第!"卷 第#期 运 筹 与 管 理 $%&’!"，(%’#
)**+年!)月 ,-./012,(3/. 69:’)**+
收稿日期：)**+;*<;*=
基金项目：南开大学—天津大学刘徽应用数学中心资助项目（)**!1*=）
作者简介：荣喜民（!>#<;），男，黑龙江人，博士，教授，理学院党委书记，研究方向：金融数学、运筹学
基于偏度的多期组合投资调整模型
荣喜民， 崔红岩
（天津大学 理学院，天津<***=)）
摘 要：由于不同时期资产收益率以及投资者对风险和收益偏好的变化，加之资金等条件的限制，大多数组合投
资问题具有明显的动态特征。本文把单期投资组合拓展到多期，引入偏度和风险度量工具$?/，并考虑交易费
用的影响，建立了多期投资组合调整模型。最后，给出实证分析对模型进行分析研究，这对投资者的连续投资
行为具有一定的指导作用。
关键词：金融数学；组合投资；多期组合投资；$?/；偏度；交易费用
中图分类号：@A<*’+> 文章标识码：0 文章编号：!**=;<))!（)**+）*#;*!*";*+
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* 引言
7?PR%UCMW在!>+)年建立了投资组合的均值X方差模型［!］，该模型是建立在一个无摩擦的市场上
的，投资组合的收益和风险分别以均值和方差来度量。传统的均值—方差模型主要是处理单期静态的投
资组合问题，但对同一个投资者来说，一般会是对资产进行连续不断的投资。由于不同时期资产收益率以
及投资者对风险和收益偏好的变化，加之资金等条件的限制，大多数组合投资问题具有明显的动态特征，
而连续投资中的投资决策往往又是相关的。因此投资者需要根据变化了的条件买入或卖出部分资产，将
原有组合重新调整为新组合，这样研究多期投资组合问题越来越重要，这方面已有很多的研究［)!"］，其中
YC和(G给出了均值方差下的多期最优组合投资模型［)］。但是以前大多数仍是在投资组合收益前两阶矩
的基础上进行的，0PQCMMC和Y9OH指出：收益的高阶矩，特别是三阶矩———偏度是不容忽视的［+］，在一个多
期投资组合中忽略每一期的偏度得出的最优组合可能是一个无效的组合。本文在考虑偏度的基础上分析
了一个非常重要的因素———交易费用。多期投资组合决策在是否存在交易费用时有很大差别，考虑交易
费用时对资产组合的调整并不像不存在交易费用时那么频繁［#］。
万方数据
! 约束条件的分析与模型的建立
假设资产市场上有!种风险资产（如股票）可供选择。引入时间变量"，考虑#个投资期的情形（""
!，#，⋯，#）。设：
$%（"）是在第"期第%种风险资产的期望收益率，（%"!，#，⋯，!）；
!%&（"）是在第"期第%种风险资产与第&种风险资产的协方差，（%，&"!，#，⋯，!）；
"%（"）是在第"期初持有第%种风险资产的金额，（%"!，#，⋯，!）；
’%（"）是在第"期对第%种风险资产的实际交易金额，即调整金额，（%"!，#，⋯，!）；
则
"%（"）""%（"$!）%’%（"$!） （!）
即在第"期初（第"$!期末）持有第%种风险资产的金额是在第"$!期初持有金额与在第"$!期实际
交易金额之和。在中国市场上不允许卖空行为，即出售的资产量不允许超过当时的实际持有量，则可以令
$"%（"）!’%（"）（%"!，#，⋯，!）
!(! 约束条件的分析
在实际交易中，买入或卖出资产常常伴随着交易费用。假设在第"期投资于第%种风险资产存在固
定交易费用)%（"）和单位交易费率#%（"），引入&$!变量：
$%（"）"
! ’%（"）"&
& ’%（"）
#
$
% "&
（#）
那么在第"期对第%种风险资产进行交易产生的交易费用为：
)%（"）$%（"）%#%（"）&’%（"）& （’）
在一定的投资期内，假设投资者只在第一期初向资产市场投入一定数额的资金，在以后各期投资者既
不增加资金也不抽取资金，同时假设存在一种无风险资产%"!%!（如银行储蓄），每期资金余额在扣除交
易费用后投资于无风险资产（即存入银行）获得利率一定的稳定收入。现在考虑多期投资，在相邻的两个
投资期之间没有其它的投资行为，这样每一期期末的资产总额与下一期期初相同：
*（"$!）%’$（"$!）"*（"）
*（"）"(
!+!
%,!
