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集装箱船舶配载与装船作业协同优化研究
边展*
（首都经济贸易大学工商管理学院，北京 100070）
5
作者简介：边展（1990-），女，讲师，主要研究方向：物流系统优化. E-mail: bianzhan1990@
摘要：集装箱船舶配载计划与装船作业是集装箱运输过程中的两大关键环节，将其合并优化
将有效提升码头的作业效率。以合并后装船翻箱量最少为目标，首先以网络图呈现集装箱在
箱区与集卡间的移动过程，其次运用线性约束描述流量守恒与流动规则，以模拟翻箱与配载
作业，最后运用数学规划软件 Cplex实现分支定界算法进行求解，通过数值实验验证了模型
的有效性。 10
关键词：物流系统管理；集装箱；翻箱；配载约束；网络图；整数规划
中图分类号：U691
Simultaneous optimization on container loading and
relocation problem 15
BIAN Zhan
(Capital University of Economics and Business, College of Business Administration,Beijing
100070)
Abstract: The stowage plan and loading operation are two key aspects during container transportation
and the combination of two processes will effectively enhance the operation efficiency of the terminal. 20
To minimize the amount of relocations of the combined problem, firstly a network diagram is proposed
to show the moving process of containers between storage areas and trucks, secondly linear constraints
are used to describe the flow conservation and liquidity rules to simulate relocation and stowage
operations, and finally the mathematical programming software Cplex is used to achieve the branch
and bound algorithm to solve the problem. Numerical experiments verified the validity of the model. 25
Key words: logistics system management; container; relocation; stowage constraints; network diagram;
integer programming
0 引言 30
集装箱码头作业计划包括指泊计划，堆场计划及配载计划等。指泊计划排定船只入港的
时间与停靠泊位，堆场计划将集装箱堆放在适当的位置，船舶靠港后，运用配载计划所得的
结果，将集装箱搬移至目的舱位。其中，配载计划是码头作业流程的核心。完整的配载作业
系统除了排定出口箱的箱位之外，还需控制场桥、集卡在堆场内的运行，旨在提升设备效率，
减少翻箱数量。船舶配载的结果制约集装箱装船顺序，装船顺序决定了翻箱数量，翻箱数量35
又影响装船效率，最终影响船舶在港时间。因此，为缩短船舶在港时间，提高码头的利用率，
需对配载环节进行优化，而由于其与其他环节的密切联系，有必要将其与其他环节一并考虑，
从而达到更显著的优化效果。
针对船舶配载问题，Avriel等[1]分析了配载问题的复杂度，并提出了制定堆场计划与解
决翻箱问题的方法。Wilson等[2]考虑了出口集装箱的尺寸和种类，结合集装箱船舶箱位布局40
图，设计了船舶配载计划系统，但系统中考虑的约束条件有限。Steenken等[3]基于给定的船
舶配载计划，优化集装箱装卸及运输顺序以减少岸桥的等待时间。Imai等[4]考虑了集装箱船
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舶的稳性与翻箱次数，建立了线性规划模型。Ambrosino等[5]运用线性规划的方法，描述了
集装箱堆存及配载的堆垛原则，进而又以最小化卸船时间为目标，提出了船舶配载的三阶段
优化方法[6]。Scimachen和 Tanfani[7]将船舶配载问题转化为三维装箱问题，以最小化装船时45
间与最大化岸桥利用率为目标，运用启发式算法进行求解。张维英等[8,9]研究了集装箱船在
一个航次中挂靠多个港口的问题，提出了混合贝位的排箱模型，但是忽略了集装箱尺寸等属
性信息。靳志宏，姜彦宁等[10,11]研究了滚装船配载问题，考虑了船舶稳性、车辆性质等多种
现实约束。
针对装船过程中的堆场翻箱问题，Kim[12]根据集装箱在堆场中的位置，提出了计算翻箱50
数期望值的方法。Kim和 Bae[13]研究了如何以较少的翻箱数量及较短的龙门吊行走距离，使
堆场由初始堆存状态转化为理想堆存状态，但由于文中算法求解时间过长而缺乏实用性。
Kim 等[14]以最小化装船时的翻箱量为目标，建立了考虑集装箱重量等级从而确定集装箱在
堆场堆存位置的模型，利用动态规划和决策树方法进行求解。Kozan[15]分析了港口的作业流
程，运用网络模型描述了集装箱在箱位与搬移机械间的传递。Zhang等[16]研究了进出口集装55
箱及中转箱在堆场中的操作流程，得出了三种集装箱的最优箱位分配原则。Lee 和 Hsu[17]
以最小化预倒过程中的翻箱量为目标，建立基于网络的整数规划模型，运用启发式方法对翻
箱路径进行了优化。靳志宏，边展等[18,19]以堆场作业过程中翻箱量最少为目标，建立集装箱
装船顺序优化模型，分别运用启发式算法与动态规划进行求解。
目前同时考虑船舶配载与装船翻箱的研究甚少，Imai 等[20]以保持船舶稳性与减少翻箱60
数为目标，建立了整数规划模型，并通过堆垛及翻箱规则约束求得可行解，但由于设定的“由
两弦至中央”舱位装箱顺序在实际作业过程中极少运用，故实用性不强。理论上码头应在满
足船舶配载约束的前提下，配合堆场堆存状态，使装船过程中集装箱的搬移次数最少，以达
到缩短船舶在港作业的目的。而实务中“经验配载”通常无法充分考虑堆场内集装箱的堆存状
态。为解决这一问题，本研究将同时考虑装船计划与船舶配载计划，开发一套结合翻箱与配65
