布莱克--斯克尔斯期
权定价模型
在国际衍生金融市场的形成发展过程中，
期权的合理定价是困扰投资者的一大难
题。随着计算机、先进通讯技术的应用，
复杂期权定价公式的运用成为可能。在
过去的２０年中，投资者通过运用布莱
克———斯克尔斯期权定价模型，将这
一抽象的数字公式转变成了大量的财富。
下面着重分析了布莱克———斯
克尔斯期权公式的推导并就其
应用与发展作了进一步的介绍。
认为该 模型的思想方法能为今
后我国期权市场的公正合理运
作提供某些借鉴。
1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经
济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学
院教授罗伯特·默顿(ＲｏｂｅｒｔＭ
ｅｒｔｏｎ)和斯坦福大学教授迈伦·
斯克尔斯(ＭｙｒｏｎＳｃｈｏｌｅｓ)。
他们创立和发展的布莱克———斯克尔
斯期权定价模型(Ｂｌａｃｋ-Ｓｃｈｏ
ｌｅｓＯｐｔｉｏｎＰｒｉｃｉｎｇＭ
ｏｄｅｌ)
为包括股票、债券、货币、商品在内的
新兴衍生金融市场的各种以市价价格变
动定价的衍生金融工具的合理定价奠定
了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪
·布莱克(ＦｉｓｃｈｅｒＢｌａｃｋ)
在70年代初合作研究出了一个期权定价
的复杂公式。
与此同时,默顿也发现了同样的公式及许
多其它有关期权的有用结论。结果,两篇
论文几乎同时在不同刊物上发表。所以,
布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布
莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿
扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许
多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会(ＴｈｅＲｏｙａｌＳ
ｗｅｄｉｓｈＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃ
ｉｅｎｃｅｓ)赞誉他们在期权定价方面
的研究成果是今后25年经济科学中的最
杰出贡献。
一、布莱克—斯克尔斯定价模
型(以下简称Ｂ-Ｓ模型)及其假
设条件
(一)Ｂ-Ｓ模型有5个重要的假设
1金融资产收益率服从对数正态分布;
2在期权有效期内,无风险利率和金融
资产收益变量是恒定的;
3市场无摩擦,即不存在税收和交易成本;
4金融资产在期权有效期内无红利及
其它所得(该假设后被放弃);
5该期权是欧式期权,即在期权到期前
不可实施。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的Ｂ-Ｓ定价公式
Ｃ=Ｓ·Ｎ(ｄ1)-Ｌ·ｅ-γＴ·Ｎ(ｄ2)
其中:
ｄ1=1ｎＳＬ+(γ+σ22)Ｔσ·Ｔ
ｄ2=ｄ1-σ·Ｔ
Ｃ—期权初始合理价格
Ｌ—期权交割价格
Ｓ—所交易金融资产现价
Ｔ—期权有效期
ｒ—连续复利计无风险利率
σ2—年度化方差
Ｎ()—正态分布变量的累积概率分布函
数，在此应当说明两点：
第一,该模型中无风险利率必须是连续
复利形式。一个简单的或不连续的无风
险利率(设为ｒ0)一般是一年复利一次,而
