一 随 机 事 件
二 事件间的关系与运算
三 频 率 与 概 率
§1 随 机 事 件 的 概率
目录索引
第一章 概率论的基本概念
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我们称之为随机现象，概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科。
一 、 随 机 事 件
比如： 降水 概率为 30% ，
某强队对弱队 赢球 的概率为 80% ，
某个固定群体中 男女比例 为 54：46 ；
在生活当中，经常接触到事件的概率，
这种在个别实验中其结果呈现出不确定性；
在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象，
第一章 概率论的基本概念
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E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。
E2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现 的情况。
E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。
E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。
这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。 其典型的例子有：
随机试验（Experiment ）
第一章 概率论的基本概念
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E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。
这些实验具有以下特点：
可以在相同的条件下重复进行；
每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的所有可能结果；
进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。
第一章 概率论的基本概念
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样本空间(Space)
定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合
称为 E 的样本空间， 记为 S 。样本空间的
元素，即 E 的每个结果，称为样本点。
S1 : { H , T }
S2 : { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT }
S3 : { 0, 1, 2, 3 }
S4 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
第一章 概率论的基本概念
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S5 : {0,1,2,3……}
S6 : { t | t 0 }
S7 : { ( x , y ) | T 0 x , y T1 }
E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。
第一章 概率论的基本概念
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定义：
随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件；
基本事件 : 有一个样本点组成的单点集；
必然事件 : 样本空间 S 本身；
不可能事件 : 空集。
随 机 事 件
我们称一个随机事件发生当且仅当它所包
含的一个样本点在试验中出现．
第一章 概率论的基本概念
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例如：S2 中事件 A={HHH,HHT,HTH,HTT}
表示 “第一次出现的是正面”
S6 中事件 B1={t|t1000}
表示 “灯泡是次品”
事件 B2={t|t 1000}
表示 “灯泡是合格品”
事件 B3={t|t1500}
表示“灯泡是一级品”
第一章 概率论的基本概念
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10 包含关系
二 、 事件间的关系与运算
20 和事件
30 积事件
40 差事件
50 互不相容
60 对立事件
S
A
B
第一章 概率论的基本概念
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S
A
B
S2 中事件
A={HHH,HHT,HTH,HTT}, B={HHH,TTT}
20 和事件
30 积事件
第一章 概率论的基本概念
S
A
B
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S
A
B
A
S
40 差事件
第一章 概率论的基本概念
A
B
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S6 : { t | t 0 }中
事件A ={ t | t 1000} “次品”
事件B ={ t | t 1000} “合格品”
事件C ={ t | t 1500} “一等品”
0 1000 1500
次品
一等品
第一章 概率论的基本概念
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S
B
S
A
50 互不相容
60 对立事件
第一章 概率论的基本概念
A
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随机事件的运算规律
幂等律:
交换律:
第一章 概率论的基本概念
结合律:
分配律:
De Morgan定律:
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三 、 频 率 与 概 率
1） 频率的定义和性质
定义 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这
n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为
事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件
A 发生的频率，并记成 fn(A) 。
第一章 概率论的基本概念
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第一章 概率论的基本概念
它具有下述性质:
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251 249 256 253 251 246 244
2 ） 频率的稳定性
nA
fn(A)
n=500时
实 验 者
德•摩根
蒲 丰
K •皮尔逊
K •皮尔逊
n nH fn(H)
2048
4040
12000
24000
1061
2048
6019
12012
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频 率 稳 定 值 概率
事件发生
的频繁程度
事件发生
的可能性的大小
频率的性质
概率的公理化定义
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3） 概率的定义
定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于
E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为
称为事件 A 的概率，要求集合函数 满足
下列条件：
第一章 概率论的基本概念
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4 ） 概率的性质与推广
S
A
B
第一章 概率论的基本概念
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S
A
B
S
A
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重 要 推 广
S
B
A
第一章 概率论的基本概念
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加法公式的推广
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§2 等可能概型与几何概型
目 录 索 引
等可能概型（古典概型）
几何概型
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生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：
样本空间的元素只有有限个；
每个基本事件发生的可能性相同。
1． 等可能概型（古典概型）
比如：足球比赛中扔硬币挑边，围棋比赛中猜先。
我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概
率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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e1
…
…
ek
A
3
4
北
南
西
东
e2
…
…
en
2
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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设 S ={e1, e2, …en }, 由古典概型的等可能性，得
}.
