第二章 组合投资理论
1952年，Markotwitz发表了他著名论文“证券组合选择”，标志着现代组合投资理论（the portfolio theory）面世，从那时起许多经济学家、数学家对该理论作了细致的研究，使得该理论的内容得到不断的充实，形式也日臻完美。
本章主要叙述组合投资的优化问题，这是Portfolio理论中的核心问题，本章内容的顺序是：首先给出投资决策的均值——方差准则（即M-V准则），在此基础上建立组合投资的优化模型，根据这个模型，我们得到了最小方差组合解和最小方差集。对最小方差集的性质、计算和应用，我们安排了几节的内容，进行了深入的讨论。
§1 M-V准则
前面，我们对效用函数，以及基于效用函数作不确定性的决策等，作了详尽的讨论。但是在那里，我们就指出了，一个交易策略的效用值，某个投资收益率R的效用函数等，它们均是“只可意会，不可言传”。事实上，对于这些反映主观价值判断的量，我们很难精确地刻划它们，因此，为了正确地进行投资分析和决策，我们必须另辟蹊径，寻找一个理论正确且可操作性强的方法。
我们的思路是这样的，首先假定投资者是风险厌恶型的，即具有或不自觉地具有如下形式的效用函数。
， （不等号至少在一点上成立）
这个条件并不严格，然后我们只考虑投资对象——证券本身的信息。因这些信息是客观的，如同我们前面所述的，表征一种证券的投资收益率R的水平和分布的最主要的两个量是它们的期望值ER和方差。对于风险厌恶型投资者而言，只根据实际的证券收益率的期望值和方差来进行决策，而不是依据“虚无缥缈”的效用函数来进行决策，这样要好做（决策）得多。基于上述和前面的内容，我们假定这些风险厌恶型投资者的决策规则是：在具有相同的期望收益率的诸种证券中，总是选择收益率方差最小的证券；或者在具有同样的收益率方差的诸种证券中，总是选择期望收益率最大的证券。这就是M-V准则。
现在我们来具体描述一下M-V准则，设投资者收益率为随机变量R，其期望为ER，方差，如果有证券F和G，则F优于G，当且仅当
和 （不等号至少在一点上成立）
综观M-V准则，我们不难看出，实际上我们这里已经用投资收益率的方差来表征证券投资风险了，而且正是这种表征，我们就可以按照M-V准则，应用数学规划的方法来对证券进行选择。相信熟悉数学规划的读者会很好会看到这一点。
需要指出的是，虽然我们在上面提出M-V准则的初衷是基于可操作性而避开效用函数，但我们要指出，M-V准则并不违反期望效用最大化准则，在某些条件下，它们总是保持完全一致。下面我们来证明利用M-V准则和利用随机优势准则来进行投资选择时，结果是一样的。
我们 先来证明如果证券的投资收益率是正态公布的，则M-V准则与SSD准则同一。这是有两点要说明：其一，假设投资收益率是正态分布的这一点并不为过，因为在第一章中我们曾讲过一个证券的投资收益会受到许多因素的影响，或者说产许多独立的或相关的多种因素综合交会的结果。由于统计规律，个别的偶然因素会相互抵消，总体却会呈现一定的规律，所以根据大数定律，我们能够作出这样的假定。其二，应用M-V准则和SSD准则进行投资决策的投资主体，如前所述都是风险厌恶型投资者，在没有其他信息的情况下，应用它们来进行选择，其结果是一样的。
设有两种证券：F和G。F的期望值是，方差是，分布函数是，G的期望值是，方差是，分布函数是。
我们现在来分情况证明。
（1）如果==，>，则根据M-V准则有投资证券F优于投资证券G，由于对于一切, 均有<,根据正态分布函数的性质得：
<
就是 =<=
于是有
>0 (2-1)
即根据SSD准则也有F优于G。
（2）如果==，<,则根据M-V准则有投资证券F优于证券G，若要证明按照SSD准则得到同一结论，则要根据正态分布函数的性质分和来考虑。
1．如果，则有 EMBED ，就是
于是 >0
2．如果，那么有
=+ >
+
观察上式右侧的第二项，设，于是
==
但是
同理=1
所以对于，有
EMBED +
==0
即根据SSD准则也有F优于G。
（3）如果，，则这是上面两种情况的合成，根据这两个准则均有F优于G。
（4）如果，，根据这两个准则，我们对F和G均无法作出孰优孰劣的结论。
在实际投资分析中，常常要用到所谓的左侧方差LPV（r），它通常是由下式来定义。
LPV（r）= （2-2）
这里是投资收益率R的分布函数。从上式可以看出左侧方差实际上是针对任意一点而
言的，它标度的是该点左边与该点的差异程度，而实际上我们也正关心任意一点左侧与该点
的背离情况，这也具有真正的“风险”含义，而对于方差，它不具有这一个特点，它同样反
映了两侧对点（期望值）的背离程度，因此从这个意义上来说，左侧方差比方差更精确刻划
了投资风险，它越大，则风险越大。
如果把左侧方差中任意一点r固定为R的期望值，那么左侧方差就变成了半方
差SV
SV=
如果我们把投资收益率R的左侧方差LPV（r）也作为一个决策依据的话，那么可以仿
M-V准则，我们得到了一个新的准则M-LPV准则，可叙述如下：
设证券投资收益率为随机变量R，其期望值为ER，方差，如果有证券F和证券G，则F优于G，当且仅当
和 （不等号至少在一点上成立） （2-3）
这里的LPV（r）是由（2-2）式来定义的。
在用M-LPV准则来进行投资选择时，还有一个优点就是不需要投资收益率服从正态分布这一假定。这一点当然很好，扩大了应用范围，但有得必有失，它要求投资主体——投资者必须是绝对风险厌恶递减型的，这个准则才能和期望效用最大化准则同一。由于使用这两个投资主体一样，故我们来证明M-LPV准则和TSD准则同一。
设我们有两种证券：证券F和证券G，F的收益率的分布函数是，期望值是，
G的分布函数是，期望值是，不妨假定根据TSD准则，投资证券F优于投资证券
G，于是有
= (2-4)
而根据M-LPV准则，对（2-2）式反复应用分部积分法，则得
-=—
==
=-2
=-2
=
=
代入（2-4）式，则得
-= EMBED
即 EMBED EMBED
再注意到（2-3）式，所以投资F优于投资G，则M-LPV准则和TSD准则是一致的。
以上我们从投资收益率R的分布假定上着手来研究M-LPV准则和TSD准则
M-LPV准则和TSD准则的等价关系。从这个角度来看，由于经营活动的有限责任制、税的
影响等，故R的分布很难对称的，因而不大可能服从正态分布，故M-LPV准则应该比TSD
准则有更大的适用性。
如果我们不从投资收益率R的分布方面来着想，而是从效用函数方面来考虑，我们同
样也得出M-V准则符合期望效用最大化的准则。例如我们可设投资者具有在有限的范围内
为二次三项式效用函数，即可得到这个结论
设范围内，投资者的效用函数为
=
由于投资者是风险厌恶型的，故需要效用函数满足
=
=
则得
于是对上面的效用函数两边取期望，得
=
=
上式两边分别对ER和求偏导
==
=
显然，若投资者为风险厌恶型的，具有如上述的二次三项式型效用函数，则投资者的期望效
用随投资收益率的增大而增大，随投资收益率方差的增大而减小，这正说明了M-V准则与
期望效用最大化相符合。
顺便说一句，上面的二次三项式函数被界定在内，是基于保证效用函数满足 EMBED 和 EMBED 这一要求的缘故，如图2-1所示
r
图2-1
当然对于我们还可以再定义一个函数，即使得效用函数成为一个满足
EMBED 和 EMBED 要求的分段落函数。
综上所述，M-V准则（包括M-LPV准则）的基本思想是以投资收益率的方差来作为投资风
险的量度的，这正得到大多数主流经济学家的认同，在本章和下一章，我们均是采用这个定
义的。但是需要指出的是，并不是所有学者都认同这个观念，如Domar认为投资收益率小
于投资者预先设定的某一最低水平的概率——来作为投资风险的量度；
Boumol则建议用来作为风险量度，因为根据Chebyshev不等式，有
实际上我们还可以用实线性空间上的一个泛函——范数来定义风险，使得上述量度方法只是它的特例。
§2 组合投资理论
称是一个交易策略，其中表示投资者在期间持有证券的股数，从另一角度来看，我们专门研究单期情况，则可认为投资者在这期间持有一个包括N种证券的组合，因为我们是研究单期情况，则
固化了，成为一个普通列向量
这里的则表示投资者持有证券的股数。
如果在期初，这N种证券的价格为横向量
S=
那么令 （2-5）
则表示投资者向证券投资的投资额占总的组合的投资额的比重。如果令
那么X就是这个组合的权数向量，或称为组合向量。
这里有两点要指出的是：其一，和一样，如果为负，通常称为卖短或作空，表示的是
投资者卖出证券的份额；如果为正，则是买进，又称买长或做多，其二，向量X必满足
归一化条件，即如果我们仍设N维向量
那么必有
例 某投资者手里持有股票A若干和20000元现金,现在他把股票A全部卖掉得现金10000,同时把现有的30000元买了B和C两种股票,购买前者花了8000元,后者花了22000元,计算投资者这个组合的系数向量.
