� � 第 28卷 � 第 3期 � 吉首大学学报(自然科学版) Vol. 28� No. 3 � �
� � 2007年 5月 Journal of Jishou University ( Natural Science Edit ion) May. 2007 � �
文章编号: 1007- 2985( 2007) 03- 0035- 05
一类风险模型破产概率上界估计及随机分析�
钟朝艳1 ,何树红2
( 1. 曲靖师范学院数学系, 云南 曲靖 � 655011; 2.云南大学数学与统计学院, 云南 昆明 � 650091)
摘 � 要:在利率具有二阶自回归相依结构的假设下,研究了一类考虑保费、理赔支付时间的离散时间风险模型的破产
概率上界的估计,通过鞅方法导出了破产概率的上界, 并与经典离散时间风险模型导出的破产概率上界作了比较和随机模
拟分析.
关键词:离散时间风险模型; 二阶自回归相依结构; 破产概率;上界; 随机模拟
中图分类号: F224. 7 � � � � � � 文献标识码: A
自Geber H[ 1]用鞅方法完成了对Lundberg不等式的证明,鞅方法逐渐成为估计破产概率上界的有力工
具. Cai J[ 2]在利率具有一阶自回归相依结构的情形下, 通过更新递推技巧研究了离散时间风险模型的广义
Lundberg 不等式. 钟朝艳[ 3]用鞅方法导出了一类利率具有一阶自回归相依结构的离散时间风险模型的破
产概率上界.苏锦霞等[ 4]在利率具有二阶自回归相依结构的假设下, 通过积分方程导出了一类离散时间风
险模型的破产概率上界.笔者通过构造鞅的方法导出文献[ 4]中所考虑离散时间风险模型的破产概率上
界,并进一步将这里导出的破产概率上界与保费随机化后的经典离散时间风险模型导出的上界作了比较
和随机模拟分析.
1 � 模型的描述
建立具有二阶自回归相依利率结构的离散时间风险模型[ 4] :假定 u为保险公司的初始准备金,保费在
每一期的期初收取, 理赔在每一期的期末支付,则在时刻 n( n = 0, 1, 2, �) ,保险公司的累积盈余为
Un ( u) = ( Un- 1 ( u) + X n ) ( 1+ I n ) - Yn . ( 1)
其中: u = U0 ( u) ; {Xn : n = 1, 2, �} 和{ Yn : n = 1, 2, �} 是独立同分布的非负随机变量序列,它们分别表
示[ n - 1, n) 时间区间内(或者说第 n期) 保险公司的保费收入和理赔支出; { In : n = 1, 2, �} 是第 n期的
利率,是具有二阶自回归相依结构的非负随机变量序列,即 I n ( n = 1, 2, �) 满足
In = �I n- 1 + �I n- 2 + Wn � � n = 1, 2, �.
其中: 0 � � � �< 1, 表明间隔时间越长, 对后期利率影响也就越小; I 0 = i 0 > 0, I- 1 = i- 1 > 0均为常数,
并约定对 m > k , �k
n = m
( 1+ In ) = 1; { Wn : n = 1, 2, �} 是独立同分布的非负随机变量序列. { Wn : n = 1, 2,
�} , {Xn : n = 1, 2, �} , { Yn : n = 1, 2, �} 相互独立.
假定{X n : n = 1, 2, �} , { Yn : n = 1, 2, �} , { Wn : n = 1, 2, �} 各自的共同分布函数为 FX ( x ) = Pr{X 1
� x } , FY ( y ) = Pr{ Y1 � y } , FW ( w ) = Pr{ W1 � w } .
� 收稿日期: 2006- 09- 28
作者简介:钟朝艳( 1970- ) ,女,云南呈贡人, 曲靖师范学院数学系讲师,硕士,主要从事金融数学研究; 何树红( 1966- ) ,
男,云南玉溪人,云南大学数学与统计学院教授,博士,主要从事金融数学研究.
