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第五章 组合投资理论
风险与风险厌恶
组合投资理论
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学习目标
学会测度单一资产及资产组合的收益与风险，并理解风险-收益权衡、 “没有免费午餐”的理念。
掌握组合可以降低风险的基本原理和推导，知道如何构造最优投资组合；认识组合理论在实际运用中存在的限制。
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单一资产的风险与收益
风险偏好与效用函数
资产组合的风险与收益
一、风险与风险厌恶
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一、单一资产的收益与风险
（一）投资的目的和原则
1、目的：
人们进行投资的直接动机是获得收益，投资决策的目标是收益最大化。
投资者要求对放弃当前消费给予补偿。
投资收益受到许多不确定因素的影响，投资者承担了风险，同样需要补偿。
收益是投资者放弃当前消费和承担风险的补偿。
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一、单一资产的收益与风险
2、原则：
在风险既定的条件下，获得最大的收益。
在收益既定的条件下，承担最小的风险。
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一、单一资产的收益与风险
（二）单一资产的收益
1、一般投资收益率
任何一项投资的结果都可用收益率来衡量，通常收益率的计算公式为：
收益率（%）=（收入—支出）/支出×100%
投资期限一般用年来表示，如果期限不是整数，则转换为年。
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一、单一资产的收益与风险
2、期望收益率
在通常情况下，收益率受许多不确定因素的影响，因而是一个随机变量。
未来不确定因素的影响使得投资者不可能对未来一定时期内的收益率作出准确判断。
投资者可以对收益率介于某个范围(或者某个值)的可能性作出估计，得到关于收益率的某种概率分布。
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一、单一资产的收益与风险
一个例子：
W = 100
W1 = 150 Profit = 50
W2 = 80 Profit = -20
p = .6
1-p = .4
E(W) = pW1 + (1-p)W2 = 6 (150) + .4(80) = 122
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一、单一资产的收益与风险
一般地，期望收益率的计算公式为：
收益率
…
概率
…
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一、单一资产的收益与风险
（三）单一资产的风险
投资者的实际收益率与期望收益率的偏差就是风险。
可能的收益率越分散，它们与期望收益率的偏离程度就越大，投资者承担的风险也就越大。
风险的大小由未来可能收益率与期望收益率的偏离程度来反映。在数学上，这种偏离程度由方差或标准差来度量。
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一、单一资产的收益与风险
一个例子：
W = 100
W1 = 150 Profit = 50
W2 = 80 Profit = -20
p = .6
1-p = .4
E(W) = pW1 + (1-p)W2 = 6 (150) + .4(80) = 122
s2 = p[W1 - E(W)]2 + (1-p) [W2 - E(W)]2 =
.6 (150-122)2 + .4(80=122)2 = 1,176,000
s =
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一、单一资产的收益与风险
一般地，风险的计算公式为：
收益率
…
概率
…
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一、单一资产的收益与风险
比较：
W1 = 150 Profit = 50
W2 = 80 Profit = -20
p = .6
1-p = .4
100
风险资产
无风险资产
Profit = 5
E(风险资产)=22 E(无风险资产)=5
s(风险资产)= s(风险资产) =0
风险溢价 = 17
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一、单一资产的收益与风险
风险的类型：
2、性质：
系统性风险，是与市场整体运动相关联的风险；往往使整个一类或一组证券产生价格波动；通常来源于宏观因素变化对市场整体的影响；难以通过证券组合来规避。
非系统风险，只同某个具体的股票、债券相关联，而与整个市场无关的风险；通常来源于企业内部的微观因素；可以通过证券组合来规避。
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一、单一资产的收益与风险
风险的规避
分散化、套期保值与保险
对于非系统风险，可采用分散投资来弱化甚至消除。
完全分散化可以消除非系统风险，同时系统风险趋于正常的平均水平——即市场整体水平。
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二、风险偏好与效用函数
1、投机与赌博
投机是指承担一定的风险来获得相应的报酬，其目的是获得风险溢价。
赌博是指为不确定的结果打赌，其承担风险的目的是获得乐趣。
公平游戏：预期收益为零
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二、风险偏好与效用函数
2、风险偏好的类型：
风险厌恶： 要求正的风险溢价，即承担风险要求获得风险报酬。不会参与公平游戏或赌博。
风险中立：不关心风险，只以收益作为决策的依据。
风险爱好：不要求正的风险溢价，以承担风险本身来获得满足。会参与公平游戏或赌博。
