第!!卷 第"期 运 筹 与 管 理 #$%&!!，’$&"
())(年!)月 *+,-./0*’1-,1,.-23.’45.’.6,5,’/120,’2, *78&，())(
收稿日期：())(9)"9!:
作者简介：刘力维（!;<)9），男，南京人，副教授，硕士生导师，主要从事军事运筹学，随机格斗理论，随机服务系统的研
究；郭治，男，教授，博士生导师，主要从事多目标决策与火力控制系统的研究。
一类多对一随机格斗的获胜概率
刘力维!， 郭 治(
（!&南京理工大学 理学院，江苏 南京(!));=；(&南京理工大学 信息学院，江苏 南京(!));=）
摘 要：本文研究多对一搜索型随机格斗模型，求出了计算格斗双方各自获胜概率的实用公式。
关键词：随机格斗；获胜概率；毁伤概率
中图分类号：*(!!>< 文章标识码：. 文章编号：!))?9@((!（())(）)"9))@)9)<
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1#4=*)2/：L8$7GJL8C7NME%；DCPPCPUIK$VJVC%C8S；OC%%IK$VJVC%C8S
) 引言
自!;<@年，/KET$KWC%%CJRL与2&X&.P7GEK，XK&率先在“*IEKJ8C$PL-ELEJK7G”发表文献［!］
后，随机格斗逐渐成为（军事）运筹学的一个重要研究领域。有关该领域的研究文章主要发表
在*IEKJ8C$PL-ELEJK7G，’JTJ%-ELEJK7GA$UCL8C7YMJK8EK%S等著名杂志上。由于研究起步较晚，
所以随机格斗理论还不很完善。本文考虑: 对!搜索型随机格斗模型中求解双方获胜概率
的问题（所谓搜索型随机格斗是指格斗双方至少有一方处于隐蔽状态，另一方需先搜索对方，
发现后才能射击），本文首先提出搜索型随机格斗的概念以及对这种模型的研究。显然，这种
格斗模型更符合实际情况。
万方数据
! 条件假设
设格斗的双方为!方及"方。!方有#（#!!）件同类武器，"方只有一件武器；!方
在格斗初始时刻先要搜索"方，发现目标后所有武器立刻准备向"方射击；"方在格斗初始
时刻就可发现!方。由于!方武器是同类型的，因而"方（不存在射击策略选择问题）可任
选!方一件武器射击，击毁后再转向其它目标射击。
设!方发现"方所需时间是一取正值的随机变量!；! 方任一件武器（同类型）第$"!
次射击到第$次射击所需时间间隔随机变量"$!（$#!，$，⋯）相互独立同分布，并用相同的随
机变量"!表示（不影响概率的计算）；"方第$"!次射击到第$次射击所需时间间隔随机变
量"$"（$#!，$，⋯）也相互独立同分布，并用""表示；!方任一件武器一次射击毁伤"方的概
率为一相同常数%!（另记&!#!"%!），"方一次射击毁伤!方一件武器的概率为常数%"。
$ 分布的假设
对发现目标所需时间随机变量!和双方射击时间间隔随机变量"! 与""，本文均采用指
数分布的假设。具体写出就是
’!（(）#
#%"#( (!&
& ("
#
$
% &
，’"!（(）#
)!%")!( (!&
& ("
#
$
% &
，’""（(）#
)"%")"( (!&
& ("
#
$
% &
（!）
’ 一对一基本型随机格斗
考虑一个基本型一对一随机格斗模型。设!方与"方在时刻(#&时开始格斗，双方在
格斗初始时刻就可发现对方（或者说不考虑发现目标这一因素），双方各自射击时间间隔"!
与""都服从指数分布（见（!）式）。文献［!］研究了这种格斗模型，并得到下面二个结论
引理! 在上述条件下，一对一基本型随机对抗中双方毁伤对方所需时间分别服从参数
为%$)$（$#!，"）的指数分布。即若把对方看成不还击的被动目标时，!、"方毁伤对方所需
时间*$（$#!，"）的密度函数分别为
’*!（(）#%!)!%
"%!)!( (!&，’*"（(）#%")"%
"%")"( (!& （$）
引理" 在引理!条件假设下，格斗双方的获胜概率分别为
+（!）#+｛*!"*"｝#
%!)!