保险公司的盈余首次小于0的时刻T = inf
n
{ n: n > 0, Un ( u) < 0} , 称为风险模型( 1) 的破产时刻. 若
对 n = 1, 2, �, Un � 0, 则 T = � . 破产时刻 T 是一个停时.
用 �( u , i0 , i- 1 ) = Pr{ ��
n = 1
( Un ( u) < 0) } = Pr{T ( u ) < � } ,表示 u, i 0 , i- 1已知条件下风险模型( 1) 的
破产概率.用 �n ( u , i0 , i- 1 ) = Pr{ �n
k= 1
( Uk ( u) < 0) } = Pr{T ( u) � n} ,表示 u , i0 , i - 1已知条件下风险模型
( 1) 的有限时间 n 内的破产概率.
2 � 主要结论
定义 1[ 5] � B( x ) 是一个非负随机变量的分布函数且满足 B ( 0) = 0, 对于任意的 x � 0和 y � 0,
�B ( x ) �B ( y ) � �B ( x + y ) ( �B ( x ) �B ( y ) � �B ( x + y ) ) 均成立,其中 �B( x ) = 1- B ( x ) ,则称分布函数 B( x )
属于NWU( NBU) 分布族.
根据定义 1,指数分布的分布函数既是NBU又是NWU的.
定理 1 � 对风险模型( 1) ,若 B1 是NWU, B2 是NBU, 并且 B1 和 B2 满足对 0 < � � 1都有
E [
�B 2 ( �X 1 )
�B 1 ( �Y11 + W1 )
] � 1, ( 2)
则
�( u , i0 , i - 1 ) � �0 ( u) E [ �B 2 ( X 1 )�B 1 ( Y11 + �i 0 + �i - 1 + W1 )
] ,
其中 �- 10 ( x ) = inf
y�0
�B 2 ( y )�B1 ( x + y ) , x �0.
证明 � 设 A n = �B 2 ( c n )�B 1 ( dn ) , 其中
cn = �n
k= 1
( X k �k- 1
t= 1
( 1+ I t )
- 1
) , dn = �n
k= 1
( Yk �k
t= 1
( 1 + I t )
- 1
) � � n = 1, 2, �.
当 b < a时,约定 �b
t= a
( 1+ I t )
- 1
= 1.
由NWU和 NBU分布的定义可得,
A n+ 1 =
�B2 ( cn + X n+ 1 �n
t= 1
( 1 + I t )
- 1
)
�B 1 ( dn + Yn+ 1 �n+ 1
t = 1
( 1+ I t )
- 1
)
� A n
�B 2 ( Xn+ 1 �n
t= 1
( 1+ I t )
- 1
)
�B 1 ( Yn+ 1 �n+ 1
t= 1
( 1 + I t )
- 1
)
.
记 Fn = �{X 1 , X 2 , �, Xn , Y1 , Y2 , �, Yn , W1 , W2 , �, Wn} ,那么对任意 n � 1,
E [ A n+ 1 | Fn ] � A nE [
�B 2 ( X n+ 1 �n
t = 1
( 1 + I t )
- 1
)
�B1 ( Yn+ 1 �n+ 1
t= 1
( 1+ I t )
- 1
)
| Fn ] =
A nE [
�B 2 ( X n+ 1 �n
t= 1
( 1+ I t )
- 1
)
�B 1 ( Yn+ 1 �n
t= 1
( 1+ I t )
- 1
( 1 + �I n + �I n- 1 + Wn+ 1 ) - 1 )
| Fn ] �
A nE [
�B2 ( Xn+ 1 �n
t= 1
( 1 + I t )
- 1
)
�B 1 ( Yn+ 1 �n
t= 1
( 1+ I t )
- 1
( 1 + Wn+ 1 )
- 1
)
| Fn ] .