［"%（"）%’%（"）%)%（"）$%（"）%#%（"）&’%（"）&］（""!，#，⋯，#） （(）
其中，*（"$!）和*（"）分别是第"$!期初与第"期初的资产总金额；
)$（"$!）是第"$!期的净收益（""!，#，⋯，#），即：
)$（"$!）"(
!+!
%,!
｛［"%（"$!）%’%（"$!）］$%（"$!）$)%（"$!）$%（"$!）%#%（"$!）&’%（"$!）&｝（)）
在以往的研究中，大多数单纯用方差或半方差、离差或绝对离差等来刻画风险，并假设投资者是绝对
风险厌恶的，但事实并非如此。证券投资的目的是获取更高的收益，投资者为了实现投资目标宁愿承担一
定的风险，但风险又不能太大。在这里引入近几年来广泛度量风险的金融工具*+,来描述风险［-］。含义
是这样的：当把投资组合的风险视为要超过某指定概率的最低回报时，我们就称该方法为*+,风险度量
法，该最低回报称为该投资组合的*+,，用数学式子表示就是：
./（-.!$*+,）!%
其中，-.是投资组合的实际收益，%是指定的概率。
现在把*+,引入多期情形，设：
/（"）是在第"期投资组合的实际收益；
$.（"）"(
!+!
%,!
［"%（"）%’%（"）］$%（"）
是在第"期投资组合的期望收益；
)&!第0期 荣喜民，等：基于偏度的多期组合投资调整模型
万方数据
!!!（"）"!
#$#
%&#
!
#$#
’&#
［"%（"）$(%（"）］［"%（"）$(’（"）］!%’（"）
是在第"期投资组合的方差；
#（"）是投资者在第"期所能承受的风险水平，即指定的概率；
%&’（"）是在第"期投资者在置信水平#（"）下所能接受的最低收益；
则投资者在第"期所能允许发生的亏损不能超过%&’（"）的概率小于等于事先指定的数可以#（"）表
示为：
()（)（"）"*%&’（"））"#（"） （+）
由于上式是一个概率约束，当资产收益不服从正态分布时，数学规划难以处理，因此进行变形［,］。
因为
()
)（"）**!（"）
!!（"）
"
%&’（"）**!（"）
!!（"
（ ））
"()
)（"）**!（"）
!!（"）
#
%&’（"）$*!（"）
!!（"
（ ））
"
!!!（"）
［%&’（"）$*!（"）］!
（由车贝晓夫不等式）
所以，令
!!!（"）
［%&’（"）$*!（"）］!
"#（"）
即：
!!!（"）"#（"）［%&’（"）$*!（"）］! （""#，!，⋯，+） （-）
!," 模型的建立与分析
很多研究假设投资组合的随机收益的分布是对称的或投资者的效用函数是二次的。但是当投资组合
的随机收益不服从对称分布或投资者的效用函数不是二次的情形下，高阶矩特别是三阶矩———偏度是不
容忽略的，正如［.］指出：投资者对收益偏度的喜好是和投资者降低绝对风险厌恶相一致的，这是因为对于
一个收益密度函数来说，正的收益偏度涉及到一个收益密度函数向右拉长的尾部。正的偏度是令人满意
的，因为增加偏度可以降低大规模的负收益的概率同时增加大规模的正收益的概率，尤其在多期投资组合
中，考虑每一期的偏度会在很大程度上改变最佳组合。
偏度的定义为：
-［!
.
%&#
(%（*%/-（*%））］/&!
.
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’&#
!
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(%(’(10%’1
其中0%%%：是基于第%种资产的协偏度，0%’’是第%种资产基于第’种资产的协偏度。所以在多期投资组合中
令：
2（"）"!
#$#
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#$#
1&#
［"%（"）$(%（"）］［"’（"）$(’（"）］［"1（"）$(1（"）］0%’1$2（"*#） （,）
为前"期的累积偏度，我们的目的是使累积偏度最大化，因此建立下面的多期投资组合模型（3）：
0&12（"）&!
#$#
%&#
!
#$#
’&#
!
#$#
1&#
［"%（"）$(%（"）］［"’（"）$(’（"）］［"1（"）$(1（"）］0%’1$2（"/#）
2343
%*（"/#）&!
#$#
%&#
｛［"%（"/#）$(%（"/#）］*%（"/#）/1%（"/#）$%（"/#）/%%（"/#）4(%（"/#）4｝
5（"）&!
#$#
%&#
［"%（"）$(%（"）$1%（"）$%（"）$%%（"）4(%（"）4］&5（"/#）$%*（"/#）
!
#$#
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!
#$#
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［"%（"）$(%（"）］［"’（"）$(’（"）］!%’（"）"#（"）［!