载作业流程的数学模型，求得满足配载约束条件下翻箱数最少的装船方案。
1 问题描述与建模
问题描述
当集装箱船舶靠港、进口箱卸船完毕，即是执行配载计划的起点，此时堆场与船上的集
装箱的排列状态称为初始状态。箱管人员依照集装箱的目的港、尺寸、重量等特征分配箱位，70
考虑减少翻箱次数与维持船舶平衡，完成配载作业，此时堆场与船舶中集装箱的排列状态，
称为末终状态。本研究问题可归纳为：已知集装箱堆场的初始状态，配载人员考虑集装箱的
尺寸、目的港、重量等因素，规划适当的装船步骤，将集装箱配载至适当的箱位。目标是运
用最少的翻箱次数，达到满足配载限制的末终状态。
根据该问题的特点，可将其归类为多元商品流量问题[17]，也即视每个集装箱为一种商75
品，以时间-空间网络为基础，基于时间离散化的假设条件，将集装箱在不同时间点的位置
表示出来，若将每一种商品的流动范围视为一层网络，则规划期内一层网络的结构可表示为
图 1。其中，初始时间点为 1，末终时间点为 endT ，其余时间点均是 1至 endT 的连续整数；yard，
deck，hold 分别表示堆场、船舶甲板与船舱内三大箱区，truck 代表集卡组。各节点代表堆
场及船舶可堆存集装箱的位置；每条弧表示集装箱在堆存区域可供搬移或堆存的机会，序号80
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1~9分别代表向上弧、向下弧、内部弧、静态弧、翻箱弧、指派弧、装船弧、源弧及终弧。
图 2、图 3则分别以网络图和实际作业图两种方式刻画了四个编号不同的集装箱在五个
时间点的状态。
85
图 1 网络图结构示意图
Fig. 1 Illustration of the network model
图 2 网络图实例示意图 90
Fig. 2 Illustration of a model and a feasible solution
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图 3 实际作业实例示意图
Fig. 3 The layouts of the yard and ship corresponding to Fig. 2
95
参数及变量说明
箱区中箱位用箱区类型 z、贝编号 i、列编号 j及层编号 k表示，记为 ( ), , ,z i j k ，其中，
编号均为由 1 开始的连续整数。箱区 z中所有贝组成的集合以 ( ) ( ){ }11, 2,...,Bay z f z= 表示，
其中 ( )1f z 为箱区 z 中贝的最大编号；箱区 z 的第 i 贝所有列组成的集合以
( ) ( ){ }2, 1, 2,..., ,Row z i f z i= 表示，其中 ( )2 ,f z i 为箱区 z的第 i贝中列的最大编号；箱区 z的第 i100
贝的第 j列所有层组成的集合以 ( ) ( ){ }3, , 1,2,..., , ,Tier z i j f z i j= 表示，其中 ( )3 , ,f z i j 为箱区 z
的第 i 贝的第 j列中层的最大编号。集卡上箱位用 ( ),truck n 表示，其中 n为集卡编号，
n Ntruck∈ 。建模涉及的参数、变量及其含义分别如表 1、表 2所示。
表 1 参数及其含义 105
Tab. 1 Definitions of parameters and sets
参数 含义
C 出口集装箱的集合
20C 20尺集装箱的集合
40C 40尺集装箱的集合
rC 冷藏箱的集合
hC 危险品集装箱的集合
cW
集装箱 c的实际重量
deckW 集装箱船舶的甲板许用负荷量
holdW 集装箱船舶的舱内许用负荷量
cOH 集装箱 c高出普通箱的尺寸
( ), ,z i jOH ( ), ,z i j 允许最大超高高度
cD 集装箱 c的目的港编号，由航线挂靠港数量，以由 1开始的连续整数表示
ODD 奇数的集合
EVEN 偶数的集合
( ), , ,z i j kPOW 若 ( ), , ,z i j k 有供电系统，则 ( ), , , 1z i j kPOW = ，否则为 0
( ), , ,z i j kSAFE 若 ( ), , ,z i j k 能够存放危险品箱，则 ( ), , , 1z i j kSAFE = ，否则为 0
( ), , ,
c
z i j kSUPPLY 若初始状态 ( ), , ,z i j k 存在集装箱 c，则 ( ), , , 1cz i j kSUPPLY = ，否则为 0
( ),
c
truck nSUPPLY 若初始状态 ( ),truck n 存在集装箱 c，则 ( ), 1ctruck nSUPPLY = ，否则为 0
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表 2 变量及其含义
Tab. 2 Definitions of decision variables
变量 含义
( ), , ,
ct
yard i j ku 在时间点 t ，若集装箱 c由 ( ), , ,yard i j k 向上移动一个箱位，则为 1，否则为 0
( ), , ,
ct
z i j kd 在时间点 t ，若集装箱 c由 ( ), , ,z i j k 向下移动一个箱位，则为 1，否则为 0
( ), , ,
ct
z i j ki 在时间点 t ，若集装箱 c位于 ( ), , ,z i j k ，则为 1，否则为 0
( ),
ct
truck ni 在时间点 t ，若集装箱 c位于 ( ),truck n ，则为 1，否则为 0
( ), , ,
ct
z i j ko 在时间间隔 t ，若集装箱 c停留在 ( ), , ,z i j k ，则为 1，否则为 0
( ),
ct
truck no 在时间间隔 t ，若集装箱 c停留在 ( ),truck n ，则为 1，否则为 0
( )
( ), , ,
, , ,
yard i j kct
yard p q rr 在时间间隔 t ，若集装箱 c由 ( ), ,yard i j 移至 ( ), ,yard p q ，则为 1，否则为 0
( )
( ), , ,
,
yard i j kct
truck na 在时间间隔 t ，若集装箱 c由 ( ), ,yard i j 移至 ( ),truck n ，则为 1，否则为 0
( )
( ),
, , ,
truck nct
z i j kl 在时间间隔 t ，若集装箱 c由 ( ),truck n 移至 ( ), , ,z i j k ，则为 1，否则为 0
( ), , ,
c
z i j ksp 在初始状态时，若集装箱 c位于 ( ), , ,z i j k ，则为 1，否则为 0
( ),
c