%!)!(%")"
，+（"）# %"
)"
%!)!(+")"
（’）
) 一对一格斗状态转移速率（或强度）
设随机变量,为毁伤对方某件武器所需的时间，假设它服从参数为$的指数分布，即
’-（(）#
$%"$( (!&
& ("
#
$
% &
!’第*期 刘力维，等：一类多对一随机格斗的获胜概率
万方数据
记!（"）!!｛#!"｝，它表示在"时前毁伤对方该件武器的概率。现计算该武器直到"时还生
存，但在［"，""!"］内被毁伤的概率。由指数分布的无记忆性知
!｛""#!""!"##$"｝!!（!"）!#$%$"!"!"!""$（!"）
因此参数"表示在"时毁伤对方某件武器的转移速率或强度。再记#%!&%’%（%!(，)），并与
（&）式相比较可知：#(为(方一件武器（在"时）毁伤)方的速率；#)为)方毁伤(方一件武
器的的速率。同样，（#）式中的参数$是(方发现)方的速率。
’ 多对一格斗状态转移速率
再考虑一种* 对一随机格斗问题（*!#，&，⋯，+）。设双方在格斗初始时刻就可发现对
方（不考虑发现目标这一因素）。记,%（%!#，&，⋯，*）为(方第%件武器与)方形成一对一
基本型格斗时，该件武器毁伤)方所需时间。由（&）知
-,%（"）!&(’(%
$&(’("!#(%
$#(" "%(，%!#，⋯，* （)）
从而* 对一格斗中，(方毁伤)方所需时间*+,（,#，,&，⋯，,*）。
定理! 在（)）式假设下，*+,（,#，,&，⋯，,*）服从参数为*#(的指数分布。
证明 由于*+,（,#，,&，⋯，,*）是* 个相互独立的指数分布随机变量的最小值，由归
纳法容易求出它还服从指数分布，其密度函数为
-*+,（"）!*#(%$*#(" "%(，*!#，⋯，+ （’）
因此，(方* 件武器（在"时）毁伤)方的速率为*#(。
. 搜索型随机格斗的获胜概率
现在来求+ 对一搜索型随机格斗模型中双方各自的获胜概率。设在格斗开始时，( 方
无法观察到)方，因此(方先要搜索目标，发现后所有武器立刻准备射击。)方可以观察到
(方，格斗开始就准备射击。
（#）一对一搜索型随机格斗
首先考虑最简单情形：一对一搜索型随机格斗。
定理" 一对一搜索型随机格斗中，(、)双方各自的获胜概率分别为
!(（#：#）!
$#(
（$"#)）（#("#)）
，!)（#：#）!#)
#
$"#)
" $（$"#)）（#("#)［ ］） （.）
证明 整个格斗过程有)种状态，状态#$：#表示格斗初始状态：(方没有发现)方，)方
发现(方；状态#：#表示双方互相发现，形成一对一格斗；状态(：#表示)方毁伤(方，)方
获胜；状态#：(表示( 方毁伤) 方，( 方获胜。其中，状态#$：#转移到状态#：#的速率
"#$：#&#：#!$；状态#
$：#转移到状态(：#的速率为"#$：#&(：#!#)；状态#：#转移到状态#：(的速
率为"#：#&#：(!#(；状态#：#转移到状态(：#的速率为"#：#&(：#!#)。由于毁伤时间,( 和,)
均为连续型随机变量，所以双方同时毁伤对方的概率!｛,(!,)｝!(。换句话说，这种情形
可不予考虑。
记!%（"）为到时刻"时，格斗处于状态%的概率（%!#
$：#，#：#，#：(，(：#）。利用状态转移
&/ 运 筹 与 管 理 &((&年第##卷
万方数据
图! 一对一搜索型格斗状态转移示意图
"#$! %&’()*+,-.)/*(#.+.-.+’01’),2,0.+’32*4,(*(’
图，可列出下列方程：
!!5：!（"6!"）7!!5：!（"）5"!5：!!8：!!"!!5：!（"）5"!5：!!!：!!"!!5：!（"）6#（!"）
!!：!（"6!"）7!!：!（"）6"!5：!!!：!!"!!5：!（"）5"!：!!8：!!"!!：!（"）5"!：!!!：8!"!!：!（"）6#（!"）
!8：!（"6!"）7!8：!（"）6"!5：!!8：!!"!!5：!（"）6"!：!!8：!!"!!：!（"）6#（!"）
!!：8（"6!"）7!!：8（"）6"!：!!!：8!"!!：!（"）6#（!"）
将上面方程分别移项、除以!"，并令!"!8，得
3!!5：!（"）／3"75"!5：!!8：!!!5：!（"）5"!5：!!!：!!!5：!（"）75（#6$$）!!5：!（"）
3!!：!（"）／3"7#!!5：!（"）5$$!!：!（"）5$%!!：!（"）
3!8：!（"）／3"7$$!!5：!（"）6$$!!：!（"）
3!!：8（"）／3"7$%!!：!（"）
（9）
两边同取:*;4*<’变换（记为&），由:*;4*<’变换的性质
&［3!’（(）／)(］7(&［!’（(）］5!’（8）’7!
5：!，!：!，!：8，8：!
及初始条件 !!5：!（8）7!， !’（8）78 ’7!：!，!：8，8：!
得（记&［!’（(）］7&’，’7!