根据式(2-5)
则系数向量是
下面我们将辅之以适当的例子,分三个部分来阐述组合投资理论的背景知识.
一、证券组合
如果我们同时买或卖某些不同种类和不同收益的证券，我们就构成一个证券组合。
从证券组合的定义，我们至少可能发现两点：首先，证券组合是个总体概念，这个总体是由
若干个体组成的。其次，这些个体在种类和收益上可能各不相同。实际上就更广泛的内容来
说，我们可以用“投资组合”这个词。而当所有个体均是证券时，则称为“证券组合”；如
果只是债券或股票，则分别称为“债券组合”或“股票组合”，目前用的最普通的是“股票
组合”。
为什么向证券进行投资要用组合的形式呢？西方有句谚语说得好：不能把所有的鸡蛋放到一
个篮子里。在证券投资的实践中，人们发现，有相当多的投资者都不愿把其全部资金都投放
到个别证券上，因为那样做会有较大的风险。
所以，人们在投资时，可以选择一组而不是一种证券来进行投资。当然，这种选择不是任意
的，而是有特定意向的。选择哪种证券（考虑它们之间的关系）、各种证券所占的比例等，
都是可以应用严密的数学方法推导的，这样选择的结果，可能会大大降低投资的风险。
从理论上来讲，我们构造一个含有N种证券的组合，就是要选择一组系数
用表示投资者向证券投资的投资额占总的组合的投资额的比重，于是有
EMBED
根据随机变量的期望和方差的定义，得该证券组合收益率的期望值和方差为
= （2-6）
=
=
=
= （2-7）
例 有一个投资者面对两种股票,第一种股票的期望收益率,标
;第二种股票的期望收益率,标准差;两种股票收益率
之间的相关系数是,这个投资者把他的钱向这两种股票各投资一半,这样就构成了一个股
票组合,根据(5-6)和(5-7),该组合的收益率的期望值和标准差分别为
原来两种股票的标准差分别是15%和12%,通过组合,使得整个投资收益率的标准差降到
%,即风险降低了.
最后,我们再来介绍一下市场证券组合(Market Portfolio),因为它在我们后面的叙述中要反复用到.市场证券组合：是由Fama于1968年提出的，它是指包括市场上每一种证券的总的组合，其中每种证券的组合权数，等于该种证券在市场交易中尚未清算部分的价值在市场上全部证券的总价值所占的比例，从理论上来讲，市场证券组合是风险性证券的理想组合证券，每个“具有高度理性”的投资者都按一定的比例持有它。例如:假如某个股票市场只有两种股票,股票A的均衡市场价值为250万美元, 股票B的均衡市场价值为750万美元,则显然
这就意味着所有”具有高度理性”的投资者,均以︰=1︰3的比例向A,B两种股票进行
投资,当然这只是理论上的抽象,在实际生活中,找不到这样一个市场证券组合,人们普遍认为
可以采用一些覆盖面比较大的股票价格指数来代表它.如美国的标准蒲尔500种股票价格指数(Standard&Poor’s500-Stock Index)和道琼斯价格指数(Dow-Jones Average Index).
二、投资组合线
由前面我们知道，如果对于N种证券的ER和已知，则给定一个
就得到一个相应的组合，其期望收益率和标准差，则可由（2-6）和（2-7）式
来求出，让X变化，则得到一系列不同的组合，因而得到一系列不同的和。
如果我们以为横轴，以为纵轴来建立一个直角坐标系，则上述不同的组合，在
坐标系上形成一系列的点，把这些点连接起来就形成了一条曲线——组合线（区）。
下面我们以两种证券组合为例，来讨论组合线的性质
假定两种证券的期望收益率分别为、，和，它们之间的相关系数为，设向证券一投资的比例为，则向证券二投资的比例为，于是它们以此比例形成的组合的和分别为
=
EMBED =
进一步可把它们改写成
= （2-8）
= （2-9）
由此可看出，两项投资的组合线一般情况下是二次曲线
现在我们来分析一下几个特殊情况
（1） 时
==
注意到与的线性关系，故由上式确定的组合线是椭圆或双曲线
（2）时，我们有
=
= （2-10）
=
则 ==
不难看出，此时的组合线是如下的两条直线
=
=
在坐标下，我们把它们分别写成
和
则它们都是从点向右发射的、斜率分别为的两条直线，如下图（2-2）所示
E（R）
σ（R）
图2-2
同理得两条直线方程分别为
和
它们所代表的图形和图2-2类似。
例2-3 假定有一个两股票组合，它们的收益率的期望值和标准差分别如下：
表2-1
证券A
证券B
10%
5%
4%
10%
表2-2
1% %
0 4% 10%
% %
7% %
1 10% 5%
13% %
1% %
0 4% 10%
% %
7% %
1 10% 5%
13% 9%
1% %
0 4% 10%
% %
7% %
1 10% 5%
13% %
我们让分别取和0，让分别取, 1, , , 0和，则得表（2-2），将表中各组数据放到坐标系中，得到的3条组合线，如下图所示
E（R）% ρ=1
16 ρ=-1
ρ=0
—
— A
8 —
— B
︱ ︱ ︱ σ（R）%
5 10
图2-3
观察图2-3，我们至少可以发现下面两个事实
1．所有组合线均通过A、B两点，A点表示只向证券A投资，此时；B点表示只向证券B投资，此时；在A点与B点之间均有
对于超过、在A点之上的点，表示对证券B卖空，将获得的钱连同原的的资金全部购买证券A，此时同理，对于在B之下的点，则有卖短证券A，购买证券B，此时
2．无论为何值，所有组合线均向左面——减小的方向凸，在A，B之间的所有曲线，是以时的组合线凸得最历害，亦即对于同一个值，以时的最小，而且依次按递增。
我们现在再来考虑一个有趣的证券组合，即一种债券和一种普通股的组合。这是投资实践中常用的二分法。因为债券的安全性较高，普通股股票的收益比较大，所以把它们结合起来使用，使该组合在降低风险的基础上获得较大的收益。
由于债券相对于普通股而言，风险很小，故我们可以粗略地假设其收益率是恒定不变的。设债券的期望收益率为，股票的期望收益率和标准差分别为和，假定向债券投资的比例是，则向股票的投资就是，那么该组合的收益率
=
注意到常数和随机变量的协方差是0
则有 = （2-11）
= （2-12）
就是
代入（2-11）得
= （2-13）
其组合线是一条如图（2-4）所示的射线。
· A
i
σ
0 图（2-4）
在A、B之间的点，说明向股票和债券进行投资，即购买债券（或以为利率借钱给别人）和股票；在A点之上的点说明，借别人的债券（或以为利率向别人借钱），得到的钱同原有的资金共同投资股票。
上面我们以两证券组合为例，讨论了其组合线的情况，那么如果是三种证券或三种以上的证券，还仍类似的组合线吗？答案是否定的。
理论告诉我们，当证券的种类数超过2时，虽然ER和一定，但各种证券所形成的投资组合的和在坐标系中形成的也不是一条曲线，而是一个区域，我们以三证券组合为例。
假定有证券A、B和C，已知其ER和
=
=
现向它们分别投资和，于是有
= （2-14）
=
（2-15）