36 吉首大学学报(自然科学版) 第 28卷
因为 1+ I t � 1, 0 < �n
t= 1
( 1+ I t )
- 1 � 1,且 Xn+ 1 , Yn+ 1 , Wn+ 1 独立于 Fn , �n
t= 1
( 1+ I t )
- 1关于 Fn 可测,所以由
条件( 2) 可知,
E[
�B 2 ( X n+ 1 �n
t = 1
( 1 + I t )
- 1
)
�B 1 ( Yn+ 1 �n
t= 1
( 1 + I t )
- 1
( 1+ Wn+ 1 )
- 1
)
| Fn ] � 1.
故 E [ A n+ 1 | Fn ] � A n ,即{A n , n � 1} 关于{ Fn , n � 1} 是一个上鞅.
风险模型( 1) 的破产时刻 T 是一个停时, T �1,因此 T � n = min{T , n} 是一个有限停时.由上鞅的
停时定理[ 6] 可知,
E [ AT � n ] � E[ A 1 ] = E [ �B 2 ( X 1 )�B1 ( Y11+ �i 0 + �i- 1 + W1 )
] .
又因为 �n ( u, i 0 , i- 1 ) = Pr{ �n
k= 1
( Uk ( u) < 0) } = Pr{ T � n} = E [ I ( T � n) ] ,其中 I (�) 为示性函数,所以
E [
�B2 ( X1 )
�B1 ( Y1
1+ �i0 + �i- 1 + W )
] � E [ A T �n ] � E [ AT � nI ( T � n ) ] = E [ A TI ( T � n) ] = � � �
E [
�B 2 ( cT )�B1 ( dT ) I ( T � n ) ] � E [
�B2 ( cT )�B1 ( u + cT ) I ( T � n) ] . ( 3)
( 3) 式成立是因为 u + cT > dT ,故
E [
�B 2 ( X 1 )
�B1 ( Y11+ �i0 + �i- 1 + W1 )
] � E [ �B 2 ( cT )�B 1 ( u + cT ) I ( T � n) ] � �
- 1
0 ( u) E [ I ( T � n) ] =
�- 10 ( u ) �n ( u, i 0 , i- 1 ) ,
从而
�n ( u, i 0 , i- 1 ) � �0 ( u) E[ �B 2 ( X 1 )�B 1 ( Y11 + �i 0 + �i- 1 + W )
] .
令 n � � ,即可得
�( u, i 0 , i - 1 ) � �0 ( u) E[ �B 2 ( X 1 )
�B 1 ( Y11 + �i 0 + �i- 1 + W )
] .
证毕.
在( 2) 式中选择合适的 B 1和 B2 , 可以得到破产概率 �( u , i0 , i- 1 ) 的广义Lundberg型上界.
定理 2 � 若存在常数 R1 > 0,满足
E[ e
- R
1
( X
1
-
Y
1
1+ W
1
)
] = 1, ( 4)
则对于 u � 0,有
�( u, i 0 , i- 1 ) � E[ e- R1( u+ X1-
Y
1
1+ �i
0
+ �i
- 1
+ W
1
)
] .
证明 � 在( 2) 式中取 �B1 ( x ) = �B 2 ( x ) = e- R1 x , 那么 �0 ( x ) = e- R1 x .由 Jensen不等式和( 4) 式可得, 对
任意 0 < � � 1,
E[
�B 2 ( �X 1 )
�B 1 ( �Y11 + W1 )
] = E [
e
- R
1
�X
1
e
- R
1
(
�Y
1
1+ W
1
)
] = E [ e
- R
1
( X
1
-
Y
1
1+ W
1
) �
] = E[ e
- R
1
( X
1
-
Y
1
1+ W
1
)
]
� �
( E[ e
- R
1
( X
1
-
Y
1
1+ W
1
)
] )
�
= 1.
37第 3 期 � � � � � � � � � � � 钟朝艳, 等:一类风险模型破产概率上界估计及随机分析
再由定理 1易知结论成立.