ｒ要求利率连续复利。
ｒ0必须转化为ｒ方能代入上式计算。
两者换算关系为:ｒ=ｌｎ(1+ｒ0)或ｒ0=
ｅｒ-1。例如ｒ0=,则ｒ=ｌｎ
(1+)=0853,即100以583%的连续复利
投资第二年将获106,该结果与直接用ｒ
0=计算的答案一致。
第二,期权有效期Ｔ的相对数表
示,即期权有效天数与一年365
天的比值。如果期权有效期为
100天,则Ｔ=100365=。
二、Ｂ-Ｓ定价模型的推导与
运用
(一)Ｂ-Ｓ模型的推导Ｂ-Ｓ模型的推导
是由看涨期权入手的,对于一项看涨期权,
其到期的期值是:Ｅ[Ｇ]=Ｅ[ｍａｘ(ＳＴ
-Ｌ,Ｏ)]
其中,Ｅ[Ｇ]—看涨期权到期期望值
ＳＴ—到期所交易金融资产的市场价值
Ｌ—期权交割(实施)价
到期有两种可能情况:
1、如果ＳＴ>Ｌ,则期权实施以进帐(ｉｎ-
ｔｈｅ-ｍｏｎｅｙ)生效,且ｍａｘ(ＳＴ-Ｌ,
Ｏ)=ＳＴ-Ｌ
2、如果ＳＴ<Ｌ,则期权所有人放弃购买权力,
期权以出帐(Ｏｕｔ-ｏｆ-ｔｈｅ-ｍｏｎｅ
ｙ)失效,且有:
ｍａｘ(ＳＴ-Ｌ,Ｏ)=0
从而:
Ｅ[ＣＴ]=Ｐ×(Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>Ｌ)+(1-Ｐ)×
Ｏ=Ｐ×(Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>Ｌ]-Ｌ)
其中:Ｐ—(ＳＴ>Ｌ)的概率Ｅ[ＳＴ|ＳＴ
>Ｌ]—既定(ＳＴ>Ｌ)下ＳＴ的期望值将
Ｅ[Ｇ]按有效期无风险连续复利ｒＴ贴
现,得期权初始合理价格:
Ｃ=ｐ×ｅ-ｒＴ×(Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>Ｌ]-Ｌ
)(*)这样期权定价转化为确定Ｐ和Ｅ[Ｓ
Ｔ|ＳＴ>Ｌ]。
首先,对收益进行定义。与利率一致,收益为
金融资产期权交割日市场价格(ＳＴ)与现价
(Ｓ)比值的对数值,即收益=1ｎＳＴＳ。由假
设1收益服从对数正态分布,即1ｎＳＴＳ～Ｎ
(μｔ,σｔ2),所以Ｅ[1ｎ(ＳＴＳ]=μｔ,Ｓ
ＴＳ～ｅＮ(μｔ,σｔ2)可以证明,相对价格
期望值大于ｅμｔ,为:Ｅ[ＳＴＳ]=ｅμｔ+σｔ
22=ｅμｔ+σ2Ｔ2=ｅγＴ从而,μｔ=Ｔ(γ-
σ22),且有σｔ=σＴ。
其次,求(ＳＴ>Ｌ)的概率Ｐ,也即求收益
大于(ＬＳ)的概率。已知正态分布有性
质:Ｐｒ06[ζ>χ]=1-Ｎ(χ-μσ)其中:ζ—正态
分布随机变量χ—关键值μ—ζ的期望值σ
—ζ的标准差所以:Ｐ=Ｐｒ06[ＳＴ>1]=
Ｐｒ06[1ｎＳＴＳ]>1ｎＬＳ]=1Ｎ-1ｎＬ
Ｓ-(γ-σ22)ＴσＴｎｃ4
由对称性:1-Ｎ(ｄ)=Ｎ(-ｄ)Ｐ=Ｎ1ｎＳＬ+
(γ-σ22)ＴσＴａｒS第三,求既定ＳＴ>Ｌ
下ＳＴ的期望值。因为Ｅ[ＳＴ|ＳＴ]>Ｌ
]处于正态分布的Ｌ到∞范围,所以,
Ｅ[ＳＴ|ＳＴ]>=Ｓ·ｅγＴ·Ｎ(ｄ1)Ｎ(ｄ2)
其中:ｄ1=ｌｎＳＬ+(γ+σ22)ＴσＴｄ2=
ｌｎＳＬ+(γ-σ22)ＴσＴ=ｄ1-σＴ
最后,将Ｐ、Ｅ[ＳＴ|ＳＴ]>Ｌ]代入(*)
式整理得Ｂ-Ｓ定价模型:Ｃ=Ｓ·Ｎ(ｄ1)-
Ｌ·ｅ-γＴ·Ｎ(ｄ2)
(二)Ｂ-Ｓ模型应用实例
假设市场上某股票现价Ｓ为164,无风
险连续复利利率γ是,市场方差σ2
为,那么实施价格Ｌ是165,有效期
Ｔ为的期权初始合理价格计算步
骤如下:
①求ｄ1:ｄ1=(1ｎ
164165+()+)××=
②求ｄ2:ｄ2=×=
③查标准正态分布函数表,得:Ｎ
()=Ｎ()=
④求Ｃ:Ｃ=164×-165×ｅ-
××=
因此理论上该期权的合理价格是
。如果该期权市场实际价
格是,那么这意味着该期权
有所低估。在没有交易成本的
条件下,购买该看涨期权有利可
图。
(三)看跌期权定价公式的推导
Ｂ-Ｓ模型是看涨期权的定价公式,根
据售出—购进平价理论(ｐｕｔ-ｃａｌ
ｌｐａｒｉｔｙ)可以推导出有效期权的
定价模型由售出—购进平价理论,购买某
股票和该股票看跌期权的组
合与购买该股票同等条件下的看涨期权
和以期权交割价为面值的无风险折扣发
行债券具有同等价值,以公式表示为:Ｓ
+Ｐｅ(Ｓ,Ｔ,Ｌ)=Ｃｅ(Ｓ,Ｔ,Ｌ)+Ｌ
(1+γ)-Ｔ移项得:Ｐｅ(Ｓ,Ｔ,Ｌ)=Ｃｅ
(Ｓ,Ｔ,Ｌ)+Ｌ(1+γ)-Ｔ-Ｓ,将Ｂ-Ｓ模
型代入整理得:Ｐ=Ｌ·ｅ-γＴ·[1-Ｎ
(ｄ2)]-Ｓ[1-Ｎ(ｄ1)]此即为看跌期权初
始价格定价模型。
三、Ｂ-Ｓ模型的发展、股票
分红
Ｂ-Ｓ模型只解决了不分红股票的期权定
价问题,默顿发展了Ｂ-Ｓ模型,使其亦运
用于支付红利的股票期权。
(一)存在已知的不连续红利假设某股
票在期权有效期内某时间ｔ(即除息日)
支付已知红利
Ｄｔ,只需将该红利现值从股票现价Ｓ中
除去,将调整后的股票价值Ｓ′代入Ｂ-Ｓ
模型中即可:Ｓ′=Ｓ-Ｄｔ·ｅ-ｒｔ。如果
在有效期内存在其它所得,依该法一一减
去。从而将Ｂ-Ｓ模型变型得新公式:Ｃ
=(Ｓ-·ｅ-γｔ·Ｎ(ｄ1)-Ｌ·ｅ-γｔ·Ｎ(ｄ2)
(二)存在连续红利支付是指某股票以一
已知分红率(设为δ)支付不间断连续红利,
假如某公司股票年分红率δ为,该股
票现值为164,从而该年可望得红利
164×004=。值得注意的是,该红利并
非分4季支付每季164;事实上,它是随美
元的极小单位连续不断的再投资而自然
增长的,一年累积成为。
因为股价在全年是不断波动的,实际红
利也是变化的,但分红率是固定的。因
此,该模型并不要求红利已知或固定,它
只要求红利按股票价格的支付比例固定。
在此红利现值为:Ｓ(1-ｅ-δＴ),所以Ｓ
′=Ｓ·ｅ-δＴ,以Ｓ′代Ｓ,得存在连
续红利支付的期权定价公式:Ｃ=Ｓ·ｅ
-δＴ·Ｎ(ｄ1)-Ｌ·ｅ-γＴ·Ｎ(ｄ2)
四、Ｂ-Ｓ模型的影响
自Ｂ-Ｓ模型1973年首次在政治经济杂志
(ＪｏｕｒｎａｌｏｆＰｏｌｉｔｉｃａ
ｌＥｃｏｎｏｍｙ)发表之后,芝加哥期
权交易商们马上意识到它的重要性,很快
将Ｂ-Ｓ模型程序化输入计算机应用于刚
刚营业的芝加哥期权交易所。
该公式的应用随着计算机、通讯技术的
进步而扩展。到今天,该模型以及它的一
些变形已被期权交易商、投资银行、金
融管理者、保险人等广泛使用。衍生工
具的扩展使国际金融市场更富有效率,但
也促使全球市场更加易变。
新的技术和新的金融工具的创造加强了
市场与市场参与者的相互依赖,不仅限于
一国之内还涉及他国甚至多国。结果是
一个市场或一个国家的波动或金融危机
极有可能迅速的传导到其它国家乃至整
个世界经济之中。
我国金融体制不健全、资本市场不完善,
但是随着改革的深入和向国际化靠拢,资
本市场将不断发展,汇兑制度日渐完善,
企业也将拥有更多的自主权从而面临更
大的风险。因此,对规避风险的金融衍生
市场的培育是必需的,对衍生市场进行探
索也是必要的,我们才刚刚起步。