5：!，!：!，!：8，8：!）
(&!5：!5!75（#6$$）&!5：! (&!：!7#&!5：!5（$%6$$）&!：!
*&8：!7$$（&!5：!6&!：!） (&!：87$%&!：!
（=）
解之
&!5：!7!／（(6#6$$） &!：!7
#
（(6#6$$）（(6$%6$$）
&!：87
#$%
(（(6#6$$）（(6$%6$$）
&8：!7$
$
(
!
(6#6$$
6 #（(6#6$$）（(6$%6$$［ ］）
（>）
记!+（,：!），+7%，$，,7!，?，⋯，- 为, 对一搜索型随机格斗中+方的获胜概率。由
:*;4*<’变换的性质得［9］
!%（!：!）74#/
"!@
!!：8（"）74#/
(!8
(&!：8（(）74#/
(!8
(&!：87
#$%
（#6$$）（$%6$$）
（!8）
!$（!：!）74#/
"!@
!8：!（"）74#/
(!8
(&8：!7$$
!
#6$$
6 #（#6$$）（$%6$$［ ］） （!!）
可以验证：!%（!：!）6!$（!：!）7!。
AA第B期 刘力维，等：一类多对一随机格斗的获胜概率
万方数据
（!）二对一搜索型随机格斗
定理! 二对一搜索型随机格斗中，!、"双方各自的获胜概率分别为
#!（!："）#
!!"!
（!$""）（!"!$""）
$
!"!""
（!$""）（"!$""）
（ "
!$""
$ "!"!$""
） （"!）
#"（!："）#"!"
"
（!$""）!
$ !（!$""）!（"!$""）
$ !（!$""）（"!$""）（!"!$""［ ］） （"%）
证明 根据状态转移图，容易写出下列微分方程组
图! 二对一搜索型格斗状态转移示意图
&’(! )*+,-./’2/21,5267+-08062/+,.,+
9#!:："（$）／9$#:#!:："!":："#!:："（$）:#!:："!!："#!:："（$）#:（""$!）#!:："（$）
9#!："（$）／9$#!#!:："（$）:（!"!$""）#!："（$）
9#":："（$）／9$#""#!:："（$）:（!$""）#":："（$）
9#"："（$）／9$#!#":："（$）$""#!："（$）:（"!$""）#"："（$）
9#;："（$）／9$#""#":："（$）$""#"："（$）
9#!：;（$）／9$#!"!#!："（$） 9#"：;（$）／9$#"!#"："（$）
<.=4.>+变换后得
%&!:：":"#:（!$""）&!:：" %&!："#!&!:：":（!"!$""）&!："
%&":："#""&!:：":（!$""）&":：" %&"："#!&":："（$）$""&!：":（"!$""）&"："
%&;："#""&":："$""&"：" %&!：;#!"!&!：" %&"：;#"!&"："
解之
&!:："#"／（%$!$""）
&!："#
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（%$!$""）（%$!"!$""）
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?% 运 筹 与 管 理 !;;!年第""卷
万方数据
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（"#"#!$）（"#$!##!$［ ］）
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"（"#"#!$）（"#$!##!$）
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"（"#"#!$）（"#!##!$）
（ !
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# !"#$!##!$
）
双方的获胜概率分别为
%#（$：!）"&’(
&!)
［%$：%（&）#%!：%（&）］"&’(
"!%
（"!$：%#"!!：%）
" $"!（"#!$）（$!##!$）
#
"!#!$
（"#!$）（!##!$）
（ !
"#!$
# !$!##!$
）
%$（$：!）"&’(
&!)
%%：!（&）"&’(
"!%
"!%：!
"!$$
!
（"#!$）$
# "（"#!$）$（!##!$）
# "（"#!$）（!##!$）（$!##!$［ ］）
同样能够验证：%#（$：!）#%$（$：!）"!。
继续考察三对一搜索型随机格斗模型，还可得到
定理! 三对一搜索型随机格斗中，$方的获胜概率为
%$（*：!）"!*［$ !（"#!$）*#
"
（"#!$）*（!##!$）
# "（"#!$）$（!##!$）（$!##!$）
# "（"#!$）（!##!$）（$!##!$）（*!##!$ ］） （!+）
比较（!!）、（!*）、（!+）式可以得出
定理" ’ 对一搜索型随机格斗中，$方的获胜概率为
%$（’：!）"!’$
!
（"(!$）’
( ""(!$"
’
)*!
!
（"(!$）’+)#
)
,*!
（,!#(!$
$
%
&
’）
（!,）
#方的获胜概率为 %#（’：!）"!-%$（’：!） （!.）
参考文献
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［I］《现代应用数学手册》编委会;现代应用分析卷［P］;北京：清华大学出版社，!FFG;
,*第,期 刘力维，等：一类多对一随机格斗的获胜概率
万方数据
