统计与决策 !""#年 $月!下"
摘 要!在 %&’()*+,- 建立了有名的均值方差投资组合模型的基础上!本文引入偏度水平!并用
伸缩指标相应做出均值"方差和偏度三个模糊目标!形成一类新的非线性多目标投资组合模型!使投
资组合模型更具有效性和科学性#本文还通过一个实例进行了分析$
关键词!投资组合模型.模糊优化.偏度
中图分类号!"!/!0/ 文献标识码12 文章编号!/""!3#45$"!""##"$6""7$6"!
基于均值#方差和偏度的投资
组合模糊优化模型
肖冬荣!黄 静
!南京信息工程大学 信息与通信系$南京 !/""44"
!! !引言
在充满风险和机会的证券市场中$ 无论是个人还是机
构8在进行证券投资时8总是以投资资金的流动性和安全性为
前提$合理运用资金$以期使投资风险最小$投资收益最大%
&现代投资组合’创始人马可维奇9:&’’; %&’()*+,-</=>!
年发表了金融投资的里程碑文章 (资产组合选择)$ 并在
/=>= 年发表了同名专著8从而奠定了现代组合投资的理论基
础% 在得到夏普和米勒对这一理论的进一步发展和完善之
后$这一理论成为现代投资的光辉理论$他们三人因此而荣
获 /==" 年诺贝尔经济学奖% 在此基础上8学者们考虑影响投
资组合的不同因素建立了各种不同的投资组合模型和优化
算法% ?@,A’B&’( 运用模糊决策原理对投资组合的目标和约
束模糊化$进而提出了一个动态投资组合管理模型 C/D% EF&GH
在可能性均值方差基础上考虑了模糊数的一类上!下"可能
性均值方差概念$建立了一类加权可能性证券组合投资选择
模型C!D%以上学者都是在 %&’()*+,- 的均值***方差模型上引
入模糊决策理论%然而$这种考虑是有局限性的$现在大量的
证据说明证券市场是非线性的$并且已有学者开始考虑投资
组合中证券价格的偏度问题$得出对偏度的考虑可以提高传
统的均值I方差投资组合的有效性的结论%因此$本文提出了
一个同时考虑均值#方差和偏度的模糊多目标投资组合选择
模型%
"! !以均值#方差和偏度为目标的投资组合模
型
从很多研究可知偏度的重要性和偏度存在的合理性$同
时也看到了对偏度的考虑可以提高传统的 %&’()*+,- 均值方
差投资组合的有效性 C7D% 因此$本文直接考虑均值#方差和偏
度8这样可以形成投资者的一致意见% 下面给出这个多目标
投资组合选择模型的数学形式%
假设投资者已选择 G 种有价证券进行投资$’+9+J/8!8+8G<
为第 + 种有价证券的持有期的收益率$令
K+JL9’+<M !+!JN&’9’+<%
假设第 + 种有价证券的投资权重为 *+9+J/8!8+ 8O<8那么
投资组合的总收益 K#总风险 P 和投资组合收益的偏度水平
Q 分别为
KJ
G
+ J /
!*+K+
PJN&’9
G
+ J /
!*+’+<J
G
+ J /
!
G
R J /
!*+!+R*R
QJLC
G
+ J /
!*+9’+3K+<S7
其中 !+RJL9’+IK+<9’RIKR<$由投资组合理论8可以知道投资者
一般总是希望期望收益和期望偏度最大化$而希望收益的方
差9风险水平<最小化$即
B&T KJ
G
+ J /
!*+K+
B&T QJLC
G
+ J /
!*+9’+IK+<S7
B+G PJN&’9
G
+ J /
!*+’+<J
G
+ J /
!
G
R J /
!*+!+R*R 模型9/<
@U,
G
+ J /
!*+J/
""*+"/9+J/8!8UUG<
考虑了投资组合的偏度水平$并把偏度水平#均值和方
差并列考虑$对于有价证券市场来说$是合理的$也是与实际
相符合的% 按以上的方法对模型进行求解8所涉及的变量都
理 论 新 探
!"
