第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第三节 期权定价中的希腊字母
第四节 B-S公式的实证研究和应用
Black-Scholes期权定价模型的基本思路：
相对定价法：期权是衍生工具，其价格波动的来源就是
标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影
响。
标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权
价格变化也是一个相应的随机过程。
在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机
过程中，Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种
不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生
证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确
定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一
个重要的方程：Black-Scholes微分方程。
求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。
第一节 证券价格的变化过程
一、随机过程
随机过程（Stochastic Process）：
用来描述一个随机变量随时间变化的过程。
根据时间是否连续和变量取值范围是否连续，随机过程可
以做如下的划分：
时间的连续性 离散时间随机过程 连续时间随机过程
变量取值范围的连续性 离散变量随机过程 连续变量随机过程
普遍以随机过程来描述证券价格的变化过程。
期权的价值是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合
约执行价格之间的预期差异变化
在现实中，资产价格总是随机变化的。
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动(Brownian Motion) ——维纳过程
设 代表一个小的时间间隔长度， 代表变量z在
时间内的变化，遵循标准布朗运动的 具有两种特
征：
特征1： 和 的关系满足：
其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为
的正态分布）中取的一个随机值。
特征2：对于任何两个不同时间间隔 ， 的值
相互独立。
当 0时，得到极限的标准布朗运动：
标 准 布 朗 运 动
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
对标准布朗运动的理解：
本身具有正态分布特征，均值为0，方差为 ，
标准差为 。
标准布朗运动是马尔可夫过程的特殊形式。
遵循布朗运动的变量z在时间T中的变化：
以 表示变量z在T中的变化量，可以看作N个
长度为 的小时间间隔中z的变化总量，其中 ，
因此：
z也具有正态分布特征，均值为0，方差为T，标准差为
。
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
变量X遵循普通布朗运动：
a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
漂移率a：单位时间内变量z均值的变化值。
方差率b2：单位时间的方差
普通布朗运动的离差形式
普 通 布 朗 运 动
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
对普通布朗运动的理解：
遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过
程
第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位
时间为a
第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。
这种噪音是由维纳过程的b倍。
在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特
征，其均值为aT，方差为 ，标准差 。
标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程
假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
dz是一个标准布朗运动
a、b是变量x和t的函数
变量x的漂移率为a，方差率为b2。
伊藤过程 ( Ito Process )
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
目的：在研究证券价格变化过程的时候，找到一个
合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述证券价
格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。
基本假设：证券价格的变化过程可以用漂移率为
、方差率为 的伊藤过程来表示：
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
：证券在单位时间内的连续复利的期望收益率
