统计与决策 2009年第 9期（总第 285期）
王 博
（中国人民大学 信息学院，北京 100872）
摘 要：巨灾期权是巨灾风险管理发展到一定阶段，保险和金融结合的产物。巨灾期权作为巨灾
市场的一种主要风险转移方式，得到了学术界和巨灾风险市场的青睐。文章针对巨灾期权定价问题，
借鉴国内外理论和实际经验，从相关理论出发，用保险精算方法对带跳跃过程的巨灾期权进行了定价。
关键词：巨灾期权；期权定价理论；跳跃过程；保险精算方法
中图分类号：F832 文献标识码：A 文章编号：1002－6487（2009）09-0033-02
关于巨灾期权定价方法的探讨
巨灾风险通常是指突发性、无法预料、无法避免而且危
害特别严重的，如地震、飓风、海啸、洪水等所引发的灾难性
事故。从全球来看，由巨灾造成的死亡、伤害和移民每年影响
着数亿人，同时财产损失的频率和严重程度也以惊人速度上升。
1 巨灾期权及其运行模式
随着全球范围内巨灾发生的频率不断上升，造成的损失
也越来越严重，由此引发巨额保险赔付仅仅依靠传统的保险
经营方式分担损失受到严重挑战，也影响了全球(再)保险业
的可持续发展。 近年来，一些有远见的保险人纷纷推出各具
特色的保险衍生工具，试图利用风险证券化将保险市场和证
券市场进行有机联结，实现利用资本市场的实力分散 (再)保
险公司承保的巨灾风险的目的，推进金融、保险一体化的进程。
在美国，一些有趣且有新意的帮助保险公司为巨灾损失
融资的方法已由私人资本市场引入，这些新型资本市场工具
最具有代表性的巨灾期权的发展。
1995 年，美国芝加哥期货交易所（CBOT）设计出一种较
为成功的新型巨灾指数选择权—PCS 期权(PCS Option)。 根
据实证资料显示，PCS Option 可视为一种零市场风险的投
资工具，能够有效降低投资组合的风险，所以国际投资机构
也纷纷进入该市场，使得交易量有明显增加的趋势。
PCS 巨灾期权采取以 PCS 公司（Property Claim Services
of American Insurance Service Group Inc） 所定义的巨灾损
失指数（PCS Index）为交易标的物，巨灾损失指数是以各地
理区域内每季或每年已发生巨灾损失的总额除以一亿美元
来计算的。根据 PCS 公司对巨灾的定义：当风险事故发生，导
致承保财产损失超过 2500 万美元以上则称为巨灾 。 所以
PCS 巨灾期权是真正以巨灾损失为交易标的物的巨灾期权。
PCS 巨灾期权在操作上以买入价差期权交易为主，即在
买进一个敲定指数较低的看涨期权的同时再卖出一个到期
日相同但敲定指数较高的看涨期权。 由于就看涨期权而言，
期权费与敲定指数成反向关系，因此保险公司所付出的期权
费必大于所收取的期权费，从而表现为期权费净支出。
以 L（T）表示损失指数的结算价值（即实际发生的巨灾
指数），K1表示较低的敲定指数，K2表示较高的敲定指数，其
中 K1<K2，R 表示保险公司的盈亏情况。
在期权到期日，保险公司的盈亏由结算指数与敲定指数
关系不同可分为以下三种情况：
（1）当 L(T)<K 时，R=0 。 即结算指数低于较低的敲定指
数时，买进的期权和卖出的期权均被放弃，则保险公司既无
利润，也无亏损
（2）当 L(T)>K2时，R=K2-K1。即结算指数高于较高的敲定
指数时，保险公司因执行买进的期权而获利 L(T)-K1，而卖出
的期权也同样被执行，带来损失 L(T)-K2，则保险公司的总盈
亏为(L(T)-K1)-(L(T)-K2)=K2-K1
（3）当 K1≤L(T)≤K2时，R=L(T)-K1。 在这种情况下，只有
买进的期权被执行，则保险公司获利 L(T)-K1
2 用保险精算方法推导经典的期权定价公式
Black-Scholes 公式是目前最经典也是应用的最广泛的
期权定价公式。 这里我们用保险精算方法去推导 Black-Sc-
holes 公式。 Mogens Bladt 与 Hina Hviid Rydberg 于 1998 年
首先提出期权定价的保险精算方法。 其基本思想是：无风险
资产（确定的）按无风险利率折现，风险资产（确定的）按期望
收益率折现，欧式期权的价格等于在期权被执行时股票期末
价格按期望收益率折现的现值与合约执行价格按无风险利
率折现的现值之差在股票价格实际概率测度下的数学期望。
记在时间 t 时看涨期权的价格为 Ct，股票在时刻的价格
为 St，初始价格为 S0，期权到期时间为 T，合约的执行价格为
K，到期时股票的价格为 ST。我们可以把期权合约假设成一张
保单，其中 ST为到期时发生的损失，这是随机的，K 为发生损
失时保险公司赔付的金额，这是保险人事先约定好的。 将期
权合约现在的价值看成保险公司收取的保费。保险精算的性
质是定价在前，损失发生在后，保险人在收取保费与支付损
失之间一般存在着时间差。 为计算未来潜在损失，需要把到