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二、风险偏好与效用函数
3、效用函数：
可以用效用函数来反映收益与风险的权衡。
U = E ( r ) - .005 A s 2
E ( r ) 为期望收益； s 2为风险；
A表示投资者的风险偏好
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二、风险偏好与效用函数
风险偏好对效用的影响（参考前例）
U = E ( r ) - .005 A s 2
=22 - .005 A (34) 2
风险厌恶程度 A 效用价值
高 5
3
低 1
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二、风险偏好与效用函数
投资原则可以修改为：效用价值最大化
1
2
3
期望收益
方差或标准差
• 2 优于 1;具有更高收益
• 2 优于 3; 具有更低风险
1与3呢？
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二、风险偏好与效用函数
4、无差异曲线：
（1）、定义：
给定投资者的风险偏好，在期望收益-风险坐标图中，将具有相等效用价值的所有资产（组合）连结起来的曲线。
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二、风险偏好与效用函数
一个例子：A=4
期望收益 标准差 U=E ( r ) - .005As2
10 2
15 2
20 2
25 2
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二、风险偏好与效用函数
一条无差异曲线
期望收益
标准差
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二、风险偏好与效用函数
无差异曲线的斜率表示风险和收益之间的替代率。
斜率越高，表明投资者承担同样大的风险，会要求更高的收益补偿，说明该投资者越厌恶风险；斜率越低，表明该投资者的厌恶风险程度越低。
一般情况下，无差异曲线是向下凸的。
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二、风险偏好与效用函数
（2）无差异曲线族
期望收益
标准差
效用增加
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二、风险偏好与效用函数
任何一个资产组合都将落在某一条无差异曲线上，落在同一条无差异曲线上的组合带来相同的满意程度；落在不同无差异曲线上的组合则带来不同的满意程度。
一个组合不可能同时落在两条无差异曲线上，即任意两条无差异曲线不会相交。
位置越高的无差异曲线代表着更高的满意程度，或者说代表着更好的资产组合。
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三、资产组合的收益与风险
1、资产组合的期望收益：
组合中各种资产期望收益的加权平均值，权重为各种资产在组合中所占的比例。如两种资产的组合，
rp = W1r1 + W2r2
W1 = 资产 1 的投资比例
W2 = 资产 2 的投资比例
r1 = 资产 1 的期望收益
r2 = 资产 2 的期望收益
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三、资产组合的收益与风险
2、资产组合的风险：
不是组合中各种资产方差的加权平均，而是引入协方差的影响。如两种资产的组合，
p2 = w1212 + w2222 + 2W1W2 Cov(r1r2)
W1 = 资产 1 的投资比例
W2 = 资产 2 的投资比例
s12 = 资产 1 的方差
s22 = 资产 2 的方差
Cov(r1r2) = 资产1与资产2的协方差
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资产组合收益与风险的测定（详细介绍）
证券组合理论模型的假定
证券组合的可行域与有效边界
最优投资组合的选择
组合投资的特点
二、 证券组合理论
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马可维茨利用两个数值来衡量投资者的预期收益水平和不确定性(风险)。
①期望收益率（均值）
②收益率的方差
在此基础上建立所谓的均值--方差模型，以阐述如何通过证券组合的选择来实现收益与风险之间的最佳平衡。这就是证券组合投资理论。
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一、证券组合的收益与风险
（一）证券组合的收益
1、投资于两种证券的预期收益
投资者将资金投资于1、2两种证券，则两种证券投资组合的预期收益率等于各个证券预期收益率的加权平均值，用公式表示如下：
rp = W1r1 + W2r2
W1 = 证券 1的投资比例
W2 = 证券 2 的投资比例
r1 = 证券 1 的预期收益
r2 = 证券 2 的预期收益
W1 + W2=1
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一、证券组合的收益与风险
注意，证券组合的权重可以为负。
比如W1 ＜0，则由W1 + W2=1 得W2 =1－ W1 ＞0，表示该投资者不仅将全部资金买入2，而且还做了证券1的空头，并将所得资金也买入证券2。
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一、证券组合的收益与风险
2、投资于三种证券的预期收益
rp = W1r1 + W2r2 + W3r3
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一、证券组合的收益与风险
3、投资于多种证券的预期收益
证券投资组合的预期收益率就是组成该组合的各种证券的预期收益率的加权平均数，权数是投资于各种证券的资金占总投资额的比例，用公式表示如下：
rP=∑Wiri
E（rP）=∑Wi E（ri）