如果给定该组合的期望收益率一个水平，即=，那么在两证券组合中，根据（2-8）和（2-9）式，就有唯一的与之对应，因而也就有唯一的。所以在坐标系中只有唯一的一个点。但是在三种证券的情况下，当=时，根据（2-14）式有
EMBED
这说明对于给定的一个，由上式确定的[，（）]有无穷多个点，因而也就有无穷多个与之对应。通常在这些无穷多个中，有一个最小值，因此对于任一给定的，其对应的形成了如图（2-5）所示的一条射线，其中M点表示的组合是所有期望收益率均为的组合中标准差最小的组合。如果让连续地上下取值，则我们就得到如图（2-6）所示的阴影区域，它表示该三种证券所形成的各种组合均在该区域内。
ER ER
0 σ(R) σ(R)
图2-5 图2-6
三、分散投资讨论
迄今为止，我们对证券组合理论有了一个基本的认识，对选择证券进行投资的道理和方法也有了一个大致的了解。在这个基础上，我们将阐述分散投资的作用。
所谓分散投资就是投资者不是将全部资金投放在一种证券上，而是选择投放在很多彼此之间相关程度很低的高质量证券上的一种投资方式。
所谓高质量证券是指那些收益高、风险小的证券，我们在前面曾介绍过，假定投资者都是风险厌恶型的，故他们选择的投资对象应是那些风险均一样但收益较高或收益均一样风险较小的证券。当然最理想的是收益高风险小的证券。但是在实际生活中，证券大都属于那种收益高、风险也大和收益低、风险也小这两种类型的。所以在选择证券进行投资时，应当把收益和风险结合起来考虑，这个问题不是本节的内容，我们暂且不谈。
选择彼此相关程度较低的证券进行投资，是我们在此讨论的中心内容。这里的相关程度用来表征。
我们还是以本节例为例，在图（2-3）中，我们可以发现，在不容许卖短的条件下的条件下（即在AB之间的全部组合线），其组合方差是随而递增的，即相关系数越大，则越大，在的组合线上，A、B之间任一点的，均为和的线性和：
= EMBED + EMBED
这里的，表示向证券A投资的比例。由于。故对证券A和B的任意组合的收益率的标准差，
EMBED EMBED EMBED + EMBED
这个公式是从两证券组合中导出的，实际上它可推广到任意种证券的组合，因为
==
由于 故有
=
EMBED
=
就是 EMBED
可以用图（2-7）来集中体现分散的作用，
RA RB
t t
E(A+B)
组合A+B
t
图2-7
从图中我们可以可以看出，股票A、B的收益随时间变化起伏不定，因而它们皆具有一定的风险。但是股票A与B收益的升降几乎完全相反，当A的收益上升时，B的收益则下降；当A的收益下降时，则B的收益却上升，且它们同时上升和下降的幅度大致是一样的。因此我们可粗略地断言。这是，且有=-1，即完全负相关。于是我们可采用这样的分散策略，即向A、B各投资资金，则所得的组合收益率的方差就是
= EMBED =0
从图上看，组合A+B收益就非常平稳了。这样就达到了降低风险的作用。
严格地说，上述推理是基于不容许卖短这个条件的，如果容许卖短，则上述推理，未必能成立，好在我们可应用数学规划这个工具来求解，应该说也是不难的。
按照分散投资的要求，我们在选择证券进行组合时，还要注意所选的证券的种数N，即要求N足够大。
对这个问题的阐述是难做到的，假定某个证券组合中含有N种互不相关的证券，向它们投资的比例均一样，均为，且风险均为，于是根据前面所述有
=
按照假定条件，且，所得
==
于是 =
这个结果是根据上面非常特殊的条件（几乎是不存在的），具有很大的局限性，但是，借助于该式，我们至少有一个定性理解，就是证券组合的风险，将随着组合内证券种数的增加而减少。
但是，投资理论和实践都证明，虽然证券组合的风险将随其内证券种的增加而减小，可这种减小并不是没有止境的，且不说种类较多的证券及比例本身就是个非常复杂的事，一般来说，当N较小时，增加一种证券，会使其组合的风险较大幅度地减少，但是，随着N的增大，这种减少的作用已不明显。美国学者Horne根据很多人的实验，绘制了一条反映证券组合投资风险与其内包含的证券组合风险与其内包含的证券种类之间关系的曲线，如图（2-8）所示。
由该图我们可以看出，任一组合的风 σ
险都可分成两部分：系统风险和非系 总的风险
统风险（我们后面还要讨论这个问题）。
凡能够用分散的方法消除的风险称之 非系统风险
为非系统风险，不能消除掉的风险则称
为系统风险，很明显随着组合内证券种 系统风险
数的增加，证券组合风险的减小程度越
来越小，并无限趋向于水平，再增加证
券种数，它也不会减少了。这是由于非
系统风险被逐渐消除掉，证券组合的风 N
险仅仅等于其系统风险的缘故。 图2-8
一个比较好的证券组合，究竟应该包含多少种证券？对这个问题，人们做了许多的研究（包括仿真研究），一般认为，随机地选取10种证券组合时，组合的风险可以减少到能够接受的水平；如选15~20种时，组合的风险将不会再随着证券种数的增加而明显减小。因此我们建议，一个较好的组合“至少应包含10种证券，以15种为好。即使资金数额很大，考虑到证券选择工作，也不要超过25种。
以上我们较全面地叙述了分散投资的原理，分散投资作为一种投资策略，不仅在金融业、保险业中经常被用到，而且在其他产业部门出常常得到应用。如美国Northwest工业公司，直接或间接地管理着一批业务单位，从事工业品，化学物品和消费品的生产经营活动。该公司的做法是：第一，生产一些基本需求领域内的各种日用品，显然它们是很复杂的，是比较分散的，这样可以保证满足市场上始终不衰的需求；第二，在所经营的领域内取得领先地们。这是分散化战略使得不同业务单位之间的相关程度很小（如工业用品与消费部门），并由于采用了统一商标，使得收益比较稳定，从而降低了各业务单位的收益率的标准差，进而降低了整个公司的风险。
§3 最优组合系数的求解
我们已经知道，根据若干证券的ER和的信息，我们可以得出其证券组合线（区），让ER和变化，我们就会得到不同的组合线（区）
现在我们来考虑另一个问题，就是不考虑收益而只要求组合的风险最小，即具有最小风险的组合（最优组合）的系数求解问题。这个问题的实际意义是，如果某个投资者极其厌恶风险，在他面对的N种证券收益率的协方差矩阵均为已知的情况下，他应怎样投资？具有来讲，就是向各证券的投资，按照什么样的比例来进行，才能保证他们的总投资收益的风险最小？需要指出的是这类最小的点，并不是相对某一期望收益率水平而言的。
我们在回答这个问题之前，先给大家介绍两个常用的矩阵微商公式。
（1）设变量， 为常数列向量，于是
=
即
== （2-16）
（2）仍设变量，A为的常数矩阵，则
=
=
因此有
（2-17）
特别地，当A=时，有
= （2-18）
我们现在回到原来的论题上，已知且假定它可逆，则根据（2-7）式，我们知道，对于任一组合系数向量X，该组合的方差是
=
如前我们不妨构造一个N维向量，那么要满足 ，对风险最小的组合的寻找就成为对下面模型的求解：
min =
.
