概 率 论
主讲人：戴平生
关于《概率论》
一、课程的意义特点
《概率论》是数学、统计学专业本科生的基础课，是认识、刻画、分析各种随机现象的入门课程。
无论是股市涨跌，还是某类事故发生，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。例如，“抓阄”就是运用不确定性来进行公平分配的常用办法。因此《概率论》具有明显的实际背景和广阔的应用范围，另一方面又和数学的诸多分支有密切的联系。
关于《概率论》
二、概率论产生的背景 一般认为概率论的产生源于赌博。说到概率论有两个“赌徒”常被提及，一个是文艺复兴时期意大利的医生、数学家卡尔达诺，他第一个有意识地计算赌博胜算，他计算同时掷出两个骰子，出现的可能最多的数字是“7”。
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另一个是17世纪的法国贵族德.梅勒，他在一次骰子赌博中，有急事必须中途停止赌博。双方各出的30个金币的赌资要靠对胜负的预测进行分配，但不知用什么样的比例分配才算合理。德.梅勒写信向当时法国的最具声望的数学家帕斯卡请教。帕斯卡又和当时的另一位数学家费尔马长期通信。于是，一个新的数学分支—概率论产生了。
关于《概率论》
三、 课程的学习目的 学习《概率论》的目的是对随机现象有充分的感性认识和比较准确的理解，初步掌握处理不确定性事件的理论和方法。主要内容包括：随机事件；概率空间，随机变量及其分布；独立性，数学期望和方差，大数定律和中心极限定理等。本课程以《数学分析》和《高等代数》为先修课。
第一章 随机事件与概率
§ 随机事件及其运算
§ 概率的定义及其确定方法
§ 概率的性质
§ 条件概率
§ 独立性
§ 随机事件及其运算
一、随机现象
自然现象大体可分为确定性现象（必然现象）和不确定现象（以随机现象为主）两大类。概率论与数理统计研究的对象是随机现象。
1、随机现象:在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。
2、随机试验:在相同条件下可以重复进行的随机现象又称为随机试验。
§ 随机事件及其运算
随机现象具有两个特点：
(1)结果不止一个；
(2)哪一个结果出现，人们事先并不知道。
随机试验满足以下三个条件：
(1)在相同条件下可以重复进行；
(2)每次试验的可能结果不止一个，但事先可以知道试验的所有可能结果；
(3)一次试验之前不能确定出现的是哪个结果。
§ 随机事件及其概率
二、样本空间
1、概念
随机现象一切可能的基本结果组成的集合称样本空间， 记为Ω={ω}，其中ω表示基本结果，又称为样本点。
列出随机现象的样本空间很重要。
2、类型及分类
样本空间至少两个样本点，可以是数也可以不是数。样本点有限个或可列个称为离散样本空间；样本点不可列称为连续样本空间。
§ 随机事件及其概率
三、随机事件
1、随机事件：随机现象的某些样本点的集合称为随机事件，简称事件。可用维恩图表示。随机事件是样本点的某个集合，事件发生是指当且仅当属于该集合的某一样本点在试验中出现。
2、基本事件：由样本空间Ω中单个元素组成的子集称为基本事件。
3、必然事件：样本空间Ω的最大子集(即Ω本身)称为必然事件。
4、不可能事件：样本空间Ω的最小子集(即空集Φ)称为不可能事件。
§ 随机事件
四、随机变量
用来表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母X,Y,Z表示。很多事件都可以用随机变量表示，表示时应写明随机变量的含义。
事件有三种表示法：
⑴用集合表示；⑵用语言准确表达；
⑶用随机变量表示
§ 随机事件
五、事件间的关系
1、事件的包含：如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A；记B⊃A。
2、事件的相等：如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，则事件A等于事件B。
3、事件的互不相容：事件A与事件B不可能同时发生。
§ 随机事件
六、事件运算
1、事件的并：事件A和B至少有一个发生，构成的新天地事件称为事件的并；记A⋃B。
2、事件的交：两个事件A、B同时发生，构成的新事件称为事件的交；记A⋂B，或AB。
3、事件的差：事件A发生而事件B不发生，构成的新事件称为事件的差；记A-B。
4、对立事件：事件A的对立事件是指由样本空间中所有不属于A的样本点组成的集合。即A不发生。记
§ 随机事件
5、完备事件组：如果事件A1,…,An为两两互不相容的事件，且A1+…+An=Ω，则称A1,…,An构成一个完备事件组。
6、事件的运算性质
⑴交换律
⑵结合律
⑶分配律
⑷对偶律
§ 随机事件及其运算
Ω
A
B
A+B
Ω
A
B
B⊃A
Ω
Ω
Ω
Ω
B
B
A
A
A
B
AB
A-B
AB=Φ
A
B
§ 随机事件
七、事件域
1、概念：事件域是指样本空间中某些“可测”子集组成的集合类，记为F。
定义 设Ω为一样本空间，F为Ω的某些子集所组成的集合类。如果F满足：
⑴
⑵
⑶
则称F为一个事件域，又称为σ代数。