truck nsp 在初始状态时，若集装箱 c位于 ( ),truck n ，则为 1，否则为 0
( ), , ,
c
z i j kdm 在末终状态时，若集装箱 c位于 ( ), , ,z i j k ，则为 1，否则为 0
( ),
c
truck ndm 在末终状态时，若集装箱 c位于 ( ),truck n ，则为 1，否则为 0
数学模型 110
目标函数：最小化装船过程中的翻箱量。
( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ){ } 3 3
, , ,
, , ,
\ , , , , , , , , , , ,end
yard i j kct
yard p q r
c C t T T i Bay yard j Row yard i k f yard i j p Bay yard q Row yard i r f yard p q i p or j q
Min r
∈ ∈ ∈ ∈ = ∈ ∈ = ≠ ≠
（1）
约束条件可划分为以下四部分内容。
状态与流量约束
此部分约束条件包括网络图的始末状态、节点流量与弧流量约束。 115
式（2）~（3）表示网络的初始状态；式（4）~式（5）表示网络末终状态：式（4）表
示集卡上没有集装箱，式（5）表示末终状态下堆场中没有出口箱集装箱堆放。
( ) ( ), , , , , ,
c c
z i j k z i j ksp SUPPLY=
{ }, ,z yard deck hold∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ), ,k Tier z i j∈ , c C∈ . （2）
( ) ( ), ,
c c
truck n truck nsp SUPPLY= n Ntruck∈ , c C∈ . （3） 120
( ), 0
c
truck n
c C
dm
∈
= n Ntruck∈ . （4）
( ), , , 0
c
yard i j k
c C
dm
∈
= ( )i Bay yard∈ , ( ),j Row yard i∈ , ( ), ,k Tier yard i j∈ . （5）
在网络图中，节点的流量守恒，也即节点的流入量等于流出量。式（6）~（9）表示源
节点与终节点的性质。式（6）~（7）表示源节点流出量与时间点为 1时内部弧的流量守恒。
式（8）~（9）表示终节点流入量与最终时刻内部弧的流量守恒。式（10）~（14）表示入125
节点流量守恒。式（10）表示堆场与船舶最底层入节点流量守恒。式（11）表示堆场与船舶
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除最顶层与最底层以外的其他入节点流量守恒。式（12）表示堆场的顶层入节点流量守恒。
式（13）表示船上的顶层入节点流量守恒。式（14）表示集卡的入节点流量守恒。式（15）
~（19）表示出节点流量守恒。式（15）表示堆场的底层出节点流量守恒。式（16）表示堆
场除最顶层与最底层以外的出节点流量守恒。式（17）表示堆场的顶层出节点流量守恒。式130
（18）表示船上的顶层出节点流量守恒。式（19）表示集卡的出节点流量守恒。
( ) ( )
1
, , , , , ,
c c
z i j k z i j ksp i=
{ }, ,z yard deck hold∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ), ,k Tier z i j∈ , c C∈ . （6）
( ) ( )
1
, ,
c c
truck n truck nsp i= n Ntruck∈ , c C∈ . （7）
( ) ( ), , , , , ,
endcTc
z i j k z i j kdm i= 135
{ }, ,z yard deck hold∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ), ,k Tier z i j∈ , c C∈ . （8）
( ) ( ), ,
endcTc
truck n truck ndm i= n Ntruck∈ , c C∈ . （9）
( )
( )
( ) ( )
1
, , ,1 , , ,2 , , ,1
c t ct ct
z i j z i j z i jo d i
− + = { }, ,z yard deck hold∈ , ( )i Bay z∈ ,
( ),j Row z i∈ , ( ), ,k Tier z i j∈ , c C∈ , { }\ 1t T∈ . （10）
( )
( )
( ) ( ) ( )
1
, , , , , , 1 , , , , , ,
c t ct ct ct
z i j k z i j k z i j k z i j ko d d i
−
++ = + { }, ,z yard deck hold∈ , 140
( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ) ( ){ }3, , \ 1, , ,k Tier z i j f z i j∈ , c C∈ , { }\ 1t T∈ . （11）
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
1 1 , , ,
, , , , , , , , , , , ,
, , , , , ,
c t c t yard i j k ct ct
yard p q r yard p q r yard p q r yard p q r
i Bay yard j Row yard i k f yard i j i p or j q
o r d i− −
∈ ∈ = ≠ ≠
+ = +
( )p Bay yard∈ , ( ),q Row yard i∈ , ( )3 , ,r f yard i j= , c C∈ , { }\ 1t T∈ . （12）
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
,1 1
, , , , , , , , ,
, , ,
truck nc t c t ct ct
z i j k z i j k z i j k
n Ntruck z i j k
o l d i− −
∈
+ = +
{ },z deck hold∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( )3 , ,k f z i j= , c C∈ , { }\ 1t T∈ . （13） 145
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