显然这是个条件极值，我们可以用Lagrange方法来求解。作Lagrange函数
注意到是对称矩阵，故根据（2-16）和（2-18）式，我们得到
= （2-19）
==0 （2-20）
由（2-19）式得
X=
将其代入（2-20）式，得
+1=0
因此时已是一个标量了，于是
X== （2-21）
将其代入目标函数，且注意到对称矩阵有，则得该组合收益率的最小方差为
=
=
=
（2-22）
以上结果告诉我们，如果不考虑组合的收益水平，则根据 X=所规定的比例向各项证券进行投资，此时组合的风险最小。
我们来举一个例子来说明本方法的应用。
例2-4 某投资公司准备向两种证券同时进行投资，假定甲、乙证券的收益率的标准差分别是，，而且根据历史资料测算，得到这两种证券收益率之间的相关系数是，试确定投资风险最小的组合系数。
不难看出，这两种证券收益率的协方差矩阵为
=
则
根据式（2-21），解得
即向甲证券投资32%，向乙证券投资68%，此时总的投资风险为
=%
对任意数种风险证券形成有组合，我们都可以采用上述方法，来选择最优组合系数，使总的投资风险最小。但是应该明了的是，这种风险也不是无限减小的，它有一个下限，根据第一章的定理, (此时)，如果正定矩阵的最小特征值为，则
= EMBED
于是我们得到下面的推论：
推论 如果一个N种证券组合收益率的协方差的最小特征根为，则该组合的风险肯定不小于， EMBED 。
现在我们来介绍一个特例，如果矩阵中每一行（列）中的所有元素之和——通常称为行和（列和）——均相等，就是
那么使其组合风险最小的组合系数为X=，我们把这称之为等权投资，等权投资的结果是不难证明的，因为对于
=
==0
就是
把前N个方程相加，就是
由对称性和已知条件
=C
我们有
（2-23）
得
将代入上面N个方程
我们用行列式方法来解此方程组，其系数行列式
不难看出它具有下面的性质
D= =C
=C EMBED C
于是我们得到
D== EMBED EMBED
则 （克莱姆法则）
就是
X=
此时根据（2-7）公式有
====
即 =
最后我们来讨论一下不允许卖短的条件下最优组合系数的选择问题，不难看出这可以把
原模型改写成如下形式
min
. (2-24)
对这个问题的求解是比较复杂的，这里我们讨论一个简单的情况，N=2，就是包括两个风险证券的组合，我们来分析一下在的情况下最优组合的选择问题。
不难知道
=
这里记，，于是
=
=
于是得
/= （2-25）
=
因为
故如果必须有，则有 即成立
就有
， 和
，
把它们合起来即
如果按照（2-25）式计算，X有一个分量，比如说，就是
得，由于，故有，即证券1的投资风险大于证券2的投资风险。
现在我们所面临的问题，如果不允许卖短，当，且时，我们应该怎样来
选择组合权数？
因不能卖短，即，设，那么，注意到，则设
就是
=
=
=
= EMBED
这就是说，在此种情况下，该组合收益率的标准差是以风险较小的证券（即证券2）的标准差作为下限的，就是 EMBED 。因此，我们取，这时，该组合收益率的标准差最小，为 EMBED 。
同理，当，且时，我们取，即只对证券1投资，此时 EMBED ，把上述讨论归纳起来，我们得到N=2时的模型（2-24）的解
§4 最小方差集
我们已经给出了最优组合权数的计算方法，即按这样的投资比例可使投资组合的风险最
小，但是，在投资理论和实践中，人们的着眼点并不仅仅是投资风险，除了风险之外，人们的注意力还要集中在收益上面。换句话说，如果仅仅只考虑风险的话，那么人们就会把钱拿来购买政府债券或存入银行，而不会去购买风险很大的股票。因此，和前一节相比，本节将对证券组合理论作进一步深化，即在选择投资组合系数时，既要考虑到组合的收益，又要考虑到组合的风险。具体来讲，就是在期望收益给定的情况下，选择方差最小的组合，和在方差给定的情况下，选择期望收益最大的组合，这样就产生了最小方差集。
一、最小方差集的导出
我们在前一节中已经知道，在和ER已知的情况下，当给定一个X时，根据式（2-6）和（2-7），就有一个相应的和，但如果给定一个=，那么根据式（2-6）有
和
显然有许多X与之相适应，即有许多期望收益率等于的组合，在这些组合中，我们可寻找
一个最小的组合，我们把它称为最小方差组合。如果让变化，则产生新的相应的最小方差
组合；这样，当连续变化时，则会得到一系列最小方差组合。我们把由这些最小方差组合
所产生的集合，称之为最小方差集（Minimum Variance Set ）,通常用MVS表示。
从这个思路出发，我们不难得到求最小方差集的模型
min
. （2-26）
现在我们来求解这个模型，作Lagrange函数，有
L=+
故根据Lagrange条件极值定理有
= （2-27）
= （2-28）
= （2-29）
从（2-27）式得
X= （2-30）
而根据（2-28）式和（2-29），则有
（2-31）
将（2-30）式代入（2-31式中得
=
注意到矩阵正定和有关因子的阶数，则设二阶正定矩阵
A= （2-32）
那么得 =
代入（2-30）
X= （2-33）
此时对应的组合的方差为
== （2-34）
上式的诠释是，如果假定任一收益率，那么在期望收益率为的众多组合中，按照（2-33）式构造的组合方差最小，其值由（2-34）式来表示。
如果以为横轴，为纵轴建立直角坐标系，那么（2-34）式则表示为抛物线（或双曲线），如图2-9所示
r r
G · G ·
0 σ2 0 σ
图2-9
在实际应用中，人们关心的是图（2-9）中最小方差集上G点之上的部分，它反映了
当给定一方差（或标准差）水平时，我们从对应于这个方差水平的诸多组合中所得到的具有最高期望收益的组合，显然它是（4-26）式对偶问题的解：
max EMBED
. (2-35)
在后面我们把这个解，甚至整个最小方差集中的组合称为有效组合。
二、最小方差集的性质
在叙述最小方差集的性质之前，我们先介绍一个公式。
设有两个证券组合和，它们的系数向量分别是同维的和，那么这两个组合收益率之间的协方差为
EMBED
=
= （2-36）
性质1 如果定义，
则正定对称矩阵，那么在均值——方差坐标系上，最小方差集（2-34）则表示为一条抛物线：
== （2-37）
性质2 （绝对最小方差组合），图（2-9）中G点表示的组合的方差为
（2-38）
均值为
（2-39）
该组合的系数向量为
（2-40）
把 、 与和式（2-25）比较，我们可看出G点表示的组合就是式（2-24）的解，即不考虑收益的模型的解，因此我们把G点称之为绝对最小方差组合。
由于引进了绝对最小方差组合，则对偶问题（2-35）的解就可表示成
（2-41）
现在我们来看一个有趣的事实，设是任一组合的系数向量，根据（2-36）式，组合和组合G的收益率的协方差
（2-42）
上式说明任一组合与绝对最小方差组合收益率之间的协方差就等于后者的方差。
性质3 （有效组合和相关性）除了绝对最小方差组合外，对最小方差集中任意一个有效组合，都存在唯一的一个与之正交的有效组合。如果前者的期望收益率为，后者的期望收益率为，那么有
性质3-A 如性质3中所述的组合z和p一定在最小方差集中G点的上下两侧。
性质3-B 在坐标系中，过最小方差集组合p和G的直线交r轴于 EMBED 。在坐标系中，过p点的切线交r轴于
性质4 在最小方差集中G点之上的所有组合均为正相关。
性质5（两基金定理）每一个有效组合的系数向量均可以表示成其他两个均值不一样的组合的系数向量的线性组合。
证明：根据（2-33）式我们知道，最优系数向量只与给定的收益水平有关，我们不妨设
阶矩阵（N为组合中证券数目）
显然它是一个常数矩阵，如果存在三个有效组合、和，它们的均值分别是、和， 令