：证券收益率单位时间的方差
：证券价格的波动率（Volatility）
：遵循标准布朗运动
几何布朗运动的离散形式
几 何 布 朗 运 动
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
几何布朗运动的基本特征：
在短时间 后，证券价格比率的变化值 为：
因此： 也具有正态分布特征，其均值为 ，
方差为 ，标准差为
即：
表示均值为m ，标准差为s的正态分布
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
但是，在一个较长的时间T后， 不再具有正态分
布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
因此，尽管 是短期内股票价格百分比收益率
的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率
的标准差却不再是 。
思考：
一个投资者以100元的价格买入股票，
首先获得10%的收益然后再损失10%，看上
去不赔不赚
但是，具体情况如何呢？
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
为什么股票价格可以用几何布朗运动表示？
市场一般认同股票市场符合“弱式效率市场假说”
：
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变
动有用的信息。
马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关，
变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来
的预测无关。
几何布朗运动的随机项来源于维纳过程dz，具有马尔可
夫性质，符合弱式假说。
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
续：为什么股票价格可以用几何布朗运动表示？
投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格
的收益率 。
百分比收益率的缺陷：乘积问题和时间不可加性
几何布朗运动最终隐含的是：
股票价格的连续复利收益率（而不是百分比收益率）为
正态分布
股票价格服从对数正态分布。
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
证券价格S遵循伊藤过程：
衍生证券的价格G是证券价格S和时间t的函数，
G(x,t)将遵循如下过程：
其中，dz是一个标准布朗运动
G遵循伊藤过程：
漂移率： 方差率：
伊藤引理 ( Ito Lemma )
第一节 证券价格的变化过程
五、证券价格自然对数变化过程
令G=lnS，
根据伊藤引理：
•这个随机过程属于普通布朗运动，具有恒定的漂移率 和
恒定的方差率 。
• 在任意时间长度T之后，G的变化G(T)-G(t) 仍然服从正态分
布，均值为 ，方差为 ，标准差为 ，和
时间长度平方根成正比。
第一节 证券价格的变化过程
五、证券价格自然对数变化过程
从以上分析，可得知：
几何布朗运动意味着证券价格服从对数正态分布。
令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t时刻的
证券价格，ST表示T时刻（将来时刻）的证券价格，则在T－t期
间G的变化为：
即：
证券价格服从对数正态分布，即证券价格的对数服从正态分布
可知：
第一节 证券价格的变化过程
五、证券价格自然对数变化过程
例：
设A股票的现价50元，预期收益率为每年18%，波
动率为每年20%，该股票价格遵循几何布朗运动，
且该股在6个月内不付红利，请问该股6个月后的价
格ST的概率分布如何？
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第三节 期权定价中的希腊字母
第四节 B-S公式的实证研究和应用
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
假设：
证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数
允许卖空标的证券
没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的
在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付
不存在无风险套利机会
证券交易是连续的，价格变动也是连续的
在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：
其在一个小的时间间隔 中，S的变化值 为:
设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函
数，根据伊藤引理可得：
在一个小的时间间隔中，f的变化值 为
从以上分析可得：
构建组合 :包含一单位衍生证券空头和 单位
标的证券多头
布莱克-舒尔斯偏微分方程
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
风险中性定价原理：
根据BS微分方程f(S,t,r,σ)，影响衍生证券的价值的是客观
因素：标的资产当前市价(S)、时间(t)、证券价格的波动率
(σ)和无风险利率(r)。
反映风险收益偏好的主观因素：标的证券预期收益率μ，对衍