万方数据
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是取确定的数值#但在实际中$投资者往往容许期望收益%偏
度水平和方差有一定的伸缩$并对其解予以认同# 为此将模
糊集合的概念引入投资组合模型中%并将模型的 & 个目标均
值%偏度水平和方差分别进行模糊化处理#
!! !模糊环境下的投资组合模型
下面给出一个同时以均值%方差和偏度为目标的模糊多
目标投资组合模型$并用隶属函数对这三个目标进行模糊化
处理#
目标均值的隶属函数 ’( ’)*
+,-.,/!!0
目标偏度水平隶属函数 ’. ’)*
!"!!0
目标风险的隶属函数 ’. ’)*
!"!!#
其中 *3’4!%&$)* 为第 * 个目标的伸缩指标!)*!""$越重
要的目标$其伸缩指标越小#
令5
6
3,
6
"1
6
"2
6
$称5
6
为多目标投资组合模型的模糊目
标$令 7 为可行解集$对问题而言$有&
根据模糊决策&7
6
378 5
6
模糊最优解&9-$9-应满足
7
6
:9-;3 <=>
9#?
:7:9;$5
6
:9;;3 <=>
9%?
5
6
:9;
上述模糊最优解 9-$就是5
6
:9;在可行解集 7 上的最大
值点# 令5
6
:9;3,
6
:9;$1
6
:9;$2
6
:9;3!$求模糊最优解 9-的问
题可以转化为&
<=> !
’. ’)*
:,-.,;!!
’. ’)*
:; ’)*
!!
@4A ’. ’)*
:;!! :*3’4!4&; 模型:!;
9’B9!B9&3’
9’49!49&4!!"
!&’
我们通过求解模型!!"得出根据投资者意愿的证券投资
最优比例以及均值%方差%偏度的最优值#
"! !算例
设有 & 个证券 ’4!4&4 收益率分别是 CD4&ECD和 ’ECDF方
差分别为 G4! 和 !F协方差为 "’!3"EC4"’&3."EC4"!&3.!E"F偏度分
别为 !4.’ 和 ’F协偏度分别为 1’’!3"E!41’!!3."E&41’’&3"E’41’&&3.
"E!41!!&3."EG41!&&3"E#F9’49!49&分别为证券 ’4!4& 的投资比例#
由模型:’/$我们得到如下的模型
<=> C>’B&EC>!B’EC>&
H>’ .>! B>& B"E#>’!>! .’E!>!!>& B"E&>’!>& B"E&>’!>& ."EI>’>!! .
"E#>’>&!B’EH>!>&!
.G>’!.!>!!.!>&!."EC>’>!B"EC>’>&B!>!>&
@EAE
9’B9!B9&3’
9’49!49&4!!
’ "
引入隶属函数$取 )’3)!3)&3’$经过化简得到模型如下&
<=> !
C>’B&EC>!B’EC>&B!&C
H>’ .>! B>& B"E#>’!>! .’E!>!!>& B"E&>’!>& ."EI>’>!! ."E#>’>&! B
’EH>!>&!B!&H
@EA .G>’!.!>!!.!>&!."EC>’>!B"EC>’>&B!>!>&B!&G
9’B9!B9&3’
9’49!49&4!!"4!&’
这是一个带约束多目标的非线性模型$为求出此模型的
解$我们利用 JKLMKN 软件优化工具箱中 O<*PQRP 函数进行
计算会比较方便 SGT# 当伸缩指标取不同值时$得到如下的结
果&
)’ )! )& 9’- 9’- 9&- !-
’ ’ ’ "E’!’I "EG’#H "EG#’& "E$C’"
"E’ C ’" "E&!## "EC""" "E’$&G "E $$"’
"E! "E"’ ! "E!G$# "EC&#I "E!’CC "E#!""
"E’ "E! "E& "EG"$’ "E&!’$ "E!$’! "EH"C#
对应的均值%偏度和方差的最优值如下&
!- ,- 1- 2-
"E$C’" !E$CC$ ’E"G$& "EGGGG
"E $$"’ &E#G&’ !E!’IG "EH##$
"E#!"" &EGG"G ’ECH!& "E$!&"
"EH"C# &EC#H! &E!"GH "EHC!H
#! !结论
本文鉴于对偏度的考虑可以提高传统的均值.方差投资
组合的有效性$形成了一个同时考虑均值%方差和偏度的多
目标投资组合选择模型# 由于在现实证券市场中$有诸多因
素的影响且有些因素难以确切描述$具有模糊性# 对此引入
模糊概念$可以根据投资人不同伸缩指标得出不同的模糊目
标$从而得出问题的最优解#
参考文献!
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