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［"%（"）$(%（"）］*%（"）$%&’（"）］!
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%&#
｛［"%（"）$(%（"）］*%（"）/1%（"）$%（"）/%%（"）4(%（"）4｝#*&（"）
$%（"）&5 67 #，%&#，!，⋯，#$#；"&#，!，⋯，
’
( +
+5# 运 筹 与 管 理 !556年第#7卷
万方数据
在模型（!）中，"!（#）是第#期投资者的预期期望净收益值，$%（#）是决策变量，!%（#）是变量!!"；对于其
它量，针对第#期而言是已知量。该模型是一个有约束条件的非线性规划优化问题，而且进行连续投资使
计算比较繁琐，传统方法求解比较困难。在这里，我们采用梯度最优化方法，用#$%&$’语言编程来求
解［"!］。按每一期依次求解上述模型，可以得到各期的最优组合投资金额向量：
"!（#("）)"!（#）($!（#） （*）
即：第#("期的最优投资组合金额由第#期初的持有金额和在第#期的调整金额组成，前期的投资金额
将影响后期的投资金额取值。但是如果调整后的净收益小于调整前的净收益，即：
"
&’"
%("
｛"%（#("）"%（#("）+)%（#("）!%（#("）+#%（#("）#$%（#("）#｝
$"
&’"
%("
｛"!%（#）"%（#("）+)%（#("）!%（#("）+#%（#("）#$%（#("）#｝
（"!）
则不做调整，即令：
$!%（#）)!，"!%（#("）)"!%（#）
从而得到调整金额矩阵：
*!（#）)
$!"（"） $!"（,） ⋯ $!"（#）
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
$!&("（"） $!&("（,） ⋯ $!&("（#
%
&
’
(）
（""）
该矩阵直接反映出各期投资者所持有的各种资产投资金额的变化过程，其中每一行反映了从第一期
到第#期对同一种资产的金额调整，每一列反映了在同一投资期内对不同种类资产的调整金额。
, 实证分析
为了说明模型的有效性，本文选取“上证"-!”中十支股票：浦发银行、中国石化、海信电器、清华同方、
长江通信、青岛啤酒、浦东金桥、青岛海尔、伊利股份、广州股份，由其每周数据（,!!,+!"!,!!.+!/）得到收
益率的观测值，且选取无风险资产为同期银行活期存款。样本数据每半年为一期共三期，假设是首次投
资，拥有资金总额为"!!（万元），持有各种资产金额均为!，无风险利率为""")!+!"0,，风险资产的固定
交易费用均为!（在中国），单位交易费率均为!+/0,，123)［!+,，"+0，,］，"!)［,+00，+,，4］。
计算得出前三期的周平均收益率分别为：
"（"）)［!+!!05 !+!!5* !+!!54 !+!!0* +!+!!4. !+!!50 !+!!*5 +!+!!.! !+!"./ !+!!,/］-；
"（,）)［+!+!,.4 +!+!!-" +!+!"0" +!+!".0 +!+!"5" +!+!!"- +!+!"". +!+!"45 ++!+!"45 +!+!!44］-；
"（.）)［!+!""! !+!"!- !+!!-0 !+!!"5 !+!!"0 !+!!/4 !+!!"4 !+!!,4 !+!",, !+!""-］-；
第一期的协方差阵和协偏矩阵分别为：
")
!+!!,, !+!!"4 !+!!"0 !+!!"0 !+!!"0 !+!!"5 !+!!,! !+!!", !+!!"5 !+!!".
!+!!"4 !+!!"/ !+!!"4 !+!!"5 !+!!"0 !+!!"4 !+!!,. !+!!". !+!!"5 !+!!""
!+!!"0 !+!!"4 !+!!.- !+!!,! !+!!"- !+!!"5 !+!!.. !+!!"4 !+!!". !+!!"0
!+!!"0 !+!!"5 !+!!,! !+!!45 !+!!.5 !+!!"0 !+!!./ !+!!," !+!!", !+!!"4
!+!!"0 !+!!"0 !+!!"- !+!!.5 !+!!4/ !+!!"" !+!!.. !+!!"- !+!!", !+!!!*
!+!!"5 !+!!"4 !+!!"5 !+!!"0 !+!!"" !+!!"- !+!!"* !+!!"" !+!!"" !+!!".
!+!!,! !+!!,. !+!!.. !+!!./ !+!!.. !+!!"* !+!!0* !+!!,0 !+!!., !+!!,!
!+!!", !+!!". !+!!"4 !+!!," !+!!"- !+!!"" !+!!,0 !+!!"5 !+!!", !+!!"!
!+!!"5 !+!!"5 !+!!". !+!!", !+!!", !+!!"" !+!!., !+!!", !+!!4- !+!!""
