经济研究导刊
ECONOMICRESEARCHGUIDE总第8期
2007年第1期
,2007
固定收益证券的久期理论随着资本市场环境的
变化而不断得到发展和完善。从20世纪30年代有
学者首次提出久期(duration)的概念直至 70年代,
由于西方国家普遍存在的利率管制,利率的波动很
小,因此实务界对于能够用来衡量债券利率风险的
久期方法关注甚少,在理论上也几乎未有重大的创
新。随着20世纪80年代以来,各发达国家对市场利
率纷纷放松管制,实现利率的市场化,利率的变动开
始变得频繁而剧烈。广大投资者和实务工作者迫切
需要一种简便而又准确的工具来衡量固定收益证券
市场上的利率风险,从而能有效指导他们在市场上
的行为,规避风险。
Macaulay(1938)最先提出久期(duration)的概
念,他使用久期来衡量债券的加权平均到期时间,反
映投资者以债券利息和本金的方式最终收回初始投
资所需要的时间,即Macaulay久期。Hicks(1939)以
Macaulay久期为基础进行了一些修改,加入当期收
益率因素,建立了修正久期 (ModifiedDuration)模
型,用来度量利率每变动100个基点,债券价格的变
化百分比。其后,众多的西方学者对久期理论又进行
了不断的发展和完善。
2005年MilesLivingston和 LeiZhou共同提出
了指数久期(exponentialduration)的概念。他们认为
当市场利率上升时用修正久期和修正凸性方法来衡
量价格变动会低估债券价格的下降幅度,高估其价
格,这会误导风险规避型投资者的市场行为。而指数
久期模型得出的变动后的价格则会略低于真实价
格,避免了传统久期跟凸性高估价格的缺陷。①但是
我们看到,这一模型有一定的局限性,在于它所依赖
的是修正久期,而目前西方国家相当一部分债券是
附有可赎回或者可回售条款的,修正久期并不适用
于判断这类债券的利率敏感性。这就导致了指数久
期理论在应用时会存在与修正久期相类似的缺陷。
我们可断定,在利率上升时,指数久期会过分夸大附
有可回售条款的债券价格下跌幅度,因为对于这种
债券,其在利率上升特别是幅度较大时,具有一定的
抗下跌特性;而当利率下跌时,指数久期则会过度夸
大可赎回债券价格的上涨幅度。
正是考虑到指数久期的这一局限性,我们试图
发掘一种无论是否附有选择权 (本文指可回售和可
赎回),都能用来有效指导市场上绝大多数投资者行
为的工具,我们称之为指数有效久期。与先前由
MilesLivingston和 LeiZhou提出的指数久期的差
异在于,它的推导是建立在有效久期的基础上的,而
摘 要:指数有效久期模型是一个新的用来衡量固定收益证券市场上的利率风险的模型。它建立在有效久期的
基础之上,因而体现了附有选择权债券的价格变动情况。在利率上升时,指数有效久期是一种能够更好地被风险规
避型投资者用作测算可回售债券利率风险的工具,避免了使用指数久期所带来的过分夸大债券价格下跌幅度的缺
陷。而在利率下降时,该模型又可以部分克服指数久期过度高估可赎回债券的价格上涨幅度的缺憾。
关键词:指数有效久期;指数久期;利率风险;债券
中图分类号: 文献标志码:A 文章编号:1673-291X(2007)01-0049-04
收稿日期:2006-07-19
作者简介:钱列飞(1981-),男,江苏宜兴人,硕士研究生,从事固定收益证券投资分析研究。
钱列飞,黄玲芳
(上海对外贸易学院 金融管理学院,上海 201620)
指数有效久期模型的建立及分析
一、引论
二、研究背景
①详细论述请参见 MilesLivingston, LeiZhou, ″Exponentialdurationamoreaccurateestimationofinterestraterisk″,
JournalofFinancialResearch,2005.