3
, , ,1 1
, ,
, , , , , ,
yard i j kc t c t ct
truck n truck n
i Bay yard j Row yard i k f yard i j truck n
o a i− −
∈ ∈ =
+ =
n Ntruck∈ , c C∈ , { }\ 1t T∈ . （14）
( ) ( ) ( ), , ,1 , , ,1 , , ,1
ct ct ct
yard i j yard i j yard i ji u o= +
( )i Bay yard∈ , ( ),j Row yard i∈ , c C∈ , { }\ endt T T∈ . （15）
( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , 1 , , , , , ,
ct ct ct ct
yard i j k yard i j k yard i j k yard i j ki u u o−+ = + ( )i Bay yard∈ , 150
( ),j Row yard i∈ , ( ) ( ){ }3, , \ 1, , ,k Tire yard i j f z i j∈ , c C∈ , { }\ endt T T∈ . （16）
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )3
, , ,
, , , , , , 1 , , , , , ,
, , , , , ,
yard i j kct ct ct ct
yard i j k yard i j k yard i j k yard p q r
p Bay yard q Row yard i r f yard p q i p or j q
i u o r
−
∈ ∈ = ≠ ≠
+ = +
( )i Bay yard∈ , ( ),j Row yard i∈ , ( )3 , ,k f yard i j= , c C∈ , { }\ endt T T∈ . （17）
( ) ( ), , , , , ,
ct ct
z i j k z i j ki o=
{ },z deck hold∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ), ,k Tier z i j∈ , c C∈ , { }\ endt T T∈ . （18） 155
( ) ( )
{ } ( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
,
, ,
, , , , , , , , , ,
truck nct ct ct
truck n truck n
z deck hold i Bay z j Row z i k f z i j z i j k
i o l
∈ ∈ ∈ =
= +
n Ntruck∈ , c C∈ , { }\ endt T T∈ . （19）
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式（20）~（28）表示所有弧至多允许一个单位流量通过，也即每条弧至多承载一个集
装箱。
( ), , , 1
ct
yard i j k
c C
u
∈
≤ 160
( )i Bay yard∈ , ( ),j Row yard i∈ , ( ) ( ){ }3, , \ , ,k Tier yard i j f yard i j∈ , t T∈ . （20）
( ), , , 1
ct
z i j k
c C
d
∈
≤
{ }, ,z yard deck hold∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ) { }, , \ 1k Tier z i j∈ , { }\ 1t T∈ . （21）
( ), , , 1
ct
z i j k
c C
i
∈
≤
{ }, ,z yard deck hold∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ), ,k Tier z i j∈ , t T∈ . （22） 165
( ), 1
ct
truck n
c C
i
∈
≤ n Ntruck∈ , t T∈ . （23）
( ), , , 1
ct
z i j k
c C
o
∈
≤
{ }, ,z yard deck hold∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ), ,k Tier z i j∈ , { }\ endt T T∈ . （24）
( ), 1
ct
truck n
c C
o
∈
≤ n Ntruck∈ , { }\ endt T T∈ . （25）
( )
( ), , ,
, , , 1
yard i j kct
yard p q r
c C
r
∈
≤ 170
( )i Bay yard∈ , ( ),j Row yard i∈ , ( )3 , ,k f yard i j= , { }\ endt T T∈ . （26）
( )
( ), , ,
, 1
yard i j kct
truck n
c C
a
∈
≤
( )i Bay yard∈ , ( ),j Row yard i∈ , ( )3 , ,k f yard i j= , n Ntruck∈ , { }\ endt T T∈ . （27）
( )
( ),
, , , 1
truck nct
z i j k
c C
l
∈
≤ { }, ,z yard deck hold∈ ,
( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( )3 , ,k f z i j= , n Ntruck∈ , { }\ endt T T∈ . （28） 175
堆存与搬移约束
此部分为集装箱堆存与搬移的相关约束。
式（29）表示集装箱堆存在箱位中，不会出现悬空的情况。式（30）~（33）表示集装
箱堆存原则。式（30）表示 20尺集装箱不能堆放在贝编号为偶数的箱位中。式（31）表示
40尺集装箱不能堆放在贝编号为奇数的箱位中。式（32）表示 40尺集装箱所跨越的两个奇180
数贝上，不能存在 20 尺箱。式（33）表示 40 尺集装箱两侧的两个偶数贝上，不能存在 40
尺箱。式（34）~（36）表示特殊集装箱的堆放位置约束：式（34）表示冷藏集装箱应堆放
在有电源的箱位上，式（35）表示危险品集装箱也应堆放在特定的箱位中，式（36）表示超
高箱的超高限制。
( ) ( ), , , , , , 1
ct ct
z i j k z i j k