!+!!". !+!!"" !+!!"0 !+!!"4 !+!!!* !+!!". !+!!,! !+!!"! !+!!"" !+
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(!!"5
/!"第5期 荣喜民，等：基于偏度的多期组合投资调整模型
万方数据
!!""##$##%!
#"#&"’ #"#("% #"#’&" #"##() #"#"(* #"#(+( #"#*+’ #"#%,% #"#*() #"#,*’
#"#&*" #""""& #"#(%( #""#") #""#," #"#(), #""%), #"#&() #""")" #"#(,,
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#"#+#) #"#,#( #""##, #"#*’) #"##)% #""#*+ #"#)() #"#’%" $#"##(# #"
"
#
$
%"#’"
求解模型（$）得到：!（"）!#"#%,,，&%（"）!%"*+#’；
&!（"）!［# ",""*&’ #"###% #"###’ # *"(%&+ )"")&’% # "+"*(() # **",,#(］’；
同样可以求出第二期的累积偏度、净收益、调整金额向量分别为：
!（*）!$#"#%)’，&%（*）!$""""%’；
&!（*）!［# $+"+’(" $#"###% $#"###’ # $*"(%,( $"("+’(" # $)"+’(" # %’"%’)*］’；
若按上期投资金额、本期各证券期望收益率，则&%(（*）!$%")+()’&%（*）!$""""%’，因此本期应做调
整，得到本期投资金额向量为：
!!（*）!［#"#### ,"",*) #"#### #"#### #"#### #"##"% *’"#*+* #"#### "*"%"#% #"#### ’&""%)&］’；
第三期的累积偏度、净收益、调整金额向量分别为：
!（%）!#"#%)+，&%（%）!)""&))；
&!（%）!［)",))% #"&,"& #"##&& #"##&# ""%,"( #"##(" $"&"+"(& # "’"#+,% "#"#*+# $"*"’#(,］’；
同上计算，&%(（%）!$#"#’’+’&%（%）!)""&))，则得到调整后的本期投资金额向量：
!!（%）!［)",))% &"#))* #"##&& #"##&# ""%,"( #"##,) +"""*) #"#### *,")#,( "#"#*+# )’"(*&"］’；
这样，前三期的最优投资组合的调整金额矩阵为：
)!（%）!
#"#### ",""*&’ #"###% #"###’ #"#### *"(%&+ )"")&’% # "+"*(() #"#### **",,#(
#"#### $+"+’(" $#"###% $#"###’ #"#### $*"(%,( $"("+’(" # $)"+’(" #"#### %’"%’)*
)",))% #"&,"& #"##&& #"##&# ""%,"( #"##(" $"&"+"(& # "’"#+,% "#"#*+# $"*"
"
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%’#(,
’
；
最优投资组合的投资金额矩阵为：
*!（%）!
#"#### ",""*+# #-###% #-###’ #-#### *-(%&+ )"-+&’% #-##"# "+-*(() #-#### *#-’"%%
#-#### ,-",*) #-#### #-#### #-#### #-##"% *’-#*+* #-#### "*-%"#% #-#### ’&-"%)&
)-,))% &-#))* #-##&& #-##&& "-%,"( #-##,) +-"
"
#
$
%"*) #-#### *,-)#,( "#-#*+# )’-(*&"
’
；
从结果可以看到，每期的偏度高达#"#%##以上，是一个不可忽略的数字。而且通过矩阵的行和列，投
资者可以清楚地看到对各种资产投资金额的变化情况。
% 结论
本文研究了多期投资组合问题，并把偏度引入模型，同时考虑到在买卖风险资产时交易费用对投资收
益的影响，投资者应该在每一个交易日都对其资产组合进行调整，以确保在每一期的开始都建立起符合需
要的最优资产组合，这对投资者的连续投资行为具有一定的指导作用。
（下转第&,页）
&#" 运 筹 与 管 理 *##’年第")卷
万方数据
! 结束语
本文的研究表明，对于城乡结合部内的特定地域单元，其地域特征属性与地域空间位置不完全一致，
反映了城乡结合部地域边界的不规则性和交错性。与现有的地域范围划分相比，本文提出的城乡结合部
地域特征属性界定的现实意义在于，可根据界定结果分析地域单元的问题、原因及发展方向，为有针对性
地制定加快城乡结合部全面、协调、可持续发展的策略提供依据。应用本文提出的城乡结合部地域特征属
性界定方法时，应根据当地外来人口的分布规律确定其隶属函数，还应进一步完善评价指标体系，特别是
要增加生态环境方面的评价指标。
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万方数据
