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第一部分 期权风险度量指标
第二部分 二叉树模型
第三部分 期权套利策略
第12讲 期权和期权定价2
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期权价格受多种因素的影响，期权风险评价参数通常用Delta，
Gamma，Vega，Rho等。通过这些参数可有助于把握期权价
格变动，衡量和管理风险。
一、 Delta
第1部分 期权风险度量模型
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Delta也表示为∆或δ，称为对冲比，衡量期权价格
变化与期权标的物价格变化之间的关系，即期权价
格与期权标的物价格关系曲线的斜率。
其衡量的是期权对期权标的物价格变动所面临的风
险程度的指标。
期权距离到期日越长，实值、虚值、平值三种期权
的Delta越接近，反之，期权距离到期日的时间越
接近，这三种期权的Delta差距越大。
套保者可借助Delta计算对冲特定标的物需要的期
权合约的数量。
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二、Gamma
即γ，衡量的是期权标的物价格变化所引起的
Delta 值的变化。准确来说，是期权Delta 变
化相对于标的物价格变化的比率。
因此，Gamma是衡量Delta相对标的物价格变动
的敏感性指标，是期权价格对标的物价格的二
阶导数，反映Delta变化的频率或速度。
该数值绝对值越大，风险程度越高；绝对值越
小，风险程度越低
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看涨期权和看跌期权的Gamma值都是正值；
深度实值和深度虚值的Gamma值接近于0
对于其他合约内容相同的期权，平值期权的
Gamma值大于实值期权或虚值期权的Gamma值
（三）Theta指标
即θ,用于衡量期权理论价值因为时间缩短而
下降的速度，是时间缩短的风险度量指标。
无论看涨还是看跌期权，随着时间缩短都会造
成期权理论价值下降。
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当其他条件不变时，期权价值随到期日的临近而
不断加速衰减，因此，期权多头Theta值为负值；
期权空头的Theta值为正值，对于卖方，随着到期
时间来临行权的可能下降。
对于其他合约条款相同的期权，平值期权Theta值
大于实值或虚值期权。
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四、Vega期权
即ν，定义为期权价格的变化与标的物价格波
动率变化的比率。随着时间流逝，标的物价格
波动率变化会引起期权价格的变动。
Vega衡量期权标的物价格波动对期权价格的
影响。
Vega=期权价格的变化/标的物价格波动率变
化
期权多头Vega值为正值，期权空头Vega值为
负值。
五、Rho指标
即ρ，定义为期权价格的变化与利率变化之间
的比率，用来衡量期权理论价值对于利率变动
的敏感性，计量利率变动带来的风险。
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Rho=期权价格的变化/利率变化
一般来说，实值期权Rho值>平值期权>虚值期权的
Rho值，对于深度虚值期权来说，Rho值接近于0
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第二部分 二叉树期权定价模型
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一、假设前提
二叉树模型常被用于描述金融市场中变量的随
机行为，比如股票价格、股票指数、外汇汇率
和利率等。
二叉树期权定价模型是常用的期权定价模型之
一。
约翰.考克斯，罗斯，马克.鲁宾斯坦因在1979
年发表的论文中最初提到该理论的要点。
所谓的二叉树是指标的资产价格的变化只存在
两种可能性，即上涨或下跌，其对实际情况有
所简化，但是模型可以最终延伸之包括所有的
可能性。
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二叉树模型可以用来对典型的不支付股息的欧式期权公平
定价，也可以将该模型修改后对美式期权及支付股息
的期权定价。
二叉树模型满足系列假设条件：
第一，交易成本和税收为0
第二，投资者可以以无风险利率借入或贷出资金
第三，市场无风险利率为常数
第四，股票的波动率为常数
第五，不支付股票红利
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鉴于一旦出现套利机会，市场参与者可以随时准备利用这
些套利机会，这意味着任何可以利用的套利机会将很快
消失。为此，我们假定不存在套利机会。
符号表示：
S:期权标的资产的即期价格
X:期权执行价格
T：期权到期时间
ST：T时刻标的资产的价格
σ：期权标的资产价格波动的标准差
r：T时刻到期的投资的无风险利率，r>0
c：看涨期权价格；p：看跌期权价格
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二、一阶段二叉树的引入
简单的离散型的二叉树模型分析：
一阶段是指：标的资产价格变化从一个给定的
价格开始，在期权到期时价格变化为一个新的
价格。
在这里我们定义一个阶段后，标的资产价格上
升至Su或下降到Sd，并且期权为欧式期权。
（一）构造一阶段二叉树模型
假设标的资产价格升到S+，看涨期权价格为C+
，同样标的资产价格下降到S-，期权价格为C-。
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一阶段二叉树模型
S
(C=?)