c C c C
i i +
∈ ∈
≥ { }, ,z yard deck hold∈ , 185
( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ) ( ){ }3, , \ , ,k Tier z i j f z i j∈ , t T∈ . （29）
( ), , , 0
ct
z i j ki = { }, ,z yard deck hold∈ ,
( )i Bay z EVEN∈ ∩ , ( ),j Row z i∈ , ( ), ,k Tier z i j∈ , 20c C∈ , t T∈ . （30）
( ), , , 0
ct
z i j ki = { }, ,z yard deck hold∈ ,
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( )i Bay z ODD∈ ∩ , ( ),j Row z i∈ , ( ), ,k Tier z i j∈ , 40c C∈ , t T∈ . （31） 190
( ) ( )1 2, , , , , , 1
c t c t
z i j k z i j ki i α++ ≤ { }, ,z yard deck hold∈ , ( )i Bay z EVEN∈ ∩ ,
( ),j Row z i∈ , ( ), ,k Tier z i j∈ , { }1,1α ∈ − , 1 40c C∈ , 2 20c C∈ , t T∈ . （32）
( ) ( )1 2, , , , , , 1
c t c t
z i j k z i j ki i β++ ≤ { }, ,z yard deck hold∈ , ( )i Bay z EVEN∈ ∩ ,
( ),j Row z i∈ , ( ), ,k Tier z i j∈ , { }2,2β ∈ − , 1 40c C∈ , 2 40c C∈ , t T∈ . （33）
( ) ( ), , , , , ,
r
c
z i j k z i j k
c C
dm POW
∈
≤ 195
{ }, ,z yard deck hold∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ), ,k Tier z i j∈ . （34）
( ) ( ), , , , , ,
h
c
z i j k z i j k
c C
dm SAFE
∈
≤
{ },z deck hold∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ), ,k Tier z i j∈ . （35）
( ) ( ) ( )
, , , , ,
, , ,
c
c z i j k z i j
z i j k c C
OH dm OH
∈
× ≤
{ },z deck hold∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ), ,k Tier z i j∈ . （36） 200
式（37）表示堆场中非顶层的集装箱必须通过向上移动以离开原所在列。式（38）表示
若要搬移堆场中的某一集装箱，则须将其上层的集装箱搬离。式（39）与式（40）表示在一
个时间间隔内，堆场与船上的任一列至多允许一个集装箱移入。
( ) ( ), , , , , , 1
ct ct
yard i j k yard i j ku u +≤ ( )i Bay yard∈ , ( ),j Row yard i∈ ,
( ) ( ) ( ){ }3 3, , \ , , 1, , ,k Tier yard i j f yard i j f yard i j∈ − , c C∈ , t T∈ . （37） 205
( ) ( ), , , 1 , , , 1
ct ct
yard i j k yard i j k
c C c C
i u+
∈ ∈
+ ≤ ( )i Bay yard∈ ,
( ),j Row yard i∈ , ( ) ( ){ }3, , \ , ,k Tier yard i j f yard i j∈ , { }\ endt T T∈ . （38）
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )3
1 1 , , ,
, , , , , ,
, , , , , ,
1c t c t yard p q ryard i j k yard i j k
c C c C p Bay yard q Row yard i r f yard i j i p or j q
o r− −
∈ ∈ ∈ ∈ = ≠ ≠
+ ≤
( )i Bay yard∈ , ( ),j Row yard i∈ , ( )3 , ,k f yard i j= , { }\ 1t T∈ . （39）
( )
( ) ( )
( )
( )1 1 ,
, , , , , , 1
c t c t truck n
z i j k z i j k
c C c C n Ntruck
o l− −
∈ ∈ ∈
+ ≤ 210
{ },z deck hold∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( )3 , ,k f z i j= , { }\ 1t T∈ . （40）
配载约束
此部分包括舱盖板开闭及配载相关约束。
式（41）~（44）表示舱盖板作业约束。式（41）表示当舱盖板为盖上状态时，集装箱
不能由集卡移至舱底。式（42）表示当舱盖板为打开状态时，集装箱不能堆放在甲板上。式215
（43）表示当舱盖板为打开状态时，集装箱由集卡移至甲板。式（44）表示舱盖板一旦盖上，
将不再打开。
( )
( )
( )1 ,
, , , 1
c t truck n
thold i j kl deck
− + ≤
( )i Bay hold∈ , ( ),j Row hold i∈ , ( )3 , ,k f z i j= , c C∈ , { }\ 1t T∈ . （41）
( ), , ,
ct
tdeck i j ki deck≤ 220
( )i Bay deck∈ , ( ),j Row deck i∈ , ( ), ,k Tier deck i j∈ , c C∈ , t T∈ . （42）
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( )
( )
( )1 ,
, , ,
c t truck n
tdeck i j kl deck
− ≤
( )i Bay deck∈ , ( ),j Row deck i∈ , ( )3 , ,k f deck i j= , c C∈ , { }\ 1t T∈ . （43）