则有 =
那么则有
= （2-43）
无论是在金融理论研究中，还是在实际应用时，两基金定理都是一个极其重要的工具，
对于风险厌恶性投资者说，只要 找到两个最小方差组合，那么就可以利用式（2-43）来导
出整个最小方差集。
一般来说，当我们在确定最初的两个最小方差组合时，首先根据（2-40）式，导出绝对
最小方差组合的系数向量，然后我们寻找一个均值为的有效组合，它的方差则根据（2-34）
式为我们更关心的系数向量为
显然这个组合的系数向量是正比于均值向量的，故很好算。
例2-5 已知某三种股票的期望收益率分别是
， ，
它们之间的协方差矩阵为
将它们分别代入（2-33）和（2-34），我们得
X==
===
三、含无风险投资的有效组合
在前面的叙述中，我们均假设所有投资对象都是风险性证券，如股票。但实际生活中，
还存在无风险投资机会，如向银行存款，或向银行贷款投资等，这都涉及到含无风险投资的
组合理论。下面我们来研究这个问题。
在研究这个问题之前，我们先申明一点，为了叙述起见，我们后面研究的有效组合均在
最小方差集中G点的上侧部分，这就是模型（2-35）式的解（2-41）式。
我们以银行存贷款来表示无风险投资活动。我们知道存贷款利率通常是银行确定的，在一定时间内是不变的，设贷款利率为，存款利率是，那么一定有
>
否则银行没有利润
再设原来的N种股票的最小方差集的上侧部分如图（2-10）中的GLB所示，在轴上自点
出发作最小方差集上侧部分的切线LN，交其于L点，再自点出发作其切线BP，交其于
B点。这样，新的有效组合的集合就是由三部分组成，第一部分是线段L，它表示投资者
既向银行存款，又向投资组合L进行投资。第二部分是曲线LB段，它表示投资者既不贷款，
也不存款，只向风险性证券组成的有效组合进行投资。第三部分是自B点出发的切线BP，
它表示投资者以利率向银行借款，再和自己的资本一起投放到组合B中。
r
N
P
B
L
图2-10
这样，我们就得到了含无风险投资的有效组合的均值
（2-44）
其中点L和B的坐标由下式给出
如果我们假设存贷款利率一样，那么图（2-10）中的和，L点和B点重合，如图（2-11）
所示。
r
E ·
·
M
·
i A ·
G
图2-11
我们通常称它为资本市场线，显然它的方程为
这里我们需要指出的是，图（2-11）中的M点表示的组合就是我们在第一节中所指出
的市场证券组合，它是基于市场上所有的具有相同收益——风险权衡关系的投资者的选择总合而成，或者说投资者所持有的风险证券的组合系数均一样，当然市场证券组合也是有效组合。
资本市场线的另一妙用，是在说明每一个投资者只向两种机会同时投资：无风险投资和
市场证券组合，而不在乎风险厌恶程度。例如，若一个投资者对风险非常厌恶，他可以存款多一点，少市场证券组合投资少一点（但不改变组合系数），亦即A点沿直线向左下移动。如果一个投资者对风险厌恶程度比较小，那么他就向市场证券组合多投资一点，存款少一点，相应地A点向右上方移动。特别地，他可能为了高收益，而以利率向银行借款，再连同他自己的资本一起向M点投资，这个组合如图中E点所示。
§5 最小方差集的几何算法
在上一节,我们给出了最小方差集的概念,性质以及求解方法,在那里我们求解时采用的是代数方法,本节我们来介绍求解的几何算法.引入几何方法,不是因为它能简化计算计算,当N足够大时,这种方法确实简单,而是因为几何算法比较直观,比较明了,通过对几何算法的应用,可以使我们对最小方差集的性质,有一个更深刻,更全面的理解.
还是以上节例为例,来介绍这种几何算法.
已知如前所述有三种证券,它们的期望收益率和协方差矩阵分别是
， ，
让这种三种证券,以和为比例来进行组合,那么该组合的期望收益率和方差为
分别整理得
（2-45）
（2-45）
先来看第一式子,我们以为横轴,为纵轴来建立一个直角坐标系,那么该式表示的就是一族斜率为-2,截距为的直线,当取一个数值,则得一条直线.如取=16%,则对应的直线方程是
如图(2-11)所示.反之,该直线上任意一点所表示的组合,其期望收益率均等于16%.我们把这样的直线称之为等收益线,它犹如物理学中的等压线,等位线一样, 图(2-11)表示的就是一组这样的等收益线.从图中可以看出,直线的位置越右,则对应的值越低,反之亦然,这是因为它们的斜率均为负, 截距为,故越大则截距越小的越小.
0
10%
12%
16%
18%
20%
图2-12
我们再来看第二个式子 ----式(2-46). 由解析几何知识, 我们知道, 当给定一个数值时,该式在坐标系上是一个椭圆, 故当变化取系列数值时, 该式表示的是一组同心椭圆, 对每一个数值, 给定一个椭圆. 例如取=21%, 则决定了椭圆:
如图(2-13)所示, 反之该椭圆上每一点所代表的组合的收益率的方差皆等于21%,我们把这种
椭圆称之为等方差椭圆. 由于它是闭合的, 故如同地图上的等高线. 在图(2-13)中,椭圆越大, 所代表的方差越大.
N
W
J
C
B
A
20% 18% 16%
图2-13
注意图(2-13)中的等收益线,就是图(2-12)中的那组平等线, 在图(2-13)中, 我们把等收益线和等方差椭圆结合在一起了,参照图(2-13),我们就可以很直观地给出最小方差集的几何算法.
以=16%为例,它的等收益线如图(2-13)所示, 我们刚刚说过, 该线表示其上所有点所代表的组合的期望收益率均为16%,现在我们要在该线上找一个方差最小的组合,我们该怎样找呢?不难看出,该收益线分别与方差为30%,28%,26%和21%的等方差椭圆相交, 交点依次为和J点(切点).观察A和点, 由于它们是16%等收益线与30%的等方差椭圆相交的交点,故它们所代表的组合的期望收益率均为16%,方差均为30%,依次类推, B和点均表示所代表的组合的期望收益率均为16%,方差均为28%……J点所代表的组合的期望收益率均为16%,方差均为21%,将它们逐一比较,发现只有J点所表示的组合在期望收益率为16%的所有组合, 其方差最小, 故它就是最小方差组合, 其组合系数可以由下面两式联立求解
解得
更进一步,我们选定期望收益率水平为,则等收益线为
EMBED
它与方差为的等方差椭圆
的交点则由它们两式联立,得一关于的一元二次方程:
注意到最小方差组合应是该收益线与等方差椭圆相切的切点,也就是上面的一元二次方程应是重根,故根据重根条件,得
就是
这就是所求的最小方差集,且组合系数为
我们发现它们和上一节的结果完全一样.
我们现在把上述内容归纳一下, 给出三证券组合最小方差几何算法的一步骤.
把等收益线和等方差椭圆联立.
上两式联立的结果得一关于或关于的一元二次方程.
利用重根条件
即得所求之最小方差集.
对于四证券组合,如果已知
设向这四种证券分别投资的比例是和,那么有
注意到,故在上面等式中均消去,则在直角坐标系中,分别获得等收益面
和等方差椭球面
根据前述道理, 我们应在它们的切点处得到最小方差组合,故根据解析几何我们有
在切点法向量相同
将该式和联立,则得切点坐标,把它们代入则得到所求的最小方差集.
对的组合,我们可以仿照上面的方法,由下面两式联立
(2-49)
(2-48)
得到,将其代入即得最小方差集.
最后我们来讨论一下标准线问题.
所谓标准线,就是如(2-13)图中那些表示最小方差组合的点的连线,这是一条直线,把它从图(2-13)中分离出来,得图(2-14)
Q
Z
图2-14
事实上这条标准线是不难求得的. 在我们的例子中,由于任一最小方差组合的组合系数可以表示成,,消去,就得到这条标准线
更一般的,式(2-48)就是N种证券组合的最小方差集的标准线.例如,在上例中
则有A=2, B=1,
EMBED
故该标准线为
就是
这和上面结果一样.
