS的切点处的投资组合。
多（N）证券组合的有效集合(续2)
有效集合：最小方差集合顶点（MVMV）的上半部
分,其中每个组合 称为有效组合,记为ES.
性质1、在相同预期收益率下，ES中组合具有最小标
准差（风险）。
在相同风险（标准差）下，ES中组合具有最大
预期收益率。
性质2、ES上任两个组合的组合仍在ES上。
投资者如何在有效集合中选择自己要持有的投资组合：按风险偏好构造投资者的风险—收益无差异曲线，选择其与ES的切点处的投资组合。
多（N）证券组合的有效集合(续3)
投资组合降低风险特例说明：
平均值为 ， 平均值为 ，取
单个证券的风险（方差）
称为不可化解风险或市场风险或系统风险。
称为可化解风险或特有风险或非系统风险。
存在无风险借贷时的有效集
设无风险利率（或无风险证券的收益率）为rf,位置在（ rf ，0）
投资者将用rf和风险证券组合Q作新的投资组合P,其组合线为过rf,Q的直线E(rP)=Xfrf+XQE(rQ)
s2(r P)=XQ2 s2(r Q) s(r P)=XQs(r Q)
有效集合：过rf向ES作的切线rfM（M为切点，代表一个风险证券组合）
市场投资组合：投资于市场中全部证券，且投资在每种证券的权重Xi为其总市值占全部市场市值的比例。切点M是市场投资组合。
单指数模型
单指数模型假定资产证券收益率且受某一指数的收益率的影响，并设它们之间是有简单的线性结构。即其收益率r和市场投资组合收益率rM是有线性关系：
（）
其中A, 为参数， 为残差。
证券J特征方程 （）
模型中 的 系数恰好为证券J的风险 系数
()
()
从而
()
证券J收益率的方差 ()
证券总体风险=系统风险+非系统风险
多指数模型
证券组合情形
任一证券J的收益率可以表示成如下的多指数模型
()
在多指数模型下,证券组合收益率的方差为