1t tdeck deck+ ≥ { }\ endt T T∈ . （44）
式（45）~（48）表示配载稳性约束。集装箱船的甲板和舱内均按设计规定了集装箱底225
座上允许承受的最大箱重，也即集装箱船舶许用负荷量，式（45）表示在配载时船舶甲板每
列集装箱的总重量不能超过甲板许用负荷量。式（46）表示在配载时船舶舱内每列集装箱的
总重量不能超过舱内许用负荷量。式（47）表示配载至船舶的集装箱不可上重下轻。式（48）
表示配载结束后船舶横倾约束，也即船舶左右弦重量差在 40吨以内。
( ) ( )
, , ,
, ,
c
c deckdeck i j k
k Tier deck i j c C
W dm W
∈ ∈
× ≤ ( )i Bay deck∈ , ( ),j Row deck i∈ . （45） 230
( ) ( )
, , ,
, , ,
c
c holdhold i j k
k Tier hold i j k c C
W dm W
∈ ∈
× ≤ ( )i Bay yard∈ , ( ),j Row yard i∈ . （46）
( ) ( ), , , , , , 1
c c
c cz i j k z i j k
c C c C
W dm W dm +
∈ ∈
× ≥ ×
{ },z deck hold∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ) ( ){ }3, , \ , ,k Tier z i j f z i j∈ . （47）
( ) ( )( )( )( )( )( )( )
, , , , , ,
, , , , , ,
40c cc cz i j k z p q r
i Bay z j L z i k Tier z i j c C p Bay z q R z i r Tier z i j c C
W dm W dm
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈
× − × <
{ },z deck hold∈ . （48） 235
式（49）~（50）表示配载压箱约束。在装船过程结束后，根据目的港顺序的不同，后
到港的集装箱不可压住先到港的集装箱。式（49）表示甲板与舱内单一堆存列中不可存在压
箱现象。式（50）表示甲板上的集装箱不可对舱内集装箱造成压箱。
( ) ( ), , , , , , 1
c c
c cz i j k z i j k
c C c C
D dm D dm +
∈ ∈
× ≥ ×
{ },z deck hold∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ) ( ){ }3, , \ , ,k Tier z i j f z i j∈ . （49） 240
( ) ( ) ( ), , , , , , , , ,1
c c c
c chold i j k hold i j k deck p q r
c C c C c C
M dm D dm D dm
∈ ∈ ∈
× − + × ≥ ×
( )i Bay hold∈ , ( ),j Row hold i∈ , ( ), ,k Tier hold i j∈ , ( )p Bay deck∈ ,
( ),q Row deck p∈ , ( ), ,r Tier hold p q∈ d D∈ . （50）
变量取值约束
此部分约束条件为决策变量 0-1整数约束，由式（51）~（64）组成。 245
( ) { }, , , 0,1ctyard i j ku ∈
c C∈ , { }\ endt T T∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ) ( ){ }3, , \ , ,k Tier z i j f z i j∈ . （51）
( ) { }, , , 0,1ctz i j kd ∈ c C∈ , { }\ 1t T∈ , { }, ,z yard deck hold∈ ,
( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ) { }, , \ 1k Tier z i j∈ . （52）
( ) { }, , , 0,1ctz i j ki ∈ 250
c C∈ , t T∈ , { }, ,z yard deck hold∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ), ,k Tier z i j∈ . （53）
( ) { }, 0,1cttruck ni ∈ c C∈ , t T∈ , n Ntruck∈ . （54）
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( ) { }, , , 0,1ctz i j ko ∈ c C∈ , { }\ endt T T∈ ,
{ }, ,z yard deck hold∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ), ,k Tier z i j∈ . （55）
( ) { }, 0,1cttruck no ∈ c C∈ , { }\ endt T T∈ , n Ntruck∈ . （56） 255
( )
( ) { }, , ,, , , 0,1yard i j kct yard p q rr ∈
c C∈ , { }\ endt T T∈ , ( )i Bay yard∈ , ( ),j Row yard i∈ , ( )3 , ,k f yard i j= ,
( )p Bay yard∈ , ( ),q Row yard i∈ , ( )3 , ,r f yard i j= , i p≠ or j q≠ . （57）
( )
( ) { }, , ,, 0,1yard i j kct truck na ∈ c C∈ , { }\ endt T T∈ ,
( )i Bay yard∈ , ( ),j Row yard i∈ , ( )3 , ,k f yard i j= , n Ntruck∈ . （58） 260
( )
( ) { },, , , 0,1truck nct z i j kl ∈ c C∈ , { }\ endt T T∈ , n Ntruck∈ ,
{ },z deck hold∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( )3 , ,k f z i j= . （59）
( ) { }, , , 0,1cz i j ksp ∈