期日股票价格 ST与执行价格 K 折算到时刻 t，根据看涨期权
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的性质， 只有股票价格 ST大于执行价格 K 时， 期权才会执
行，相应保险人的损失现值为 e
-μ(T-t)
ST-e
-r(T-t)
K，这里 μ 是期望
收益率，r 是无风险利率。
根据期权定价的保险精算方法，在已知潜在损失的基础
上，期权价格依赖于给定股票现行价格 St 的条件下，最终股
票价格 ST大于执行价格 K 的概率分布。
假设股票价格 St满足
dSt=μStdt+σStdB(t)
则由随机积分的知识可知
St=S0exp[(μ- 12 σ
2)t+σB(t)]
即股价服从对数正态分布
lnSt~N(lnS0+(μ- 12 σ
2)t,σ2t]
则在给定现行股价 St 的条件下， 到期日的股票价格 ST
的条件分布是以均值 E [lnST|lnSt]=lnSt+(μ- 12 σ
2)(T-t)， 方差
var[lnST|lnSt]=σ2(T-t)的对数正态分布，则在给定现行股价 St
的条件下，最终股票价格 ST的概率密度函数为
f(lnST|lnSt)= 1
2π(T-t)σ姨
exp [lnST-lnSt-(μ-
σ
2
2 )(T-t)]
2
2σ
2
(T-1)
姨
姨
姨姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨
姨姨
姨
姨
姨
姨
姨
通过上述分析可知，期权价格应该等于保险人在执行期
潜在损失的数学期望，用公式表示为
Ct=E(e
-μ(T-t)
ST-e
-r(T-t)
K=
+∞
-∞乙 (e-μ(T-t)ST-e-r(T-t)K)f(lnST|lnSt)d(lnST)
由于股票价格 ST大于执行价格 K 时，期权才会执行，因
此有
Ct=
+∞
lnK乙 e-μ(T-t)STf(lnST|lnSt)d(lnST)-
+∞
lnK乙 e-r(T-t)Kf(lnST|lnSt)d(lnST)
将 f（lnST|lnSt）代入，利用凑微分法，整理得
Ct=StN(d1)-Ke-r(T-t)N(d2)
其中，N(.)表示标准正态分布累积分布函数,
d1=
ln STK +(μ-
σ
2
2 )(T-t)
σ T-t姨
d2=
ln STK +(μ-
σ
2
2 )(T-t)
σ T-t姨
=d1-σ T-t姨
若按风险中性假定，标的资产的期望收益率 μ 等于无风
险利率 r,则上面导出的公式就是著名的 Black-Scholes 公式。
在保险精算方法中， 因为考虑到各人对待风险的态度
（即风险效用），标的资产的期望收益率 μ 不能等于无风险利
率 r，因此是非风险中性条件下的期权定价。
我们根据平价公式， 还可以计算出看跌期权的价格，这
里就不详细推导了。
3 用保险精算方法研究带跳跃的巨灾期权
定价公式
B1ack-Scho1es 期权定价模型能否直接移植到巨灾期权
的定价上来呢？ 答案是否定的。 因为在经典的 Black-Scholes
期权定价公式中假设了对应资产价格是连续变化的，而这对
巨灾期权是行不通的，因为其潜在的巨灾期权的标的物巨灾
损失指数（PCS Index）并不是连续变化的，而是一个跳跃过
程，只在巨灾发生时有一个跳跃点，这时再用经典的 Black-
Scholes 期权定价公式来计算巨灾期权价格时就会与实际产
生较大的偏差。 所以必须将 B1ack-Scho1es 期权定价模型进
行改进后才可用于巨灾期权的定价。 根据这种现象，我们假
设巨灾期权价格的变动是由“标准几何 Brown 运动”引起的
连续变动和“Poisson 过程”引起的跳跃共同作用的结果。
我们先对经典的 Black-Scholes 期权定价公式的模型基
础进行改进。
计数过程{N(t)，t≥0}称为强度函数为 λ>0 的 Poisson 过
程，如果
(1)N(0)=0；
(2)过程有独立增量；
(3)P{N(t+h)-N(t)=1}=λh+o(h)；
(4)P{N(t+h)-N(t)≥2}=o(h)。
记 Q(t)=
N(t)
i = 1
ΣUi 为复合 Poisson 过程，其中 U1,U2…是一列
独立同分布的随机变量。
我们知道，在没有跳跃的情况下，股票价格满足
dSt=μStdt+σStdB(t)
方程的解为
St=S0exp[(μ- 12 σ
2)t+σB(t)]
下面给出具有跳跃过程的方程
dSt=μStdt+σStdB(t)+StdQ(t)
这里假定复合 Poisson 过程 Q(t)与 Brown 运动 B(t)是独
立的。 这时方程的解可以写成
St=S0exp[(μ- 12 σ
2)t+σB(t)]U1U2…UN（t)
我们考虑由于跳跃对股价产生的影响的期望值为 0，因