§6 包含外国证券的组合投资
迄今为止，我们已经研究了如何在给定的N种证券右构造有效组合，所有这些都是基于严格的数学推导之上的，而且还具有很重要的应用价值。现在我们就不只被动地按照给定的信息的情况，而是积极地、主动地扩大投资范围，而随着国际经济日益一体化，我们有可能把外国证券引进我们的组合，这主要基于下面两个原因来考虑。
其一，引进外国证券可能增加组合内证券的种数。因为从理论上证明，N+1种证券的优化效果肯定不会比N种证券的优化效果差。我们不妨设想一下，如果对N种证券进行组合，所得到的最小方差集为MVS（N），现增加一种证券进入组合，如果加入的证券会增加组合的方差，那么我们会让其权数为0，所以增加一种证券至少不会增加原有组合的方差，而只会减少它或者不变。如果用MVS（N+1）表示由N+1种证券构成的最小方差集，则它应该在MVS（N）的左侧或重合，如图（2-16）所示。
MVS(N+1)
ER
MVS(N)
图2-16
其二，由最小方差集求解模型（2-26）式，我们可以看出，作为基本的信息载体，协方差矩阵对优化的结果影响很大。我们在第二节曾经说过，如果我们尽可能地选择一些相关程度很低，最好是负相关的证券进入我们的组合，那么我们的优化效果一定会好一些。
大量的事实说明，在同一个经济体（国家、地区）内，各种经济单位之间有着千丝万缕的关系，一般来说都具有依存关系（即正相关），所以我们即使有目的地、细心地选择证券，它们之间的相关程度一般也都是较大的，所以这种选择一般都是有限的。倒是由于国与国之
间经济的某种独立或竞争关系，使得外国证券和本国证券收益率之间相关程度很低，甚至为负.
市场指数
500– 日本
–
400–
–
300–
–
200– 美国
–
100 德国
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 年份
69 70 79 80
图2-17
在1969~1970年间，美国和德国股价均有所下降，但日本的股价却上
升；而在1979~1980年间，德国股价下降了，美、日两国的股价却上升，这种相反的运动趋
势，表示它们之间的相关程度很低。
于是为了把外国证券引进我们的组合，我们必须要计算出外国证券的收益率的期望值和
方差（协方差），这样才能根据式（2-33）进行优化，因此我们首先来导出投资外国证券的收益率的计算公式。
首先要指出的是，投资外国证券的收益率的衡量，是和投资者所属的国家乃至货币有关，
即投资者总是以他本国的货币来衡量他投资外国证券所获的收益率。
我们知道，一般普通股在第t的收益率可用下式表示
这里是股票的t期末的价格，是期的股息。
但是上式只是一般的股票收益率计算公式，如前所述，投资外国证券的收益率必须以本
国货币来衡量，所以必须进一步对该式进行研究，使它的计算不仅反映了证券在所在国家的收益率，而且还和本国与该国货币的交换比率——汇率有关。另外，为了使问题简便起见，我们不妨略去股票的股息。
假定第国投资者，购买第国公司发行的股票，设该股票在期按照第国货币的价格
为，则在期投资该股票按国货币计算的年收益率为
= （2-49）
为了把（2-49）式说得清楚些，我们举个例子。假定有一个美国投资者在1981年2月
25日花了100美元购买了一些英国公司的股票，这种股票在英国的年收益率是15%（即按
英镑算），1981年2月25日的汇率是1英镑=2。2282美元，一年后的美元升值，1982年2
月25日的汇率是1英镑=1。8330美元，那么该投资者的投资收益率应是多少？
在1981年2月25日，该美国投资者所购的英国股票的英镑价值为100/2。2282=44。88英
镑，由于这些股票的英镑收益率为15%，则到了1982年2月25日，其价值为
英镑，转化成美元即为美元，按照（2-49）
式，该投资者购买此英国证券的投资收益率为
即这项投资亏本了，虽然该股票在其自己国内的收益率高达15%，由此可看出汇率波动
对投资者向外国证券投资的影响。
根据上述思路，我们可以将（2-49）式具有化。设国投资者以本国货币C在期初购买若
干国公司股票，该股票在此国内第期的年收益率为，并假设在期初、末，单位的
货币分别等于和单位国货币，于是国投资者在第期向国公司股票投资的
收益率为
（2-50）
现在我们来考察一个德国投资者,他也在同期购买了那种英国公司的股票,已知在上述期
初和期末,英镑对马克的汇率分别为1英镑=马克,和1英镑=马克,那么根据
(2-50)式
, ,
则这位德国投资者向该种英国股票投资的收益率为
对于同样的股票,却因为投资者的国别为同,而造成了投资者的收益悬殊,这说明了投资
者在选择外国证券投资时,要慎重地考虑到股票的国别,换句话说外国证券的收益率是是会随
着投资者的国别不同而异的.下表分别给出了从一个美国投资者角度来看的,几个国家的市场
证券组合收益率的期望值,标准差和相关系数(20世纪70年代数据).
表2-3(单位:%)
国别
期望收益率
标准差
国别
期望收益率
标准差
比利时
加拿大
德国
法国
意大利
日本
英国
美国
表2-4
相关
系数
1
2
3
4
5
6
7
8
比利时
加拿大
德国
法国
意大利
日本
英国
美国
每一个国家的投资者在得到如上的各国证券的期望收益率和方差(协方差)数据后,他就
可以按照(2-33)式来选择他所理想的证券组合.下表给出了分属加拿大,德国,日本,和美国的四
个投资者的证券组合.
表2-5
投资者国别证 组
券 合
国 系
别 数
美国
德国
加拿大
日本
加拿大
德国
日本
美国
----
----
组合
收益率
期望值
%
%
%
%
标准差
%
%
%
%
我们以德国投资者为例,他没有购买美国证券,而只购买了他自己国家的证券和加拿大,
日本的证券,投资的比例分别为,和.这样得到总的组合收益率的期望值为%,
标准差%.
另外,我们根据有关资料,从一个美国投资者的角度出发,得到美国国内市场证券组合
(S&P500种股票)和包含外国证券的投资组合的最小方差集,如图(2-18)所示:
期望收益
– D
– C US
! !
标准差(风险)
图2-18
从图中我们可以看出,如一个美国投资者仅向本国证券投资,则其期望收益率和标准差由
点US表示,分别为%和%(按季度计算),但如果他要向包括外国证券的组合进行投资,
则如保持收益不变标准差会下降到%(C点),或保持标准差不变,期望收益率会上升到
%(D点),向外国证券投资的好处,由此可见一斑.
最后根据本节的思路，我们还可以把我们的研究内容扩大到投资外汇上去，其实这是一
回事，我们只要把国货币也看成是一种“证券”即可，那么该证券在期内的收益率就是相应期间该种货币在银行存款的利率，其它一切均仿上。
§5 指数模型
在本章里，我们介绍了运用数学方法来合理地，有效地选择证券，从而使得我们能获得
风险较小和收益较高的证券组合。
应该说，这种思路是很清楚的，方法也是很正确的。但是，这里有一个问题，就是计算技术方面的问题。
我们知道，一个证券组合的收益率的方差是由下式来计算的
=
而（事实上矩阵中所有元素）是按有关证券历史资料来导出的。随着N的增大，姑且不考虑ER的估计以及上式的计算，单是估计一个矩阵，这里的运算量也是非常大的. 譬如说,纽约证券交易所内有1600种股票,即N=1600,考虑到对称性,整个矩阵内也还有个元素需要估计,即使应用最快,最有效的计算机来做这项工作,这也是太难了(假如不说不可能的话)
事实上，上面提出的问题不是唯一的困难，还有一个难题，在估计协方差矩阵时，所采集的样本点数据个数，必须要大于证券的种数，这是统计理论所要求的。因此，随着N的增大，必须要采集的观察点的数目也就越来越大，无疑这也是个极为困难的事。
鉴于以上事实，我们应该要有一个既在理论上站得住脚，又要能够应用于实际的方法，这个方法是存在的，它就是单指数模型（Single-Index Model）.
一、残差项的获得
单指数模型的主要假设条件是，两个企业的微观事件是互不相关的。
对微观事件的理解则势必涉及到残差，故我们在这里首先介绍一下有关残差的内容。
我们知道，每一个企业与市场都是分不开的，任何一个企业的盛衰——反映在企业的收益上就是其自有资金的收益率的大小——都在一定程度上归结于市场作用的结果，受融资市场的影响则更显著。
从证券投资的角度来看，每一种普通股的收益率，都要受到市场证券组合的影响，或者说可以部分由市场证券组合来解释，就是
（2-55）
这是表示证券J在第t年的收益率，表示相应年度的市场证券组合收益率，表示在第t年的残差项。它包括了除市场证券组合外，所有影响运动的因素之和，反映了它们的综合影响。
下面我们以作横轴、为纵轴来作一个直角坐标系。如果我们有一组历史数据则我们可作出一个散点图，利用模型对各个点进行拟合，得到一回归线
（2-56）
我们通常把这条回归线称作证券J的特征线， 如图(2-19)所示.