{
}
{
}
{
2
1
n
e
=P
e
P
e
P
L
=
=
又由于基本事件两两互不相容；所以
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A ={e1, e2, …ek },
则有 ：
例 1 将一枚硬币抛掷三次。设：
事件 A1为“恰有一次出现正面”，
事件 A2为“至少有一次出现正面”，
求 P (A1 ), P (A2 )。
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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解：根据上一节的记号，E2 的样本空间
S2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT},
n = 8，即 S2 中包含有限个元素，且由对称性
知每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型。
A1为“恰有一次出现正面”，
A1={HTT, THT, TTH},
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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事件 A2为“至少有一次出现正面”，
A2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH }
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 2 一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只
红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考
虑两种取球方式：
放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放
回袋中， 搅匀后再取一球。
不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二
次从剩余的球 中再取一球。
分别就上面两种方式求：
1）取到的两只都是白球的概率；
2）取到的两只球颜色相同的概率；
3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。
设 A= “ 取到的两只都是白球 ”，
B= “ 取到的两只球颜色相同 ”，
C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。
有放回抽取:
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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无放回抽取:
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 3 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去，
求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。
解： 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有
而每个盒子中至多放一只球, 共有
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出：
“在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的概率为 %。
n
p
20 23 30 40 50 64 100
经计算可得下述结果：
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例4 设有 N 件产品，其中有 D 件次品，今从中任
取 n 件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?
又 在 D 件次品中取 k 件，所有可能的取法有
在 N-D 件正品中取 n-k 件, 所有可能的取法有
解：在 N 件产品中抽取 n 件，取法共有
不放回抽样
1）
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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于是所求的概率为：
此式即为超几何分布的概率公式。
由乘法原理知：在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k
件次品的取法共有
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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2） 有放回抽样
从N件产品中有放回地抽取n件产品进行排列，可能的排列数为 个，将每一排列看作基本事件，总数为 。
而在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k件次品的取法共有
于是所求的概率为：
此式即为二项分布的概率公式。
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 5 在 1~2000 的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概率是多少？
解：设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”， B 为
“取到的整数能被 8 整除”，则所求的概率为：
为：6，12，18…1998 共 333 个，
所以能被 6 整除的整数
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除”
于是所求的概率为：
其中 B ={8, 16, … 2000 }, AB = {24, 48 …1992 }，
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 6 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去，这
15 名新生中有 3 名是优秀生。问：
(1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？
(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？
解：15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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(1) 将 3 名优秀生分配到 3 个班级，使每个班级都有一名优秀生的分法共有 3! 种。其余 12 名新生平均分配到 3 个班级中的分法共有
每个班各分配到一 名优秀生的分法总数为：
于是所求的概率为：
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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三名优秀生分配在同一班级内
其余12名新生，一个班级分2名，另外两班各分5名
(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率为：
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 7 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已
知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的。问
是否可以推断接待时间是有规定的？
解：假设接待站的接待时间没有规定，各来访
者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么
，12 次接待来访者都在周二、周四的概率为:
212/712=，
即千万分之三。
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 8 袋中有 a 只白球，b 只黑球．从中任意
取出 k 只球，试求第 k 次取出的球是黑球的
概率．
解： 设：A=“第 k 次取出的球是黑球”
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 9 一部10卷文集，将其按任意顺序排放在书架上试求其恰好按先后顺序排放的概率．
解：设 A={ 10卷文集按先后顺序排放 }
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例10 同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率：
A={ 5 颗骰子不同点 }；
B={ 5 颗骰子恰有 2 颗同点 }；
C={ 5 颗骰子中有 2 颗同点，另外 3 颗同是另一个点数}．
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例10（续）
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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例 11 从 1～9 这 9 个数中有放回地取出 n 个数，试求取出的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率．
解：A ={取出的 n 个数的乘积能被 10 整除}；
B={ 取出的 n 个数至少有一个偶数 }；
C ={取出的n 个数至少有一个 5 } ．
则 A=B∩C
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
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二 几何概型
几何概型考虑的是有穷多个等可能无结果的随机试验。
首先看下面的例子。
例 1 (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 5
点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去