49— —
不是修正久期。而根据前人已有结论,对于普通债
券,有效久期与修正久期的结论十分一致,①而当衡
量的是附有选择权的债券的价格敏感性时,它就显
示出自身独特的解释力上的优势。所以,指数有效久
期从某种意义上来说是指数久期的修正。在本文中,
我们主要讨论固定利率债券价格的利率敏感性。
有学者指出,债券价格的对数形式能够更好地
用来衡量市场利率变动时债券价格变动的情况
(Bierwag,Kaufman及 Latta19884 Campbell,Lo及
MacKinlay1997;Crack和Nawalkha2001)。鉴于此,
我们可首先对lnP求关于y的导数:
(1)dlnP
dy
=1
P
dP
dy
我们需要假设可回售和可赎回这两个条款不同
时出现在一个债券上,而且在现行的市场利率或者
说收益率的水平上,利率一旦开始变动就会呈现出
可赎回或可回售的特性,在债券价格曲线的图形上
表示为:利率上升时,曲线较无可回售选择权时要平
坦;利率下降时,曲线会出现负凸性。
我们先来分析附有可回售条款的债券的情况,
这时需要dy>0。因为债券价格与市场利率是呈反向
变动关系的:利率 y上升时,市场价格 P下跌,即
dP<0。我们现在用
P+-P-
2
近似地表示在市场利率上
升时,债券价格变动的幅度dP。其中P-和P+分别是
市场利率下跌和上升相同基点时债券的价格水平。
利率变化越小,这一近似值就越接近真实变动情况,
这是由债券价格曲线的凸性决定的。
于是我们可得:
(2) dlnP
dy
=1
P
J dP
dy
=1
P
J P+-P-
2
! "dy=-1
P
J
P+-P-
2
! "dy=-P--P+
2P,dy
用De来表示有效久期,因为De=
P--P+
2P,dy
②,所以
我们有,当dy>0时,
(3)dlnP
dy
=-De
现在用△lnP近似地表示 dlnP,用△y来表示
dy,那么就有
(4)△lnP=-De,△y,
而上式又可通过△lnP=lnP1-lnP进一步转化为
(5)lnP1-lnP=-De,△y,其中 P1是市场利率变动
后的价格(在这里,利率上升),P是初始价格。接着
我们可改写成:
(6)lnP1
P
=-De,△y,
那么经过一定的数学转换我们可得到以下两式:
(7)P1=P,e-De△y②
(8)%△P=(e-De△y-1)J100。
以上(7)(8)就是我们提出的在利率上升时,可
以解释附有可回售条款时债券利率敏感性的模型。
因为它是建立在有效久期的基础之上,所以我们称
之为指数有效久期。
现在我们来分析附有可赎回条款的债券的情
况,这时需要dy<0。跟前面的推导过程相类似,我们
简化其过程如下:
dlnP
dy
=1
P
J dP
dy
=-1
P
J P--P+
2
! "(-dy)=-
P--P+
2PJ(-dy)=-De
那么市场利率 y变动后的价格 P1=P,e-De△y,价
格的变动百分比%△P=(e-De△y-1)J100。我们可以看
到,分别考察可赎回和可回售债券价格敏感性时的
模型是一致的。
这里需要提示的是,指数有效久期模型的形式
与 MilesLivingston和 LeiZhou的指数久期模型十
分类似,③其差别或者说优势在于有效久期De的引
入。而且根据已知理论,在不存在可回售和可赎回条
款时Dm与De近似,因此指数有效久期具有与指数
久期跟传统的修正久期和凸性相比相同的优点;而
当存在这些条款时,由于Dm与De解释力的不同导
致的差异,使得指数有效久期要优于指数久期。
下面我们先来证明在附有可回售条款时,指数
有效久期更适合于投资者用来衡量市场利率变动的
风险。
三、指数有效久期模型
四、关于指数有效久期模型适用性的论证
①具体内容可参见 ″FixedIncomeAnalysisfortheCharteredFinancialAnalyst] Program,2ndedition″
p163.
②国内外很多论述固定收益证券利率风险的书籍都有关于这个公式的具体介绍。国内论著可参见类承曜,2005,《固定收
益证券》中国人民大学出版社,p105.