·
· · ·
· ·
·
· ·
0
图2-19
根据数理统计知识我们知道
=
根据第一章第一节的内容，这里的
=， = （2-56′）
必须指出的是，上个很重要的系数，它的大小反映了证券J对市场投资组合变化的反应程度。
例:2-6
有下列一组观察数据
月份 1 2 3 4 5
2% 3% 6% -4% 8%
4% -2% 8% -4% 4%
则
, ,
故
这表明,如果有足够的事实,估计整个融资市场下月收益率将上升1%,那么证券J的收益率将上升%.
有人对美国两大公司—美国电话电报公司(AT&T)和联合航空公司(UA)的数据进行过分析和拟合,其结果如下:
AT&T: UA:
大量的拟合实验表明，=0，通常在~之间
现在我们回去过头来看一个非常重要的量——残余方差（residual variance）, 它反映了各个观察点对回归线的背离程度。
我们知道，除了完全正、负相关之外，所有观察值并不都在特征线上，可能会存在一个残差，根据数理统计知识，它应为
注意到和是两个估计参数，则我们定义证券J的残余方差为
==
现在我们来看看两个有趣的特殊情况
（1）=0
由于 ==0，故可推出，进而
这就是说，所有观察点都在特征线上，因此的波动仅仅由融资市场来决定，其他因素对其均无影响。注意到此种情况下和的完全正相关（可认为不存在完全负相关），故 ==
它说明证券J在其时对市场反应的程度，完全取决于该证券的风险（标准差）在整个市场证券组合的风险中所占的比例。
（2）=0
这是与线性无关情况，我们可直接推得==0。进而，于是我们因这里的，得仅仅与线性相关，其变化完全由残差方差来衡量。事实上，由于
=
=
=
=
可看出的方差差不多等于其残余方差，这里所以有这个微小差别，主要是因为二者的自由度不同造成的。
二、单指数模型的假定条件
为了导出证券组合收益率方差的简化计算公式，我们必须对证券的收益率加上一定限制条件。这些条件的满足与否，将会直接影响到模型的准确性。
首先，我们知道，一般来说各个证券收益率是互相联系的，是相关的，如A企业的产品是B企业的原料或相反，它们的收益是正相关的，反映到它们所发行的股票上的，其收益率之间当然也是正相关的。再如，如果某地生产某种产品的公司只有两家，那么甲公司的生意好（相对来说），就意味着乙公司的收益不好，反之亦然。因此反映到这两家公司的股票上，则它们的收益率呈负相关。所以市场上任意两种证券的收益率之间均存在大小不等的协方差，这样使得按照Markowitz公式来计算任一证券组合就会遇到如前所述的困难。
为了避开这个问题，单指数模型一方面承认不同的证券收益率之间存在相关性；一方面对这些相关性的来源做了这样一个假定 ，即所有证券的收益率均受市场证券组合的影响，每个证券的波动均是由于市场证券组合收益率波动引起的，只不过反应的程度不同而已。
如图（2-21）
EMBED
图2-21
对市场证券组合收益率变化显然比要敏感得多，进一步，任意两个证券收益率之间的相互关系，是由于它们都和市场证券组合收益率相关而产生的，引进了这一假定，则我们就可以把证券收益率两两之间的关系，表述成它们各自与市场证券组合的关系的合成，由于具有一个共同的参照物，故处理上述问题就要简单得多了。我们把这种处理方法称为单指标模型。
为了把这个问题描述得更加明确无误，单指标模型把影响任一证券收益率的波动事件或因素，分成下面三类。
1．宏观事件 如全国性的通货膨胀、银行利率下降等，这些事件的特点是，它们对所有公司均有影响，只不过由于各公司的不同性质，受到的影响不同罢了。这种影响的途径是通过市场，即宏观事件的作用，改变市场证券收益率，进而引起各种证券的收益率的变化。如前所述，任一证券（组合）收益率受市场的影响是通过其特征线来描述的，所以，我们说宏观事件使得任一证券（组合）的收益率沿着其特征线运动。
2．微观事件 如一个公司搞了一个主要产品的制造技术革新，某公司突然发生大火、罢工等。这些事件的特点是：它们既不影响其他公司发行的股票的收益率，也不影响市场证券组合的收益率，其影响只局限在本公司内，只影响本公司的经营，进而影响本公司发行的股票的收益率。正是由于这些事件，使得本公司股票的收益率或高或低于我们的期望收益率，产生了背离其特征线的残差，也就是说，它们的作用，使得任一证券（组合）收益率围绕其特征线上下运动。
3．部门事件 顾名思义，这是指对一专门产业部门（如汽车工业）有影响，但不能影响整个经济和市场证券组合收益率的事件，如一项汽车工艺改革等，显然它们的影响程度介于前述两种事件影响之间。事实证明，这些事件也能引起残差的出现。但是在单指标模型中，我们没有考虑这些事件。我们假定，残差完全由微观事件引起的。
根据上述分类，我们用数学符号来作出如下的假定。这些都是单指标模型赖以成立的基础：
（1）=0 (2-57)
它表明的残差与的残差是线性无关的，这个条件归纳和反映了我们上面的有关叙述。因为我们知道， EMBED 的残差是由J公司内的微观事件引起的，的残差是由K公司内的微观事件引起的。按照我们的定义 ，J公司的微观事件应不影响K公司，反之亦然。
（2）
它表示尽管残差在某期为正、某期为负，但对任一期残差的期望值均为0。
事实上，对于回归模型，如我们采用最小二乘法来拟合其回归线的话，一般都是假定
（3） (2-58)
这个条件表明，某种证券收益率的残差与市场证券组合收益率线性无关，因此残差并不会因为“牛市”时为正、“熊市”时为负，或相反。
根据以上条件和式（5-55），我们可以很方便地导出的计算式，注意到 =
=
于是
=
=
而
=
=
=
=0
所以有
= （2-59）
式（2-59）是单指数模型的核心内容，根据这个式子，我们可能把任意两种证券收益率和的协方差，简化成上式右边三项的乘积，其中表示市场证券组合收益率的变动强度，分别表示和对市场组合证券收益率波动的反应。
三、单指数模型计算公式
根据单指数模型的设定条件，我们导出了任意两证券收益率 和之间的协方差的计算公式为
=
根据这个公式，我们就可以推导出任一（或组合）的收益率方差的单指数计算公式。
我们先来看一看，在单指数模型设定的条件下，单一证券J的收益率的方差的计算公式。我们知道，任一证券J的收益率可表示成如下的形式：
=
于是根据方差的计算公式有
根据方差的基本性质和前面的假定条件。有
=0
=0
=0
所以
= (2-60)
根据这个公式，我们可以看出，任一证券J的收益率变化可以由两部分来解释，其一是，它是证券J的系统风险，表示受市场证券组合收益率的影响，沿其特征线变化的；其二是部分，它是证券J的非系统风险，表示围绕其特征线做上下振动。总之在单指数模型下，在一个高度分散的证券组合内，证券J的系统风险，实际上是指整个组合的风险中应属于证券J的部分，它是不能消除的，而非系统风险可以随着证券分散程度的增大而消失。
现在我们来推导计算证券组合收益率方差的单指数模型，设该组合内共有N种证券，其权数分别为那么根据式（4-59）和（4-60），我们有
EMBED EMBED
EMBED
EMBED
和
=
于是该组合收益率的方差为
=
=+
= +
=
=
比照式（2-60），我们设
= =
则有
= EMBED （2-61）
这样任意一个证券组合的风险也可分成系统风险和非系统风险两部分，而且和式（2-60）相比，它们具有相同的数学表示形式。
这里我们把=再分析一下，按照的定义应该有
=
= EMBED
根据单指数模型的设定条件，的协方差矩阵为
就是主对角线上为，，……. 其他均为0，即上式右式的第二项为0，由此得到
=
在理论和实践中，人们往往用增加组合内证券数目的方式来减小乃至消除非系统风险。例如，有两种残差方差均为的股票，如果我们用等权数向这样的两种股票投资，那么这个证券组合收益率的残余方差为
=
如果用等权数向为这样的三种股票投资，则得=%，依次类推。事实上如果我们用等权数向包含N种等残余方差的股票构成的组合进行投资，则有