c C∈ , { }, ,z yard deck hold∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ), ,k Tier z i j∈ . （60）
( ) { }, 0,1ctruck nsp ∈ c C∈ . （61） 265
( ) { }, , , 0,1cz i j kdm ∈
c C∈ , { }, ,z yard deck hold∈ , ( )i Bay z∈ , ( ),j Row z i∈ , ( ), ,k Tier z i j∈ . （62）
( ) { }, 0,1ctruck ndm ∈ c C∈ . （63）
{ }0,1tdeck ∈ t T∈ . （64）
2 问题复杂度 270
由图 1 可知，本文提出的时间-空间网络问题的复杂度随“时间点”、“集装箱”与“箱位”
数量的增加而增加。以下（1）~（14）各项表示各种形式的决策变量的数量：
（1） ( ), , ,ctyard i j ku 形式的变量数量： ( ) ( ) ( )1 2 3, , , 1C T f yard f yard i f yard i j× × × × −
（2） ( ), , ,ctz i j kd 形式的变量数量：
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
{ , , , 1
, , , 1
, , , 1 }
C T f yard f yard i f yard i j
f deck f deck i f deck i j
f hold f hold i f hold i j
× × × × −
+ × × −
+ × × −
（3） ( ), , ,ctz i j ki 形式的变量数量：
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
{ , , ,
, , ,
, , , }
C T f yard f yard i f yard i j
f deck f deck i f deck i j
f hold f hold i f hold i j
× × × ×
+ × ×
+ × ×
275
（4） ( ),cttruck ni 形式的变量数量：C T Ntruck× ×
（5） ( ), , ,ctz i j ko 形式的变量数量：
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 { , , ,
, , ,
, , , }
C T f yard f yard i f yard i j
f deck f deck i f deck i j
f hold f hold i f hold i j
× − × × ×
+ × ×
+ × ×
（6） ( ),cttruck no 形式的变量数量： ( )1C T Ntruck× − ×
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（7） ( )( ), , ,, , ,yard i j kct yard p q rr 形式的变量数量：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 , , 1 / 2C T f yard f yard i f yard f yard i× − × × × × − 280
（8） ( )( ), , ,,yard i j kct truck na 形式的变量数量： ( ) ( ) ( )1 21 ,C T f yard f yard i Ntruck× − × × ×
（9） ( )( ),, , ,truck nct z i j kl 形式的变量数量：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 , ,C T Ntruck f deck f deck i f hold f hold i× − × × × + ×
（10） ( ), , ,cz i j ksp 形式的变量数量：
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
{ , , ,
, , ,
, , , }
C f yard f yard i f yard i j
f deck f deck i f deck i j
f hold f hold i f hold i j
× × ×
+ × ×
+ × ×
（11） ( ),ctruck nsp 形式的变量数量：C Ntruck× 285
（12） ( ), , ,cz i j kdm 形式的变量数量：
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
{ , , ,
, , ,
, , , }
C f yard f yard i f yard i j
f deck f deck i f deck i j
f hold f hold i f hold i j
× × ×
+ × ×
+ × ×
（13） ( ),ctruck ndm 形式的变量数量：C Ntruck×
（14） tdeck 形式的变量数量：T
决策变量总数即为上述 14项之和，为更明确表示，采取以下方式替换多项式：
( ) ( ) ( )1 2 3= , , ,f yard f yard i f yard i j× ×堆场箱位数 290
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 3
1 2 3
= , , ,
, , ,
f deck f deck i f deck i j
f hold f hold i f hold i j
× ×
+ × ×
船舶箱位数
( ) ( )1 2= ,f yard f yard i×堆场列数
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2= , + ,f deck f deck i f hold f hold i× ×船舶列数
=Ntruck集卡数
故变量总数可估计为下式： 295
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )2
6 + 5 + 4
+ 6 + 3
+ / 2 + +
CT CT CT
CT CT
CT CT
× × ×
× ×
× × ×
堆场箱位数 船舶箱位数 集卡数
堆场列数 船舶列数
堆场列数 集卡数 堆场列数 船舶列数
（65）
3 数值实验与分析
为验证模型的正确性，本节设计了 4组数值实验。首先，通过测试网络流动规则的相关