③MilesLivingston和LeiZhou在其″Exponentialdurationamoreaccurateestimationofinterestraterisk″一文中提出的指
数久期模型为:%△P=(e-De△y-1)J100.
50— —
①这是由于在附有可回售条款时,利率上升相同基点导致的债券价格下跌幅度要小于不可回售债券的价格变化,而这种
价格变动的敏感性是由久期来衡量的,久期越大,敏感性就大。
注:! 可回售债券市场价格使用的是模拟值,但并不影响结论的普遍适用性。可以证明只要这一系列值高于其他条件相同
但未附有可回售条款债券的市场价格,那么我们的结论一定成立。
由于当附有可回售条款时,债券价格相对于利
率在图形上呈现正凸性的性质,也就是说利率上升
时债券价格下降的幅度要小于利率下降相同基点时
债券价格上升的幅度。所以-
P--P+
2
夸大了利率上升
时价格下降的幅度,而根据dlnP
dy
=1
P
%dP
dy
=-1
P
%
P--P+
2
! "dy=-P--P+
2P(dy=-De
我们可知该公式夸大
了。当利率变动很小时,譬如说只有10个基点或者
更小,那么这种夸大几乎微不足道,而如果利率变动
100个基点或者更多时,这种夸大就会突显出来,并
且随着利率变动的不断增大,这种差异也会不断增
加,因此有 1Pexponential#P+,其中 P+为利率上升后
可回售债券的实际价格。所以根据指数有效久期计
算得出的价格会低于变动后的真实的债券价格。
现在我们需要比较在利率上升情况下分别使用
指数有效久期与指数久期模型得出的可回售债券价
格的变动情况。
在dy>0的情况下,因为修正久期Dm在数值上不
小于有效久期De①,所以由单调性得P(e-De△y%P(e-De△y,
即使用指数有效久期测算出的价格要大于使用指数
久期得出的价格。
综上,我们的结论是,虽然MilesLivingston和Lei
Zhou的指数久期高估债券价格下降幅度的特性相对
于风险规避型投资者来说不失为一个有效的工具,但
是其未能体现附有选择权债券的特性。而我们知道,
在市场利率上升时,可回售债券的价格具有抗下跌
性,而有效久期模型过分夸大了债券的下跌幅度,如
果投资者使用这一模型来指导自己的市场操作,可能
会引起债券市场上的过度恐慌,造成市场动荡。而指
数有效久期可以有效地避免这种情况的发生,因为它
所依赖的有效久期,本身就是作为一种可以用来衡量
附有选择权的债券价格变动的敏感性工具。根据我们
前面的证明,使用指数有效久期将不会过度夸大债券
价格下跌的幅度 (我们将在后文举例进行进一步阐
述),所以说,当内置可回售选择权时,指数有效久期
将优于指数久期。而如果债券无任何选择权,那么根
据已知理论(修正久期十分近似有效久期),指数有效
久期的效果将与指数久期趋于一致。
现在假设有一只10年期,票面利率为8%,半年
付一次息,面值为1000元的附有可回售条款的债
券,目前市场利率也为8%。表1列出了在利率变动不
同基点时分别使用指数久期和指数有效久期模型得
到的价格以及市场价格的情况。其中第一纵列是在利
率变动不同基点后的市场利率情况。最后两列是分别
使用指数久期模型和指数有效久期模型得出的可回
售债券的价格。而市场价格的计算使用《中国人民银
行关于全国银行间债券市场债券到期收益率计算有
关事项的通知》(银发[2004]116号)上载明的对不处于
最后付息周期的固定利率债券的定价公式:
PV= Cf
(1+yf) d
(365f)
+ Cf
(1+yf) d
(365f)
+1
+
Λ + Cf
(1+yf) d
(365f)
+n-1
+
M
(1+yf) d
(365f)
+n-1
其中 PV代表债券全价,C代表票面年利息,
代表年付息频率,f代表到期收益率,y代表债券结
算日至下一最近付息日的实际天数,n代表结算日
至到期兑付日的债券付息次数,M代表债券面值。
((De=
P--P+
2P(dy
表1 指数有效久期模型与指数久期模型在实例中的比较(可回售债券)
市场价格
(无选择权)
1000
可回售债券的市场价
格 N(模拟值)
1000
994
990
978
960
930