其中：rP代表证券投资组合的收益率；Wi是投资于i证券的资金占总投资额的比例或权数；ri是证券i的收益率；rP代表证券投资组合的收益率；E（ri）是证券i的预期收益率。
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一、证券组合的收益与风险
（二）证券组合的风险
1、投资于两种证券的风险
p2 = w1212 + w2222 + 2W1W2 Cov(r1r2)
W1 = 资产 1 的投资比例
W2 = 资产 2 的投资比例
s12 = 资产 1 的方差
s22 = 资产 2 的方差
Cov(r1r2) = 资产1与资产2的协方差
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一、证券组合的收益与风险
证券组合的风险不能简单地等于单个证券风险以投资比重为权数的加权平均数，因为两个证券的风险具有相互抵消的可能性。
引入了协方差和相关系数的概念。
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一、证券组合的收益与风险
协方差
表示两个随机变量之间关系的变量，它是用来确定证券投资组合收益率方差的一个关键性指标。若以1、2两种证券为例，则其协方差为：
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一、证券组合的收益与风险
COV(r1，r2)的含义：
如果COV(r1，r2) 是正值，表明证券1和证券2的收益具有相互一致的变动趋向，即一种证券的收益高于预期收益，另—种证券的收益也高于预期收益；一种证券的收益低于预期收益，另一种证券的收益也低于预期收益。
如果COV(r1，r 2) 是负值，则表明证券1和证券2的收益具有相互抵消的趋向，即一种证券的收益高于预期收益，则另一种证券的收益低于预期收益，反之亦然。
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一、证券组合的收益与风险
1,2 = 证券1、2收益率的相关系数，反映线性相关
Cov(r1r2) = 1,212
1,2 = Cov(r1r2) / 12
1 = 证券 1收益率的标准差
2 = 证券 2收益率的标准差
相关系数
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一、证券组合的收益与风险
意义：相关系数的取值范围介于—1与+1之间。
当取值为—1时，表示证券1、2的收益变动完全负相关；
当取值为+1时，表示完全正相关；
当取值为0时，表示完全不相关；
当0<ρ12 <1时，表示正相关，表明证券1、2的收益有同向变动倾向；
当—1< ρ12 <0时，表示负相关，表明证券1、2的收益有反向变动倾向。
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一、证券组合的收益与风险
σ2P = Cov(rP，rP)
= Cov(w1r1+ w2 r2,, w1r1+ w2 r2)
=w21σ21 + w22σ22 +2 w1 w2 Cov(r1，r2)
=w21σ21 + w22σ22 +2 w1 w2ρ12 σ1σ2
上式表明，相关系数会影响组合的方差或标准差
当ρ12 =1时，σP =w1σ1 + w2σ2
当ρ12 =-1时，σP =w1σ1 － w2σ2
当ρ12 =0时，σP = (w21σ21 + w22σ22 )1/2
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一、证券组合的收益与风险
影响证券组合风险的因素有：
每种证券所占比例
证券收益率的相关性
每种证券的标准差
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一、证券组合的收益与风险
2、投资于三种证券的风险
2p = W1212
+ W2212
+ 2W1W2
Cov(r1r2)
+ W3232
Cov(r1r3)
+ 2W1W3
Cov(r2r3)
+ 2W2W3
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一、证券组合的收益与风险
3、投资于多种证券的风险
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二、证券组合理论模型的假定
组合理论的假定：
1．投资者认为，每一个投资选择都代表一定持有期内预期收益的一种概率分布。
2．投资者追求单一时期的预期效用最大化，而且他们的效用曲线表明财富的边际效用递减。
3．投资者根据预期收益的变动性，估计资产组合的风险。
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二、模型的假定
4．投资者完全根据预期收益率和风险进行决策，因此，他们的效用曲线只是预期收益率和预期收益率方差(或标准差)的函数。
5．在特定的风险水平上，投资者偏好较高的收益；在一定的预期收益率水平上，投资者偏好较小的风险。
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二、证券组合理论模型的假定
关于假定的一些解释：
根据4，一种证券和证券组合的特征可以由期望收益率和标准差（或方差）来描述，如果建立一个以期望收益率为纵坐标、标准差（或方差）为横坐标的坐标系，那么任何一种证券或证券组合都可由坐标系中的一个点来表示。
根据5，当给定期望收益率时，投资者会选择标准差（或方差）最小的组合；而当给定标准差（或方差）时，投资者会选择期望收益率最高的组合。这被称为资产选择的共同偏好规则。
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三、证券组合的可行域与有效边界
根据模型的假设，任何一种证券或证券组合都可由期望收益—方差坐标系中的一个点来表示。
如果任意给定n种证券，那么所有这些证券及由这些证券构成的证券组合将在坐标平面上构成一个区域，称为可行域。
投资者共同偏好规则会导致所谓有效边界的产生（所有投资者都按均值—方差原则来进行证券组合的选择）。
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三、证券组合的可行域与有效边界