生产品的价值不会产生影响。
假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
风险中性定价的一般程序：
所有资产的预期收益率都等于无风险利率
确定衍生工具的边界条件，计算到期日的期望值
把期望值按无风险利率贴现
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
风险中性定价原理在远期合约定价中的应用：
边界条件：
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
二、布莱克-舒尔斯期权定价公式
股票价格服从对数正态分布，风险中性条件下以r取代μ，即：
在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T
时刻）的期望值为：
表示风险中性条件下的期望值
欧式看涨期权的价格c等于将该期望值按无风险利
率进行贴现后的现值，即：
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
二、布莱克-舒尔斯期权定价公式
无收益资产欧式看涨期权的定价公式：
N(x)为标准正态分布变量的累计概率分布函数
根据标准正态分布函数特性，有N(-x) + N(x) = 1
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
二、布莱克-舒尔斯期权定价公式
对BS公式的理解
N(d2)是风险中性下，ST大于X的概率，即欧式买权被执行的
概率
X的风险中性期望值的现值：
ST的风险中性期望值的现值：
Δ=N(d1)是复制股票的数量，SN(d1)是股票的市值。
是复制负债的价值
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
二、布莱克-舒尔斯期权定价公式
对BS公式的理解-波动率
历史波动率：通过历史数据计算出的波动率
期权定价模型
f(S,X,r,σ,t)
期权价值
标的资产价格
隐含波动率：根据期权的市场价格，通过BS公式反向计算得
到的波动率
执 行 价 格
到 期 日
波 动 率
利 率
期权价格
台湾市场股指与波动率的关系
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
三、BS定价公式的基本扩展
无收益资产欧式看跌期权的定价公式
根据欧式买权和卖权之间的平价关系，可以得到无收
益资产欧式卖权的定价公式：
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
三、BS定价公式的基本扩展
无收益资产美式看涨期权的定价公式
在标的资产无收益情况下，美式看涨期权提前执行
是不合理的，因此C=c
无收益资产美式看涨期权的定价公式是：
在收益已知情况下，标的证券价格可以分解成两部分：
期权有效期内已知现金收益的现值部分
一个有风险部分
当期权到期时，现金收益部分的现值将由于标的资产
支付现金收益而消失。
因此，BS公式中的S应该表示为有风险部分的证券价
格、σ表示风险部分遵循随机过程的波动率
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
三、BS定价公式的基本扩展
有收益资产欧式期权-1
当标的证券已知收益的现值为I时，用(S-I)代替S:
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
三、BS定价公式的基本扩展
有收益资产欧式期权-2
当标的证券的收益为连续复利计的固定收益率q时:
股指期权则是以市场平均股利支付率为收益率
外汇期权标的资产的连续红利率为该外汇在所在国
的无风险利率
欧式期货期权可以看作一个支付连续红利率为r的资
产的欧式期权
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
三、BS定价公式的基本扩展
有收益资产欧式期权-3
例：求6个月期协议价格为$的英镑欧式买权价格
假设当前英镑的即期汇率为$
美国的无风险连续复利年利率为7%，英国的无风险连续复利
年利率为10%
英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10%
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
三、BS定价公式的基本扩展
有收益资产欧式期权-4
解答：
•由于英镑会产生无风险收益，相当于支付一直收益
率为10%的资产，令S=×e-10%×，可得
当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能。
布莱克提出了一种近似处理方法：先确定提前执行美式看涨
期权是否合理。
若不合理，则按欧式期权处理；
若在tn提前执行有可能是合理，则要分别计算在T时刻和
tn时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较
大者作为美式期权的价格。
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
三、BS定价公式的基本扩展
有收益资产美式看涨期权-1
例：
•假设一种1年期的美式股票看涨期权
•标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日，每个