约束条件，验证网络模型构建的正确性；之后，依次纳入末终状态的约束条件，验证末终状
态是否符合实际作业要求。实验设定参数如下： { }, ,z yard deck hold∈ ， ( ) { }1,2,3,4,5Bay yard = ，300
( ) { }1,2,3Bay deck = ， ( ) { }1,2,3Bay hold = ， { }1,2j∈ ， { }1,2k∈ ， 1Ntruck = 。本文运用 Cplex
实现分支定界算法求解数值实验中所列入的约束条件表达式，在计算机（Intel Core I5
CPU， GB memory， GHz）上运行。
（1）实验 1：验证网络流的正确性，根据上述参数设置，现设定有 6 个集装箱，属性
如表 3所示，对应的箱位如图 4所示。 305
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表 3 集装箱属性（实验 1）
Tab. 3 Properties of containers for Case 1
集装箱编号 长度（尺） 冷藏箱 危险箱 超高箱 重量（吨） 目的港编号 初始箱位
1 20 (yard,5,1,2)
2 20 (yard,5,1,1)
3 20 (yard,1,2,1)
4 40 (yard,2,1,1)
5 40 (yard,4,2,2)
6 40 (yard,4,2,1)
1 20 (yard,5,1,2)
图 4 集装箱初始状态（实验 1） 310
Fig. 4 Initial status of containers for Case 1
求解该实验，所得目标函数值为 0，也即无需翻箱即可达到配载的要求。求解耗时
秒， =8T ，末终状态如图 5所示。
315
图 5 集装箱末终状态（实验 1）
Fig. 5 Final status of containers for Case 1
（2）实验 2：纳入目的港避免压箱的约束条件，增加了目的港属性，其他条件与实验 1
相同，如表 4所示。 320
表 4 集装箱属性（实验 2）
Tab. 4 Properties of containers for Case 2
集装箱编号 长度（尺） 冷藏箱 危险箱 超高箱 重量（吨） 目的港编号 初始箱位
1 20 1 (yard,5,1,2)
2 20 2 (yard,5,1,1)
3 20 3 (yard,1,2,1)
4 40 2 (yard,2,1,1)
5 40 1 (yard,4,2,2)
6 40 2 (yard,4,2,1)
1 20 1 (yard,5,1,2)
求解目标函数值为 1，表示需在堆场内进行一次翻箱作业。求解耗时 秒，约合
6小时 25分钟， =9T ，末终状态如图 6所示。 325
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图 6 集装箱末终状态（实验 2）
Fig. 6 Final status of containers for Case 2
（3）实验 3：除上述约束条件外，增加是否有供电装置，箱位是否允许放置危险箱及
箱子重量三类约束，如表 5 所示。在图 4 所示的船舶箱位中， ( ),1,1,1deck ， ( ),1,1,2deck ，330
( ),1,1,1hold ， ( ),1,1,2hold 有供电设备，舱内的 4个箱位均允许放置危险箱。
表 5 集装箱属性（实验 3）
Tab. 5 Properties of containers for Case 3
集装箱编号 长度（尺） 冷藏箱 危险箱 超高箱 重量（吨） 目的港编号 初始箱位
1 20 是 否 50 1 (yard,5,1,2)
2 20 否 否 80 2 (yard,5,1,1)
3 20 否 是 90 3 (yard,1,2,1)
4 40 是 否 110 2 (yard,2,1,1)
5 40 否 否 110 1 (yard,4,2,2)
6 40 否 是 120 2 (yard,4,2,1)
1 20 是 否 50 1 (yard,5,1,2)
本实验所得目标函数值为 2，即需要在堆场内进行两次翻箱作业，求解耗时
秒，约合 4小时 35分钟， =10T ，末终状态如图 7所示。
图 7 集装箱末终状态（实验 3）
Fig. 7 Final status of containers for Case 3
（4）实验 4：包括所有约束条件，舱内允许超高 米。 340
表 6 集装箱属性（实验 4）
Tab. 6 Properties of containers for Case 4
集装箱编号 长度（尺） 冷藏箱 危险箱 超高箱 重量（吨） 目的港编号 初始箱位
1 20 是 否 否 50 1 (yard,5,1,2)
2 20 否 否 是 80 2 (yard,5,1,1)
3 20 否 是 是 90 3 (yard,1,2,1)
4 40 是 否 是 110 2 (yard,2,1,1)
5 40 否 否 是 110 1 (yard,4,2,2)
6 40 否 是 否 120 2 (yard,4,2,1)
1 20 是 否 否 50 1 (yard,5,1,2)
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本例求解所得目标函数值为 2，求解耗时 秒，约合 32分钟， =10T ，末终状态
如图 8所示。 345
图 8 集装箱末终状态（实验 4）
Fig. 8 Final status of containers for Case 4
由实验结果可知，由于实验 1可迅速搜索到目标函数值为 0的可行解，故求解时间较短。350
除实验 1外，求解耗时随纳入的末终状态要求的增多而显著减少；且由实验 2~实验 4的对
比可知，Cplex 的求解效率，除与问题的规模相关外，与可行解区间的大小亦有明显关
联。此外，由于计算机内存限制，仅可解决 6个集装箱、50个箱位、12个时间点以内规模
的问题，但根据上述测试结果，已验证了数学模型的正确性，故可将其推广至实际配载问题
中。 355
4 结论
在出口箱的处理流程中，将堆场内的翻箱作业与船上的配载作业合并考虑，将有助于缩
短船舶作业时间，进而提升港口的效率。然而将上述两个作业整合后，问题将更加复杂。本
文以整合作业后翻箱量最少为目标，将集装箱的操作规则与末终状态均以线性约束表示，建
立了最优化网络模型，探讨了整合问题的基本数学性质，并运用 Cplex 进行求解。由于360
模型中决策变量及约束条件的数量较多，实验用个人计算机仅能处理小规模问题，但可为后
续研究奠定基础。今后可开发适于解决该问题的启发式优化算法，降低大规模问题的求解时
间。
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