设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，
且二人互不影响。求二人能会面的概率。
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，于是
即 点 M 落在图中的阴影部
分。所有的点构成一个正
方形，即有无穷多个结果。
由于每人在任一时刻到达
都是等可能的，所以落在正
方形内各点是等可能的。
0 1 2 3 4 5
y
x
5
4
3
2
1
.M(X,Y)
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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二人会面的条件是：
0 1 2 3 4 5
y
x
5
4
3
2
1
y-x =1
y-x = -1
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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一般，设某个区域 D (线段，平面区域，空间区域），具有测 度 mD(长度，面积，体积)。如果随机实验 E 相当于向区域内任意地取点，且取到每一点都是等可能的，则称此类试验为 几何概型。
如果试验 E 是向区域内任意取点，事件 A 对应于点落在 D 内的某区域 A，则
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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例 2 (蒲丰投针问题）平面上有一族平行线。其中任何相邻的两线距离都是 a (a>0) 。向平面任意投一长为 l (l<a) 的针，试求针与一条平行线相交的概率。
l
M
x
解 ：设 x 是针的中点 M 到最近的平行线的距离， 是针与此平行线的交角，投针问题就相当于向平面区域 D 取点的几何概型。
M
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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x
D
A
0
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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思考题
1) 某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电 台报时， 求他等待的时间不超过 10 分钟的概率。 (1/6)
2 ) 在线段 AD 上任意取两个点 B、C，在 B、C 处折断此线段 而得三折线，求此三折线能构成三角形的概率。(1/4)
3 )甲、乙两船停靠同一码头，各自独立地到达，且每艘 船在一昼夜间到达是等可能的。若甲船需停泊 1小时，乙 船需停泊 2小时，而该码头只能停泊一艘船。试求其中一 艘船要等待码头空出的概率。 ()
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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4) 在区间 ( 0, 1 ) 中随机地取两个数，求下列事件的概率：
(1) 两个数中较小(大)的小于 1/2 ； (3/4, 1/4)
(2) 两数之和小于 3/2 ； (7/8)
(3) 两数之积小于 1/4 。 ()
第一章 概率论的基本概念
几何概型
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§3 条 件 概 率
一 条 件 概 率
二 乘 法 定 理
三 全概率公式和贝叶斯公式
目 录 索 引
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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一 条 件 概 率
条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。
它所考虑的是事件 A 已经发生的条件下事件 B
发生的概率。
吸烟有害健康
S
AB
B
A
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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条 件 概 率
设A、B是某随机试验中的两个事件，且
则称事件B在“事件A已发生”这一附加条件下的
概率为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率
，简称为B在A之下的条件概率，记为
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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例 1 盒中有4个外形相同的球，它们的标号分别
为1、2、3、4，每次从盒中取出一球，有放
回地取两次．
则该试验的所有可能的结果为
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
其中(i,j)表示第一次取i号球，第二次取j号球
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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设A={ 第一次取出球的标号为 2 }
B={ 取出的两球标号之和为 4 }
则事件B所含的样本点为
(1,3) (2,2) (3,1)
因此事件B的概率为:
若我们考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率并记此概率为:
由于已知事件A已经发生，则该试验的所有可能结果为
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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注：由例1可以看出，事件在“条件A已发生这附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的．
因此，有必要引入下面的定义：
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
这时，事件B是在事件A已经发生的条件下的概率，因此这时所求的概率为
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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称为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率，简称为B在A之下的条件概率。
在例 1 中，我们已求得
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
设A、B是某随机试验中的两个事件，且
则
还可求得
故有
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条件概率的性质：
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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例 2已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率．
则
所以
解：设 A={ 3个小孩至少有一个女孩 }
B={ 3个小孩至少有一个男孩 }
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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两个事件的乘法公式
由条件概率的计算公式
我们得
这就是两个事件的乘法公式．
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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多个事件的乘法公式
则有
这就是n个事件的乘法公式．
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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例 4 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了n次都未取出黑球的概率．
解：
则
由乘法公式，我们有
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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例 5 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落 下时打破的概率为 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为 7/10 ,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为 9/10 。求透镜落下三次而未打破的概率。
解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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全概率公式和贝叶斯公式
S
A1
A2
An
…...
BA1
BA2
…...
BAn
定义 设 S 为试验 E 的样本空间，
为 E 的一组事件。若满足
(1)
(2)
则称 为
样本空间 S 的一个划分。
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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全 概 率 公 式：
设随机事件
满足：
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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全概率公式的证明
由条件：
得
而且由
A1
A2
An
…...
BA1
BA2
…...