引理1 � 若 E[ X1 ] > E [ Y1 ] , R1满足定理2中的定义, R0是保费随机化后的经典模型的调节系数, 即
满足 E[ e- R0( X1- Y1) ] = 1的最小正数, 则 R1 � R0 .
证明 � 考虑以下二函数的凸性:
f ( r ) = E [ e
- r ( X
1
-
Y
1
1+ W
1
)
] - 1, g ( r ) = E[ e
- r( X
1
- Y
1
)
] - 1.
因为 f�( r ) = E [ ( X 1 - Y11+ W1 )
2
e
- r ( X
1
-
Y
1
1+ W
1
)
] � 0, g�( r ) = E [ ( X 1 - Y1 ) 2 e- r( X 1- Y1 ) ] � 0,所以 f ( r ) ,
g ( r ) 都是凸函数.
又因为 f ( 0) = 0, g ( 0) = 0, f�( 0) = E [ Y1
1 + W1
- X 1 ] < 0, g�( 0) = E [ Y1 - X 1 ] < 0, 所以若 R 1 > 0,
R0 > 0存在,它们是唯一的,并且若存在某个 r > 0且 g ( r ) �0,则 r � R0 . 而 g( R1 ) = E [ e- R1( X1- Y1 ) ] -
1 � E[ e- R1( X1- Y11+ W1 ) ] - 1 = 0,故 R1 � R0 .
定理 3 � 对任意 u � 0,有
E[ e
- R
1
( u+ X
1
-
Y
1
1+ �i
0
+ �i
- 1
+ W
1
)
] � e- R0 u .
证明 � E [ e- R1( u+ X1- Y11+ �i0+ �i- 1+ W1) ] � E[ e- R1( u+ X 1-
Y
1
1+ W
1
)
] = e
- R
1
u
E [ e
- R
1
( X
1
-
Y
1
1+ W
1
)
] = e
- R
1
u � e- R0 u .
定理 3充分显示了利率对破产概率上界的影响,利率的存在降低了破产的概率.
3 � 随机模拟分析
随机模拟分析在保险精算中的用途非常广泛,特别是在由于费用和时间上均难以对风险进行大量的
实测, 也由于实际风险的损失后果严重而不能进行实测,很难计算出破产概率的真实的值的时候, 随机模
拟更突显了其独特的作用.
在这一部分,主要对经典离散风险模型和风险模型( 1) 的破产概率进行模拟, 并将风险模型( 1) 得到
的破产概率与通过公式所计算出的破产概率的上界进行比较,来说明利率对破产概率上界的影响 � � � 利
率的存在降低了破产的概率.
随机模拟时,作如下假设: ( 1) 为了简便起见, 都假定 Xn = 1, n �1; ( 2) 重复 5 000次不同的破产模拟
试验, 每一次取 5 000个时间段,在这个时间段内如果没有破产, 就认为不会破产, 因而真实的破产概率要
比模拟的稍大; ( 3) 求调节系数时利用相应的矩母函数,当期望较复杂时,用样本均值代替期望表达式, 样
本数取5 000; ( 4) 都假定 Y1 服从参数 �= 1的指数分布, 此时 Y1 的分布函数属于NWU与NWB.
每一次破产模拟试验的基本步骤如下: ( 1) 确定模拟模型; ( 2) 设计试验方法; ( 3) 根据假设的概率分
布重复生成模型需要的随机数; ( 4) 分析结果.
每一次破产随机模拟试验时,对风险模型( 1) 假定当 �= 0. 4, �= 0. 1, i 0 = 0. 02, i- 1 = 0. 03, W1服从
[ 0. 01, 0. 1] 上的均匀分布.
先对经典离散风险模型和风险模型( 1) 的破产概率进行随机模拟分析,具体模拟结果如表1所示.