==
显然随着N的增大，越来越小。
顺便提一句，当越来越小时，说明点列的残差也很小，即集中在特征线附近，根据前面的相关情况分析，我们知道此时的相关系数很大，因而可决系数也很大。可以用图（2-22）来分别 说明组合内证券数目N与和d的关系。
残余方差
0 N 0 N
图2-22
现在我们回到我们的中心论题上来，从式（5-61）我们可以看出，由于它的应用，使得证券组合收益率方差的计算工作量较之应用Markowitz模型要小的多，这点在证券数目较大时表示特别明显。
如同我们开始所讲，对于纽约证券交易所内的1600种股票，如按Markowitz模型，则需估计1280800个数字，而按照单指数模型，只需估计1600个，一个和1600个，共为3201个，工作量显然大大减少了。
四、若干问题讨论和建议
我们在前两节里分别叙述了单指数模型及其设定条件，并且看到对于证券数目非常大的组合的方差计算问题，和Markowitz模型相比，单指数模型具有不可比拟的优越性。
但是，世界上任何事物都具有两面性，当我们推崇单指数模型的优点时，我们也应该客观地指出它的不足之处，另外，单指数模型及其相应的理论本身也在发展，例如，在此基础上发展起来的多指数模型（Multi-index）等。
首先，我们来看看单指数模型的检验问题。
从前面的内容，我们可以看出，单指数模型的主要设定条件是
=0
由于计算证券组合收益率方差的单指数模型为
EMBED
=
而这里的=则是完全建立在上面的条件之上的，因此单指数模型的正确与否，主要依赖于该条件是否满足。
假定现存在部门事件，譬如说某部门内一家企业搞了一个革新，使得该产业部门内所有企业受益，这就是残差正相关的情况。在不同证券残差之间呈正相关的情况下， EMBED ，就是说的协方差矩阵中非主对角元素也是正数，故有
= EMBED >
在此种情况下，如果按照单指数模型来估计一个投资组合的残余方差，则我们低估了残余方差，进而低估了整个组合收益率的方差。
同理，如果不同的证券残差之间为负相关， EMBED ，则我们就高估了乃至。图（2-23）表示的是残差正相关、负相关和零相关三种情况下的残余方差曲线，其中横轴N表示组合内证券的数目。
残余方差
＞0
=0
＜0
0 N
图2-23
下面我们举个实例,来说明验证单指数模型成立与否的一般步骤.
例
下表为A,B两家公司股票及对应的市场证券组合收益率的5个时期的资料,我们来验证一个单指数模型成立的条件.
表2-10
30%
60%
50%
45%
15%
55%
40%
30%
%
%
30%
40%
20%
35%
25%
根据上面的数据,分别利用式(2-56)及式(2-56′),我们得到股票A和B的特征线为
计算各期的和
再计算和的协方差,代入上表中的数据得
故该例满足单指数模型设定的条件.
1972年,Black Jensen和Scholes为了一项有关的专题研究(BJS),对纽约证券交易所内的每一种股票的30多年历史资料进行了调查分析,从中考察残差相关性问题.
他们的做法是,先计算每一种股票收益率的系数,根据值的大小进行排列,然后再把它们分成10个组合,每个组合包括10%的股票,其中第一个组合内的股票系数最高,第二个次之,依次类推,直到最后第十个组合其内的系数最小;另外每一个组合内,各种股票的权数都是相等的.
根据上述处理方法,显然这些组合是高度分散的,于是他们以作为横轴,可决系数d为纵轴得到下面10个点(代表10个组合).
100% · ·
· · · ·
· ·
90%–
· ·
80% ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
图2-24
由图(2-24)可以看出,当的数值适中时,可决系数较大,比较接近1.这说明这些组内股票收益率的残差相关并不是很厉害,因为其内的股票高度分散,可决系数d应该很大.然而对于值较低和较高的组合来说,虽然它们也是高度分散的,可是它们的可决系数却不是很大,唯一的解释就是存在残差相关的情况.在BJS的例子中,这种相关是正相关,即＞0.对这种情况,如果我们按照单指数模型来估计股票组合的方差,则如前述,我们就要犯”低估”的错误.
Black等人在进行深入的研究之后发现,造成这些残差相关的原因是由于部门事件的存在.因为这些值较小或较大的组合内的股票,差不多均处于同一部门,如公用部门的值均很小,而航空部门的值均很大.
其次我们来考察一下单指数模型下的市场证券组合.根据单指数模型,我们可对市场证券组合作出许多有意义的推导.
例如,假定我们所面对的组合就是市场证券组合,共含有N项证券,其期望收益率为
,方差为,那么根据我们前述的内容,则得该组合收益率的系数为
(2-62)
这个结果说明,市场证券组合的系数是1.有了这个结果,对于一个高度分散的组合来说,通过其系数大小,即可判别它的风险是大于还是小于市场(证券组合的)风险,所以我们后面往往用系数来作为衡量一个证券组合的风险指标.
根据上面结果,观察(2-61)式,我们有
从而有=0.这说明在单指数模型下,市场证券组合是高度分散的,其非系统风险被全部消除了.
由单指数模型的思想，人们很容易想到多指数模型。事实上，任一证券（或组合）的收益率波动的原因都是很复杂的，这并非一个市场因素所能包括得了的。例如，有关部门的
经济发展速度、整个经济体的经济增长率，甚至包括一些不能量化的因素，如人们对该证券的信任感发生了变化，当然对这些不能量化的因素，我们在这里不予讨论。
根据上面的讨论，假定任一证券收益率的变动是由包括市场在内的L个指标来解释的，那么其模型就可表示成
=
同理所设定的条件为
证券J与证券K的收益率的残差之间线性无关 EMBED
第个指数与第个指数之间线性无关 EMBED
第个指数与残差之间线性无关 EMBED
由于这三个条件，特别是第二个条件的存在，我们可得到第个的估计值为
=
这里分别表示第个指数的均值与抽样方差，于是我们分别得到的特征线和其方差的计算公式：
EMBED
同理得组合方差的计算公式：
EMBED （2-63）
其中
=
= EMBED
上面所有有关单指数模型的内容，我们已经作了详细的描述，对单指数模型的设定条件及条件的检验我们也作了重点介绍。但是，如果再作一下深层的研究，就会发现，即使这些条件成立，单指数模型也未必能得到很好的应用，当然这不是模型本身的问题，而是市场证券组合的问题。
我们知道，在单指数模型中，所有的证券的收益率均是由市场证券组合收益率来解释的，它们的方差也主要是由市场证券组合收益率的变动产生的因此，市场证券组合的存在及其特征的正确描述，是正确应用单指数模型的客观前提。
但是，犹如前面所述的，在实践中并不存在什么“市场证券组合”，也没有办法把股票集中起来，计算它的收益率及其方差。通常，在理论和应用中，人们是用一些影响非常大的股票价格指数（如Standard&Poor 500 Stocks Index）来近似地代替市场证券组合，尽管这些股票价格指数非常具有代表性，但对它们进行详细地测算表明，其一般都不等于零，另外，还有一个问题（也是最大的问题），就是依照价格指数所表示的证券组合，可能不是有效证券组合，这样，以它作为参照物的证券组合，就不能保证处于最小方差集中的G点以上部分 ，因而达不到正确选择证券的目的。
综上所述，再考虑到残差相关的可能性，我们可看出Markowitz模型是准确的，但计算复杂；单指数模型可简化计算，但却是近似的。我们认为，在投资分析和决策时，应该把这两个模型结合起来使用。主要的思想就是，在对由不同性质的资产构成的组合进行分析时，可以采用Markowitz模型，因为这种投资组合通常包含的只是股票、债券、不动产等类型的资产，包含的种类并不多；而在对股票这类组合进行分析时，由于股票的种类太多，故应采用单指数模型进行分析。
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