BAn
S
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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全概率公式的证明（续）
所以由概率的可列可加性，得
代入公式（1），得
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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全概率公式的使用
我们把事件B看作某一过程的结果，
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
而且每一原因对结果的影响程度已知，
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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例6 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为、、、，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率．
解：
由全概率公式，有
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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Bayes 公 式
设随机事件
满足
则
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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Bayes公式的使用
我们把事件B看作某一过程的结果，
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
而且每一原因对结果的影响程度已知，
如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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例 8 用某种方法普查肝癌，设：
A={ 用此方法判断被检查者患有肝癌 }，
D={ 被检查者确实患有肝癌 }，
已知
现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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例 8（续）
解：
由已知，得
所以，由Bayes公式，得
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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例 9
袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，求掷出3点的概率．
解：
设：B={ 取出的球全是白球 }
则由Bayes公式，得
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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例9（续）
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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例 10 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。
元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额
1
2
3
S
B1
B2
B3
A
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 （1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它是次品的概率。
（2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取到的是次品试分析此次品出自那家工厂的可能性最大。
解 ： 设 A 表示“取到的是一只次品”，Bi ( i= 1,2,3)表示“取到的产品是由第 i家工厂提供的”,
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
例10（续）
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元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额
1 ×
2 ×
3 ×
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
例10（续）
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元件制造厂
1 ×
2 ×
3 ×
B1
B2
B3
A
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
例10（续）
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第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
例10（续）
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例 11 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时，其合格率为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？
机器调整得良好
产品合格
机器发生某一故障
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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解 ：
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
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§4 独 立 性
独 立 性
习 题 课
目录索引
第一章 概率论的基本概念
§4 独立性
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例 1
袋中有 a 只黑球，b 只白球．每次从中取出一球，取后放回．令：
A={ 第一次取出白球 }，
B={ 第二次取出白球 }，
则
第一章 概率论的基本概念
§4 独立性
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例 1（续）
所以，由
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§4 独立性
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说 明
由例 1，可知
这表明，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是没有影响的，即事件 A 与 B 呈现出某种独立性．事实上，由于是有放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的黑球与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出白球的概率自然也未改变．
由此，我们引出事件独立性的概念
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事件独立性的定义
设 A、B 是两个随机事件，如果
则称 A 与 B 是相互独立的随机事件．
事件独立性的性质：
1）如果事件A 与 B 相互独立，而且
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2）必然事件S与任意随机事件A相互独立；
不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立．
证明：由
证明： 由于事件 A 与 B 相互独立，故
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§4 独立性
可知必然事件S 与任意事件 A 相互独立；