S+
c+=max（0，s+-x）
S-
（c-= max（0，s--x） ）
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当期权到期时，其价格等于其内涵价值。即：
C+=max（0，S+-X）
C-=max（0，S--X）
此时，看涨期权价格c未知，求c。
增加两个参数，u表示标的资产价格上涨，d表示标
的资产价格下跌
u=S+/S d=S-/S
假设我们知道除c外所有的变量信息，现构造一个
无风险对冲组合，该投资组合由标的资产和一份
卖出看涨期权组成，此时，买入n数量的标的资产，
n为套保比例。该投资组合的价值为H。
H=nS-c 即意味着我们拥有n数量的价格为s的标的
资产，同时卖出一份看涨期权
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一阶段后，该投资组合的价值为H+或H-
H+=ns+-c+
H-=ns—c-
由于该组合为无风险的对冲组合，应当达到下述效果：
即无论标的资产价格如何变动，组合的价值都是不变的，
因此，H+=H-，这意味着H+=ns+-c+=ns—c-
n=（c+-c-）/(s+-s-)
一个无风险对冲组合的价值是按照无风险利率增长的，
假定：
H+=HerT
H-=HerT
把H+,H-，H分别代入后，得到看涨期权的公式：
c=[pc++（1- p）c-] e-rT
p=（erT-d）/(u-d)
期权的即期价格为两种可能期权价格的加权平均值，权
重分别为p和1-p。这个加权平均值再贴现为现值，就成
为即期期权价格
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p和1-p实际为风险中性概率，该定价过程也称
为风险中性定价。
同理可得看跌期权的定价公式：
p=[πp++（1- π）p-] e-rT
举例说明：
假定标的物为不支付股息的股票，其现在价值
为50美元，股票价格可能上涨的幅度为25%，
可能下跌的幅度为20%，看涨期权的执行价格
为50美元，无风险利率为7%，求该期权现在价
格。
S+=
S-=40
U= d= 一阶段后期权价值为：
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C+=max（0，s*-x）=
C-= max（0，s*-x） =max（0,40-50）=0
Π=（erT-d）/(u-d)=（）/=
C= [pc++（1- p）c-] e-rT= [*+*0]e-
=
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（二）两阶段的二叉树模型
两阶段二叉树模型表达式，在一阶段的基础上，延伸模型
更加贴近现实，资产价格变化多于两种结果。
S
(C=?)
S+
（c+）
S-
（c-
）
S++
C++=max（0，s++-x）
S+-=s-+
（c+-=c-+=max（0，s+--x）
S--
C--=max（0，s---x）
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先观察第一阶段末：
C+= [πc+++（1- π）c+-] e-rT
C-= [πc-++（1- π）c--] e-rT
π = [erT-d] /(u-d)
C= [πc++（1- π）c-] e-rT
= [π（ πc+++（1- π）c+-）+（1- π）（ πc-++
（1- π）c--]）] e-2rT
= e-2rT [π2c+++ 2π （1- π）c+-）+（1- π）2c--
]
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练习：
假定标的物为不支付股息的股票，其现在价值
为50美元，假定两阶段模型中股票价格可能上
涨的幅度为%，可能下跌的幅度为%
，看涨期权的执行价格为50美元，无风险利率
为%，则：
（1）一阶段后期权的价格分别为多少？
（2）现在期权的价格为多少？
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解析：
S++=50**=
S+-=50**=50
S--=50**=40
C++=max(0,s++-50)=
C+-=max(0,0)=0
C--=max(0,40-50)=0
U=*=
d=*=
Π=[erT-d] /(u-d)=()/（-
）=
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C+= [πc+++（1- π）c+-] e-
rT=（*+*0）=
C-= [πc-++（1- π）c--] e-rT=0
C= [πc++（1- π）c-] e-rT
Π=（erT-d）/(u-d)=（）/(-
) =
C= [πc++（1- π）c-] e-rT
=(*+*0)*
=
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三、布莱克-斯科尔斯期权定价模型
布莱克-斯科尔斯期权定价模型简称B-S模型，
首先由布莱克和斯科尔斯于1972年提出，1973
年5月他们在Journal of Political Economy杂
志发表了期权与公司负债的定价一文，推导出
无红利支付股票的任何衍生品的价格必须满足
的微分方程，并成功得出欧式看涨期权和看跌
期权定价的精确公式，使得期权和其它衍生品
产品的定价理论获得突破性进展，从而成为期
权定价的经典模型。
其创新是将套利用于解决期权的定价问题，引
进了风险中性定价并推导出布莱克-斯科尔斯期
权定价模型，该模型对金融市场影响深远。
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布莱克-斯科尔斯模型给出了期权价格理论上的价
格参考，实际过程中由于价格波动性的估算差别，
投资者对期权出价也会有较大出入。在国外期权
交易中，投资者只要将权利金的基本因素输入软
件程序就可立即知道权利金的理论价格。
（一）布莱克-斯科尔斯期权模型基本形式
定价方法的基本思想：期权价格及其所以来的标
的资产价格都收到同一种不确定性因素的影响，
两者遵循相同的维纳过程。
如果通过建立一个包含恰当的衍生资产头寸和标