（一）证券组合的可行域（机会集）
1、两种证券组合的可行域
E(rp) = W1r1 + W2r2
p2 = w1212 + w2222 + 2W1W2 Cov(r1r2)
由上两式组成的方程组在E（rp）—σP坐标系中确定了一条经过1点和2点的曲线，这条曲线称为证券1与证券2的结合线。
由1和2构成的所有证券组合都位于这条曲线上，这条曲线就是1、2两种证券组合的可行域。
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三、证券组合的可行域与有效边界
= 1
13%
%8
E(r)
St. Dev
12%
20%
= .3
= -1
= -1
1
2
证券1和证券2的组合可行域
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三、证券组合的可行域与有效边界
证券1与证券2的结合线在一般情况下是一条双曲线。
其弯曲程度决定于这两种证券之间的相关性ρ12。结合线的弯曲程度随着ρ值的下降而加大。
ρ12 =1时为一条直线，而ρ12 =—1时成为一条折线。
如果允许卖空，则由证券1、2构成的证券组合有可能位于1、2连线的延长线上。
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三、证券组合的可行域与有效边界
2、三种证券组合的可行域
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三、证券组合的可行域与有效边界
2、三种证券组合的可行域
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三、证券组合的可行域与有效边界
给定三种证券A、B、C，那么不允许卖空时由所有可能的证券组合构成的可行域就是AB、AC、BC三条结合线围成的区域。
当允许卖空时，A、B、C三种证券对应的可行域便不再是一个有限区域，而是一个包含该有限区域的无限区域.
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三、证券组合的可行域与有效边界
2、证券组合的有效边界
（1）最小方差边界
在给定期望收益条件下，可行域中具有最小方差的组合的连线。
（2）有效边界
最小方差边界中位于最小方差组合以上的部份称为证券组合的有效边界，落在有效边界上的证券组合称为有效组合。
均值—方差原则
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三、证券组合的可行域与有效边界
证券组合的可行域与有效边界
E(r)
有效边界
最小方差组合
最小方差边界
单个资产
St. Dev.
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三、证券组合的可行域与有效边界
有效边界是一条向右上方倾斜的曲线，它反映了“高收益，高风险”的原则；
有效集是一条向上凸的曲线；
有效集曲线上不可能有凹陷的地方（凸性）
图中，单个资产位于有效边界以内，这表明，风险资产组合中只包含单一证券是无效率的，分散化投资能够带来更高的收益和更低的风险。
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证券组合有效边界的计算
图解法
组合权数图
等收益线
等方差椭圆
临界线
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四、最优投资组合的选择
根据模型的假定，所有投资者都会遵循均值—方差原则来选择证券或证券组合。
有效边界上的组合都满足均值—方差原则，因而，投资者会选择有效边界上的证券组合，即有效组合。
最优投资组合则是根据投资者的风险偏好确定出的能够带来最大效用满足的有效组合，因而，最优投资组合是由投资者的风险偏好决定，可由无差异曲线与有效边界的切点得到。
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四、最优投资组合的选择
E(r)
组合的有效边界
高风险厌恶
U’’’
U’’
U’
Q
P
S
St. Dev
低风险厌恶
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四、最优投资组合的选择
最优投资组合的存在性：
1）几何上：有效集向上凸的特性和无差异曲线向下凸的特性决定了有效集和无差异曲线的相切点只有一个，也就是说最优投资组合是惟一的。
（2）经济上：有效集是客观存在的，它是由证券市场决定的；无差异曲线则是主观的，它是由投资者的风险—收益偏好决定的。
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五、组合投资的特点
1、组合的标准差：
由于组合中的证券之间一般不会是完全正相关的，这时组合的标准差是小于标准差加权平均值的组合。
当组合中证券的数目很大时，个别证券方差的加权和将趋于零，对组合的风险不起作用；
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五、组合投资的特点
各项证券资产之间的协方差有正有负，它们会起互相对冲抵消的作用，但不会完全对冲抵消，这部分近似等于平均的协方差（即未被抵消的部分）。因而整个组合的方差就近似等于平均的协方差。
这说明组合确实能冲掉部分风险、起到降低风险，但不降低平均的预期收益率的作用。
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五、组合投资的特点
证券数量
标准差
市场风险
个别风险
分散化投资能够降低风险
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五、组合投资的特点
2、组合的风险分散：
组合中个别证券的方差是代表证券的非系统风险，通过投资组合，可以消除非系统风险。
每两种证券的协方差的加权和，反映的是对所有证券都有影响因素，即系统风险。由于系统风险存在某种“同向性”，不能由组合投资的方式来分散。
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