可知不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立.
由
3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则
也相互独立.
解：为方便起见，只证
相互独立即可．
由于
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§4 独立性
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注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。
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例 2
设事件 A 与 B 满足：
若事件 A 与 B 相互独立，则 AB≠Φ；
若 AB =Φ，则事件 A 与 B 不相互独立．
证明：
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由于AB =Φ，所以
但是，由题设
这表明，事件 A 与 B 不相互独立．
第一章 概率论的基本概念
§4 独立性
此例说明：互不相容与相互独立不能同时成立。
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例 3（不独立事件的例子）
袋中有 a 只黑球，b 只白球．每次从中取出一球，
取后不放回．令：
A={ 第一次取出白球 }，
B={ 第二次取出白球 }，
则
所以，
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§4 独立性
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因此
这表明，事件 A 与事件 B 不相互独立．事实上，由于是不放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数变化了，并且袋中的黑球与白球的比例也发生变化了，这样，在第二次摸出白球的概率自然也应发生变化．或者说，第一次的摸球结果对第二次摸球肯定是有影响的．
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三个事件的独立性
设A、B、C是三个随机事件，如果
则称A、B、C是相互独立的随机事件．
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注 意
在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不
可的．即：前三个等式的成立不能推出第四个等
式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出
前三个等式的成立．
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例 4
袋中装有 4 个外形相同的球，其中三个球分别涂有
红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜
色．现从袋中任意取出一球，令：
A={ 取出的球涂有红色 }
B={ 取出的球涂有白色 }
C={ 取出的球涂有黑色 }
则：
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由此可见
但是
这表明，A、B、C这三个事件是两两独立的，但不是相互独立的．
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n个事件的相互独立性
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§4 独立性
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说 明
在上面的公式中，
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§4 独立性
独立随机事件的性质
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若 是相互独立的事件，则
相互独立事件至少发生其一的概率的计算
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注 意
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3）
2）
1）
n
例5 如果构成系统的每个元件的可靠性均为r，0<r<1.且各元件能否正常工作是相互独立的，试求下列系统的可靠性：
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解：1）每条通路要能正常工作，当且仅当该通路上的各元件都正常工作，故可靠性为
2）通路发生故障的概率为 ，两条通路同时发生故障的概率为 故系统的可靠性为
即附加通路可使系统可靠性增加。
3）每对并联元件的可靠性为
系统由每对并联的元件串联组成，故可靠性为
由数学归纳法可证明当
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例 6 设有电路如图，其中 1, 2, 3, 4 为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为通路的概率。
L
R
2
1
3
4
解 ： 设事件 Ai( i=1,2,3,4 ) 为“第 i 个继电器接点闭合”, L 至 R 为通路这一事件可表示为：
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由和事件的概率公式及 A1, A2, A3, A4的相互独立性，得到
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例 7 要验收一批 ( 100 件) 乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地抽取 3 件测试 ( 设 3 件乐器的测试是相互独立的），如果至少有一件被测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。设一件音色不纯的乐器被测试出来的概率为 ，而一件音色纯的乐器被误测为不纯的概率为 。如果这件乐器中恰有 4 件是音色不纯的，问这批乐器被接受的概率是多少？
纯、纯、纯
纯、纯 、纯 接受
p
p
p
不纯、 纯、 纯
q
纯、 纯 、纯 接受
p
p
H1：
H0：
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§4 独立性
H2：
p ==, q ==
解：以 Hi ( i=0,1,2,3 )表示事件“随机取出的 3 件乐器中恰有 i 件音色不纯”，以 A 表示事件“这批乐器被接受”，即 3 件都被测试为音色纯的乐器。由测试的相互独立性得 ：
不纯、 纯、 不纯
q
纯、 纯 、纯 接受
p
q
不纯、不纯、 不纯
q
纯、 纯 、纯 接受
q
q
H3：
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§4 独立性
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p==, q==
纯、纯 、纯
纯、纯 、纯
接受
不纯、纯 、纯
纯、纯 、纯
接受
不纯、纯 、不纯
纯、纯 、纯
接受
都 不 纯
纯、纯 、纯
接受
H0 H1 H2 H3
p
p
p
q
q
q
q
q
q
p
p
p
第一章 概率论的基本概念
§4 独立性
另外，按照超几何分布的概率计算公式得：
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一.独立随机试验
§5 n重贝努里概型
二.n次相互独立试验
§5 n重贝努里概型
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三.n次相互独立试验的例子
掷n次硬币，可看作是n次独立试验；
某射手对同一目标射击n次，可看作是n次独立试验；
观察n个元件的使用寿命，可看作是n次独立试验．
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§5 n重贝努里概型
例 1
三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中目标
的概率分别为，，．若有一门火炮击中
目标，目标被摧毁的概率为；若两门火炮击中
目标，目标被摧毁的概率为；若三门火炮击中
目标，目标被摧毁的概率为．试求目标被摧毁
的概率．
解：设：B ={ 目标被摧毁 }
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§5 n重贝努里概型