DENN
(可回售)
指数有效久期
价格
市场利率 DENN 指数久期价格
51— —
通过比较表 1的第 3、6、7列发现,我们的指数
有效久期模型算得的价格会低估可回售债券的市
场价格,但会高于指数久期估算的价格。也就是说,
使用指数久期会过度低估债券的价格。这一点也可
从与表1相对应的表2的低估水平 (用小数表示)
来获得证实。
我们发现在市场利率变动很小的基点 (如 5、
10)指数久期和指数有效久期模型的低估水平趋近
0,差异不是很大。但当利率变动较大,如 100个基
点,200个基点时,指数久期过分夸大的“特性”就暴
露出来了,较指数有效久期夸大降幅达 70%以上。
所以说,在附有可回售条款时,指数有效久期更适
合作为一种被市场参与者,特别是风险规避者指导
其行为的工具。
对于可赎回债券,市场利率下降时指数有效久
期与指数久期一样都存在着高估债券价格的现象,
但是值得说明的是指数有效久期更趋近于指数久
期。所以在考察可赎回债券的利率敏感性时,指数
有效久期仍然优于指数久期。
另外需要指出的是,根据前人理论,有效久期
与有效凸性一起能很准确地来衡量债券价格的真
实情况,那么似乎指数有效久期在此变得毫无意
义。但是我们在此必须重申,指数有效久期模型提
供了一种能够更便捷和迅速地估测出债券价格变
动率的方法,因为我们无须再去计算复杂的有效凸
性 Ce,只需知道 De,再取幂 e就可以了解债券的价
格变动情况了,而且又不会像修正久期和修正凸性
那样在市场利率上升时误导市场参与者的投资行
为,损害投资者的利益。
我们提出并阐述了指数有效久期模型的基本思
想,并且通过一系列论证和比较最终认为它是一种更
适合于风险规避型投资者用来揭示固定收益证券市
场上各种资产利率风险的有效方法。这一模型主要有
以下几个优点:第一,在衡量无选择权的债券的利率
风险时,具有与指数久期一样避免了传统的修正久期
和凸性方法在衡量利率上升时高估债券价格的长处;
第二,克服了指数久期不能用来很好地揭示附有选择
权债券的利率风险的缺陷,避免了过分夸大可回售债
券价格的下跌幅度以及可赎回债券的上涨幅度。特别
是在解释可回售债券利率敏感性问题上,具有其独特
的优势,可以有效防止过度低估价格而造成的市场恐
慌和抛售行为;第三,可以免去计算繁杂的有效凸性,
因为指数有效久期模型的提出使得我们只要取e的
(-De-Δy)次方就可以了,计算简单,而且又与真实值
十分近似。所以,基于以上的论述,我们认为,指数有
效久期模型凭借其自身的优势,一定会在实践中得到
风险规避型投资者的广泛运用。
参考文献:
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[2]Bierwag,GOandKaufman,GG,″Durationsofnon-default-freesecurities,″FinancialAnalystsJournal,,1988.
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1997.
[5]MarkTaranto,″DurationMeasures:HistoricalPerspective″,October1995.
[6]EliseoNavarro,JuanMNave,″Atwo-factordurationmodelforinterestrateriskmanagement″,1997.
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[8].债券组合管理[M].骆玉鼎,高玉泽,等,译.上海:上海财经大学出版社,2004.
[8]E.菲亚博.债券及债券基金精要:第二版[M].李扬,等,译.北京:经济管理出版社,2004.
五、结论
市场利率
可回售债券的市场价格
(模拟值)
1000
994
990
978
960
930
指数久期价格
指数有效久期
价格
指数久期
低估水平
指数有效久期
低估水平
表2
[责任编辑 孙莉艳]
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