基于Copula函数和Monte Carlo模拟的风险计算
北京航空航天大学经管学院金融系
李平 副教授
组合风险度量
风险测度
VaR的计算方法
基于Copula和Monte Carlo模拟的VaR计算
算例及比较分析
主要内容
1. 组合风险度量
马科维茨(H. Markowitz) 的组合风险管理理论
风险测度的变迁
组合风险管理中变量间相关性的刻画
Pearson线性相关系数的不足
Copula的优点
2. 风险测度
VaR:
CVaR:
expected shortfall:
median shortfall:
经VaR标准化后的shortfall:
3. VaR的计算方法
历史模拟法
分析法
蒙特卡罗（Monte Carlo）模拟法
4.基于Copula和Monte Carlo模拟的VaR计算
1) 传统的Monte Carlo模拟法
首先产生两个不相关的标准正态随机数：
然后分别产生服从正态分布 和 且相关系数为 的联合正态随机变量
2）基于单一Copula的Monte Carlo模拟法
产生两个独立的服从[0, 1]均匀分布的随机变量 ；
求解 的逆函数 ，并令 ，
其中 ；
令 ，
即得具有联合分布C的随机向量 。
3）基于混合Copula的Monte Carlo模拟法
令
其中
为X、Y的Spearman rho，即 ，
分别为其最大值和最小值 。
产生服从均匀分布的独立随机变量
如果 ，则令
如果 ，则令
5. 算例及比较分析
考虑由上证综合指数和深证综合指数按等权重构造的投资组合
数据：2000年1月4日至2004年12月31日的日收益率
上证综指和深证综指的走势图
两个指数的边际分布
上证综指正态分布P-P图
深证综指正态分布P-P图
上证综指Logistic分布P-P图
深证综指Logistic分布P-P图
上证综指Laplace分布P-P图
深证综指Laplace分布P-P图
两个指数之间的相依性
原始数据散点图
变换后数据的散点图
三种方法计算所得组合的风险测度
Mix Copula-
Logistic
Mix Copula-
Laplace
Gaussian Copula- Laplace
传统
Monte Carlo
结果的比较分析
通过与由实际数据得到的损失值相比进行后置检验(back test)，可以看出：
第一，在较低置信水平下，由传统的Monte Carlo方法和基于高斯Copula的方法计算出来的结果很接近，与实际损失值也很接近；
第二，随着置信水平的升高，本文提出的混合Copula方法算出来的结果与实际结果更接近；
结果的比较分析（续）
第三，当相依结构为混合Copula、边缘分布分别为Laplace分布和Logistic分布时所得到的相应风险测度的结果相近，而当边缘分布为Logistic分布、相依结构分别由高斯Copula和混合Copula刻画时，所得结果却相差较大。这说明，边缘分布的形式对风险测度的计算结果影响不是很大，而联合分布对结果影响较大。同时也表明，我们在计算资产组合的风险测度时不能忽视资产之间的相关性，对相关性的不同考虑会直接影响我们的风险管理效果
主要讨论Copula函数在组合风险度量中的应用，重点阐述了Copula应用于计算组合VaR的方法和步骤。
Copula函数的主要作用在于对多元变量分布进行建模，以及描述随机变量之间的依赖关系。
结论