的资产头寸的资产组合，可以消除维纳过程，标
的资产头寸与衍生资产头寸的盈亏可以相互抵消。
这样构造的资产组合为无风险的资产组合，在不
存在无风险套利的情况下，该资产组合收益率应
等于无风险利率。
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模型的假设条件
股票价格服从对数正态概率分布，股票预期收
益率与价格波动率为常数
无风险利率已知且保持不变
期权有效期内没有红利支付
不存在无风险套利机会
证券交易为连续进行
投资者能够以同样的无风险利率借入和借出资
金
没有交易成本和税收，所有证券均可无限可分
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基本定价公式
在上述假设的基础上，构造资产组合，其中K为期
权的执行价格,那么，欧式看涨期权在风险中性世
界里，当期权到期时的期望值为
E[max（ST-K,0) ]
欧式看涨期权的价格等于这个期望值以无风险利
率贴现后的现值，即e-rTE[max（ST-K,0) ]。
无收益资产欧式看涨期权定价公式进一步表达为：
c=e-rT[SN(d1）erT-KN（d2） ]
=SN(d1）-e-rTKN（d2）
其中，N（d2） 代表风险中性世界里期权被行使的
概率，KN（d2） 代表执行价格乘以执行价格被支
付的概率
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SN(d1）erT表示在ST>K时等于S，在其它情形等
于0的变量在风险中性世界的期望值。
B-S模型一般只能用于欧式期权定价，但是，由
于在没有红利支付的情况下，美式看涨期权不
会提前执行，因此，其价值与对应的欧式看涨
期权一致。
根据风险中性假定，在标的资产无收益的情况
下，无收益美式看涨期权与无收益欧式看涨期
权的价值相等，因此，上述公式也是无收益资
产美式看涨期权定价公式
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无收益欧式看涨期权和看跌期权满足一定的平
价公式，因此，欧式看跌期权定价公式为：
P= Ke-rTN（-d2）-SN(-d1）
其中，N(d1）和N（d2）表示d1和d2的值分别
计算正态概率分布值。
d1=[ln（s/K）+（r+σ2/2）（T-t）]/ σ （T-t）1/2
d2=d1- σ （T-t）1/2
=[ln（s/K）+（r-σ2/2）（T-t）]/ σ （T-t）1/2
在公式中，期权价值取决于5个变量：
标的资产即期价格S，期权执行价格K
无风险利率r，期权到期时间T，t为当前时点
σ标的资产的价格标准差（波幅）
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在这五个变量中，只有波幅是未知的，需要对期权的
到期日波幅进行预测。
N（.）-标准正态分布累计概率分布函数
从理论上来说，BS模型只有在r为常数时才正确，实
践中，利率r等于期限为T的无风险投资者利率。
该模型的优越性：
变量均可观察或估计；
期权价格与标的资产的期望收益无关，即风险中性定
价，期权价格不依赖于投资者的风险偏好，简化了期
权的定价；
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（二）有收益资产期权定价模型
莫顿推出的
假设红利率为q
Q使得股票价格增长率比不支付红利率时减少q
如果连续支付红利的股票价格从现在的S增加
的T时的ST ，则没有红利支付时股票价格从现
在的S增加到T时刻的ST e
-rt，这也可以看做是
有红利支付时股票价格从ST e
-rt增加到ST 。
将代替BS中的S，可以得到有收益资产期权定
价模型。
c= ST e
-rt N(d1）-e-rTKN（d2）
P= Ke-rTN（-d2）- ST e
-rt N(-d1）
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d1=[ln（s/K）+（r-q+σ2/2）（T-t）]/ σ （T-t）1/2
d2=d1- σ （T-t）1/2
=[ln（s/K）+（r-q-σ2/2）（T-t）]/ σ （T-
t）1/2
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（三）期货期权的定价
1976年，布莱克研究了期货期权定价模型，研究发现，
期货价格行为类似于红利率等于r的股票价格行为。因
此，期货期权定价和连续支付红利率为r的股票期权定
价类似。
F为期货价格，q=r，
欧式期货期权定价公式为：
c= ST e
-rt N(d1）-e-rTKN（d2）
=[F N(d1）-KN（d2） ] e-rT
P= Ke-rTN（-d2）- ST e
-rt N(-d1）
=[KN（-d2）- FN(-d1）] e-rt
d1=[ln（F/K）+（σ2/2）（T-t）]/ σ （T-t）1/2
d2=d1- σ （T-t）1/2
=[ln（F/K）+（-σ2/2）（T-t）]/ σ （T-t）1/2
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例题：
假设期货价格为19美元，期权执行价格为20美
元，无风险利率为年利率12%，期货价格的波
动率为年率20%，计算5个月期的欧式看跌期货
期权价格。
讲解：
F=19，K=20，r=， σ=，T-
t=5/12=欧式看跌期货期权价格为：
P= [KN（-d2）- FN(-d1）] e-rt
d1=
d2=
期货期权价格为：*（20N()-
19N())=
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练习：
假设一个标准普尔500指数上的欧式看涨期权，
期权期限为2个月，股指现值为930，执行价格
为900，无风险利率为年利率8%，波动率为年
率20%，在第一个月及第二个月，预计股指将
分别提供%和%的股息，计算该期权价格。
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期权交易策略
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