此可对具有跳跃扩散过程的方程进行修正。
记 Q'(t)=Q(t)-λtE(Ui)为补偿性复合 Poisson 过程，则有
dSt=(μ-λE(Ui)Stdt+σStdB(t)+StdQ(t)
利用 Ui独立同分布性，我们也可将方程进一步改写为
dSt=(μ-λE(Y)Stdt+σStdB(t)+StUdN(t)
这里 Ui可以理解为跳跃高度。
我们给出巨灾期权定价模型
dIt
It
=(μ-λθ)dt+σdB(t)+UdN(t)
其中 It表示巨灾损失指数（PCS Index），{Ui,0≤i≤N(t)}为
一列独立同分布的随机变量，Ui表示为 τi时刻巨灾损失指数
的跳跃高度，1+U服从对数正态分布，即 ln(1+U)~N(ln(1+θ)- 12
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σ
2
U ，σ
2
U )，θ为 U的无条件期望，λ为跳跃发生的频率，0<t≤T。
由 Dolease-Dade 指数公式,巨灾期权方程的解为
It=I0 Π
N(t)
i=0
(1+Ui)exp[(μ- 12 σ
2)t-λθt+σB(t)]
=I0exp[(μ- 12 σ
2-λθ)t+σB(t)+
N(t)
i = 0
Σln(1+Ui)]
在给定现行巨灾损失指数和发生跳跃次数的条件下，到
期日的巨灾损失指数的条件分布是均值为 E [lnIT|lnIt]=lnIt+
(μ- 12 σ
2-λθ)(T-t)+n(ln(l+θ)- 12 σ
2
U ，方差为 var[lnIT|lnIt]=σ2(T-
t)+nσ
2
U的对数正态分布。
根据期权定价的保险精算方法，期权价格应该等于保险
人在执行期潜在损失的数学期望，用公式表示为
Ct=E(e-μ(T-t)IT-e-r(T-t)K|N(T)=n)p(N(T)=N)
=
n
n = 0
Σ ( λ(T-t))ne-λ(T-t)n! [Ite
-λθ(T-t)+nμ1N(d1)-Ke-r(T-t)N(d2)]
在风险中性条件下，μ=r。
4 巨灾期权的特点以及对我国巨灾风险管
理的借鉴
巨灾期权主要优点基于其场内交易的标准化、自由化及
其指数关联等特性。
巨灾期权优点：
（1）套头交易的及时性；
（2）价格明晰化；
（3）交易成本较低；
（4）道德风险较低；
（5）能降低投资组合风险。
尽管巨灾期权已逐渐得到了风险管理者的认可，但目前
还存在着一系列尚未解决的问题， 加之其本身固有的缺陷，
这一风险分散的创新工具还有待进一步完善。
巨灾期权缺点为：
（1）基差风险；
（2）成交量过小，承保容量不足。
从美国巨灾期权的经验来看，风险分散机制是巨灾风险
管理中不容忽视的一环。巨灾衍生产品作为一种场外交易的
金融衍生物， 是保险公司或者再保险公司通过直接发行，利
用金融市场来分散风险的风险证券化形式。通过巨灾衍生产
品可将巨灾风险转移给资本市场的投资者，增强社会危机处
理能力，扩大保险公司的承保能力。
我国目前尚未建立完善的巨灾风险分散机制， 资本市场
还未达到类似美国的成熟， 而资本市场为巨灾风险分散提供
了重要的支持， 许多新型风险管理工具均是以资本市场为依
托。这在很大程度上限制了我国巨灾风险管理的发展。因此我
国应当加速提高资本市场的运行效率，逐步促进保险市场，以
此为基础开发巨灾险衍生产品，完善巨灾风险分散机制。
参考文献：
[1]严加安，彭实戈等.随机分析选讲[M].北京：科学出版社，1996.
[2]孙健.金融衍生品定价模型[M].北京：中国经济出版社，2007.
[3]韩天雄，陈建华 .巨灾风险证券化产品的定价问题 [J].保险研究，
2003，(12).
[4]李晓翾 .谈巨灾模型对巨灾保险风险管理的影响 [J].上海保险 ，
2007，(7).
（责任编辑/浩 天）
摘 要：文章在广义复合风险模型的基础上，提出了带延迟双险种广义复合风险模型；并通过
构造辅助模型，利用鞅的方法，得到了该模型的最终破产概率的表达式。
关键词：过程；风险模型；破产概率；鞅
中图分类号： 文献标识码：A 文章编号：1002-6487（2009）09-0035-03
倪虎波，赵明清
（山东科技大学 信息科学与工程学院，山东 青岛 266510）
带延迟的双险种广义复合 Poisson风险模型
0 引言
经典复合模型是风险论研究中的一个重要模型，在此模
型中，充分小的时间内发生事故的次数至多一次，每一次事
故保险公司进行一次赔付，但现实却并非如此。 例如在充分
小的时间内至多有一辆车发生事故，然而每次事故所导致的
要求索赔的人数却不止一个，即要进行多起索赔。 根据这一
实际情况，戚懿 [1]将经典复合风险模型推广为复合广义风险
模型， 即允许在充分小的时间内发生事故的次数至多为一
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