由全概率公式，得
而
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§5 n重贝努里概型
所以
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§5 n重贝努里概型
四.Bernoulli 试验
如果随机试验 E 只有两个结果，则称E为Bernoulli试验．
Bernoulli 试验的例子
掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面”两种结果，
因此“掷一枚硬币”可看作是一次Bernoulli试验．
掷一颗骰子，有六种结果．但如果我们只关心“出现六
点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷一颗骰子”也
可以看作是Bernoulli试验．
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§5 n重贝努里概型
Bernoulli 试验的例子
对同一目标进行一次射击，若只考虑“击中目标”与“未击中目标”两种情况，则“同一目标进行一次射击”是Bernoulli试验．
在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆车”这两种情况，这也是Bernoulli试验．
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§5 n重贝努里概型
n重Bernoulli 试验
若独立重复地进行n次Bernoulli试验，这里“重复”是指每次试验中事件 A 发生的概率（即每次试验中“成功”的概率）不变，则称该试验为 n 重Bernoulli 试验．
n重Bernoulli 试验的例子
掷n次硬币，可看作是一 n 重 Bernoulli试验．
掷 n 颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心“出现六点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷 n 颗骰子”也可以看作是一 n 重 Bernoulli试验．
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§5 n重贝努里概型
n重Bernoulli 试验的例子
对同一目标进行n次射击，若每次射击只考虑“击中目标”与“未击中目标”两种情况，则“同一目标进行n次射击”是一n重Bernoulli试验．
在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆车”这两种情况，这是一次Bernoulli试验．若独立重复地做该试验 n 次，则它是一n重Bernoulli试验．
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§5 n重贝努里概型
n重Bernoulli 试验中的样本点
n重Bernoulli 试验中的每一个样本点可记作
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§5 n重贝努里概型
例 2
将一枚硬币掷 5 次，可看作是一5重Bernoulli试验
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§5 n重贝努里概型
n重Bernoulli 试验中基本事件的概率
设在n重Bernoulli 试验中，
是一个样本点．
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§5 n重贝努里概型
例 3
将一枚硬币掷 5 次，可看作是一5重Bernoulli试验
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§5 n重贝努里概型
n重Bernoulli 试验中恰好成功k次的概率
设在n重Bernoulli 试验中，
现考虑事件
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§5 n重贝努里概型
n重Bernoulli 试验中恰好成功k次的概率
而对于每一种指定好的方法，由前面的讨论可知样本点
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§5 n重贝努里概型
注 意
由二项式定理，我们有
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§5 n重贝努里概型
例 4
设在N件产品中有M件次品，每次从中任意取出一
件，有放回地取n次．试求取出的n件产品中恰有k
件次品的概率．
解：
B={ 取出的n件产品中恰有k件次品 }
每取一次只有两种结果：
因此每取一次产品可看作是一次Bernoulli试验
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§5 n重贝努里概型
例 4（续）
并且，
因此，有放回地取 n 件产品可看作是一个 n 重
Bernoulli试验．由前面的讨论，可知
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§5 n重贝努里概型
例 5
一大批产品的次品率为，现从中取出10
件．试求下列事件的概率：
B={ 取出的10件产品中恰有4件次品 }
C={ 取出的10件产品中至少有2件次品 }
D={ 取出的10件产品中没有次品 }
解：
取10件产品可看作是一10重Bernoulli试验．
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§5 n重贝努里概型
例 5（续）
所以，
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§5 n重贝努里概型
例 6
对同一目标进行射击，设每次射击的命中率均
为，问至少需进行多少次射击，才能使至少命
中一次目标的概率不少于？
解：
设需进行n次射击，才能使至少命中一次目标的概率不少于．
B={ n次射击至少命中一次目标 }
进行n次射击，可看成是一n重Bernoulli试验．
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§5 n重贝努里概型
例 6（续）
则有
由题意，得
所以，有
取对数，得
所以，有
即至少需进行12次射击，才能使至少命中一次目
标的概率不少于．
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§5 n重贝努里概型
例 7
某病的自然痊愈率为 ，某医生为检验某种新药
是否有效，他事先制定了一个决策规则：把这药给
10 个病人服用，如果这 10 病人中至少有4 个人痊
愈，则认为新药有效；反之，则认为新药无效．求：
⑴ 新药有效，并且把痊愈率提高到 ，但通过试验却被否定的概率．
⑵新药完全无效，但通过试验却被判为有效的概率．
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§5 n重贝努里概型
例 7（续）
解：
给10个病人服药可看作是一10重Bernoulli试验．
⑴ 若新药有效，则
此时若否定新药，只有在试验中不到4人痊愈．因此
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§5 n重贝努里概型
例 7（续）
⑵ 由于新药无效，则
此时若肯定新药，只有在试验中至少有4人痊愈．因此
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§5 n重贝努里概型
说 明
在例 7 的第一问中，该医生把有用的药给否定了，这种错误在统计学中称为第Ⅰ类错误（弃真错误），犯这类错误的概率称为Ⅰ类风险；
在例 7 的第二问中，该医生把无用的药给肯定了，这种错误在统计学中称为第Ⅱ类错误（取伪错误），犯这类错误的概率称为Ⅱ类风险；
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§5 n重贝努里概型
1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关
系及运算。
2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性
质。
3 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率
公式和贝叶斯公式。
4 给出了随机事件独立性的概念，会利用事件
独立性进行概率计算。
6 引进贝努里概型及n重贝努里试验的概念，要会
计算与之相关事件的概率。
第一章 小 结
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作业：