表 1� 不同初始准备金下 2 种模型的破产概率的随机模拟值
u 值 u = 1 u = 1. 5 u = 2 u = 2. 5 u = 3 u = 3. 5 u = 4
经典离散风险模型 0. 288 6 0. 267 6 0. 243 4 0. 211 0 0. 187 6 0. 167 6 0. 145 8
风险模型( 1) 0. 169 6 0. 142 2 0. 092 0 0. 072 4 0. 050 2 0. 034 6 0. 026 2
再将风险模型( 1) 通过模拟得到的破产概率与通过公式计算出的破产概率上界进行比较, 具体结果
如表 2所示. 当 �= 0. 4, �= 0, 1, i 0 = 0. 02, i- 1 = 0. 03, W1 服从[ 0. 01, 0. 1] 上的均匀分布时,可求得 R1
= 0. 109 4.
38 吉首大学学报(自然科学版) 第 28卷
表 2� 不同初始准备金时的破产概率上界及破产概率的随机模拟值
u 值 u = 1 u = 1. 5 u = 2 u = 2. 5 u = 3 u = 3. 5 u = 4
估计值 0. 895 3 0. 847 7 0. 802 5 0. 759 8 0. 719 4 0. 681 1 0. 644 8
模拟值 0. 169 6 0. 142 2 0. 092 0 0. 072 4 0. 050 2 0. 034 6 0. 026 2
从表 1和表 2可以看到: ( 1) 在同一初始准备金条件下, 2种模型随机模拟的破产概率不断变化,呈下
降趋势,充分说明了利率对破产概率有不可忽视的影响,人们不得不重视它; ( 2) 风险模型( 1) 通过公式计
算出的破产概率上界平均稳定在随机模拟的破产概率的 5 ~ 8倍, 但因为真实的破产概率要比模拟的稍
大,所以这个倍数还会小一些; ( 3) 保险公司的初始准备金越充盈, 对 2种模型随机模拟的破产概率就越
小,其估计的破产概率上界也越小,这就要求保险公司根据自己公司的发展战略, 确定一个合理的初始准
备金水平.
参考文献:
[ 1] � GERBER H. An Introduction to Mathematical Risk Theory [ M] . Philadelphia: University of Pennsylvania, 1979.
[ 2] � CAI J. Ruin Probabilities with Dependent Rates of Interest [ J] . J. Appl. Prob. , 2002, 39( 2) : 312- 323.
[ 3] � 钟朝艳.一类离散时间风险模型破产概率上界的估计 [ J] .曲靖师范学院学报 , 2006, 25( 3) : 33- 35.
[ 4] � 苏锦霞,赵学靖, 李效虎.利率具有二阶自回归相依结构情形下的破产概率 [ J] . 兰州大学学报(自然科学版) , 2004, 40
( 4) : 1- 4.
[ 5] � YANG H. Non-Exponential Bounds for Ruin Probability with Interest Effect Included [ J] . Scandinavian Actuarial Journal, 1999, ( 1) :
66- 79.
[ 6] � 樊平毅.随机过程理论与应用 [ M] .北京: 清华大学出版社, 2005.
Analysis of Stochastic and Estimation of Upper Bound for
Ruin Probability of a Risk Model
ZHONG Chao-yan
1
,HE Shu-hong
2
( 1. Mathematics Department, Qujing Normal University, Qujing 655011, Yunnan China; and
Statistics College, Yunnan University , Kunming 650091, Yunnan China)
Abstract: This paper investigates the estimation of upper bound for ruin probability of a discrete t ime risk mode under
the assumpt ion that the rate interest is dependent upon the second autoregressive-correlat ion structure. By using the
martingale methods, the upper bound of ruin probability is obtained. And then it compares the upper bound for ruin
probability of the classical discrete risk model and of the model above. Finally, the analysis of stochastic simulation for
the upper bound of ruin probability and for ruin probability are gained.
Key words: discrete time risk model; autoregressive-correlation structure of order 2; ruin probability; upper bound; sto-
chastic simulation
(责任编辑 � 向阳洁)
39第 3 期 � � � � � � � � � � � 钟朝艳, 等:一类风险模型破产概率上界估计及随机分析