除权日的红利期望值为元
•标的股票当前的市价为50元，期权协议价格为50元
•标的股票波动率为每年30%
•无风险连续复利年利率为10%
求该期权的价值。
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
三、BS定价公式的基本扩展
有收益资产美式看涨期权-2
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
三、BS定价公式的基本扩展
美式看跌期权
无论标的资产有无收益，美式看跌期权都
有提前执行的可能，而且与其对应的看涨期
权也不存在精确的平价关系，因此我们一般
通过数值方法来求美式看跌期权的价值。
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第三节 期权定价中的希腊字母
第四节 B-S公式的实证研究和应用
第三节 期权定价中的希腊字母
期权敏感性因素：影响期权价值变化的参数，通常
用希腊字母表示，常称为“Greeks 指标”。
影响期权价值的因素：标的资产市场价格St、执行
价格X、无风险利率日、有效期T-t，标的资产价
格的波动率σ。
目的：了解期权的风险特征，把握期权的投资和套
期保值的策略，以及期权交易的风险管理。
第三节 期权定价中的希腊字母
Delta用于衡量衍生证券价格对标的资产价格变动的敏
感度，它等于衍生证券价格变化与标的资产价格变化的
比率。
无收益资产看涨期权的Delta值为：
无收益资产欧式看跌期权的Delta值为：
Delta(Δ)—标的资产价格S对期权价值的影响
第三节 期权定价中的希腊字母
证券组合的Delta值与Delta中性状态
当证券组合中含有标的资产和该标的资产的各种衍生证
券时，该证券组合的值就等于组合中各种衍生证券值的
总和
由于标的资产和衍生证券可取多头或空头，因此其值可
正可负，这样，若组合内标的资产和衍生证券数量配合
适当的说，整个组合的值就可能等于0。
Δ值为0的证券组合处于Delta中性状态。
Delta(Δ)
第三节 期权定价中的希腊字母
Gamma用于衡量该证券的Delta值对标的资产价格变
化的敏感度，它等于衍生证券价格对标的资产价格
的二阶偏导数，也等于衍生证券的Delta对标的资产
价格的一阶偏导数。
无收益资产看涨期权和欧式看跌期权：
Gamma(Γ)—标的资产价格S对Delta的影响
第三节 期权定价中的希腊字母
证券组合的Gamma值就等于组合内各种衍生证券值的
总和：
Gamma值为零的证券组合处于Gamma中性状态。
证券组合的Gamma值可用于衡量中性保值法的保值误
差。
这是因为期权的Gamma值仅仅衡量标的资产价格S微小变动
时期权价格的变动量，而期权价格与标的资产价格的关系曲
线是一条曲线（非线性关系），因此当S变动量较大时，用
估计出的期权价格的变动量与期权价格的实际变动量就会有
偏差。
Gamma(Γ)
第三节 期权定价中的希腊字母
衍生证券的Theta用于衡量衍生证券价格对时
间变化的敏感度，它等于衍生证券价格对时间
t的偏导数：
无收益资产看涨期权：
Theta(Θ)—期权到期时间变化对期间价值的影响
第三节 期权定价中的希腊字母
无收益资产的衍生证券价格f必须满足BS微分
方程：
Delta、Gamma、Theta之间的关系
第三节 期权定价中的希腊字母
Vega用于衡量该证券的价值对标的资产价格波动率
的敏感度，它等于衍生证券价格对标的资产价格波
动率的偏导数，即
当我们调整期权头寸使证券组合处于 中性状态时，
新期权头寸会同时改变证券组合的 值，因此，若
套期保值者要使证券组合同时达到 中性和 中性，
至少要使用同一标的资产的两种期权。
Vega(Λ)—波动率变化对期权价值的影响
第三节 期权定价中的希腊字母
衍生证券的RHO用于衡量衍生证券价格对利
率变化的敏感度，它等于衍生证券价格对利率
的偏导数：
标的资产的rho值为0。因此我们可以通过改
变期权或期货头寸来使证券组合处于rho中性
状态。
Rho(ρ)—利率变化对期权价值的影响
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第三节 期权定价中的希腊字母
第四节 B-S公式的实证研究和应用
第四节 B-S模型的实证研究和应用
一、B-S模型的实证研究
对于精确度问题，我们可以运用B-S期权定
价公式计算出期权价格的理论值，然后与市
场上的期权价格进行比较。发现：
倾向于高估方差高的期权，低估方差低的期权；
高估实值期权的价格，低估虚值期权的价格；
改变波动率的估计的方式会提高B-S期权定价公
式在预测实际价格时的表现。
第四节 B-S模型的实证研究和应用
一、B-S模型的实证研究
B-S公式的缺陷：
交易成本的假设；
波动率为常数的假设；
不确定的参数；
资产价格的连续变动
交易成本
规模效应和交易成本差异化 。
即使是同一个投资者，在调整过程中，持有
同一个合约的多头头寸和空头头寸，价值也
不同 。
波动率
波动率微笑
波动率期限结构
波动率矩阵
不确定的参数
考虑了红利收益率q的BS方程：
不确定的波动率
不确定的利率
不确定的红利收益率
资产价格的连续变动
所谓的跳跃扩散过程：
普通的（路径连续的）扩散过程和一个在随
机时刻发生跳跃的（跳跃幅度也是随机的）
跳跃过程的结合，显然这种变化过程更能反
映现实价格路径，对应的模型则可以认为是
考虑资产价格有不连续的跳跃时对BS公式的
推广
第四节 B-S模型的实证研究和应用
二、B-S模型的应用
证券组合保险是指事先能够确定最大损失的投资策略。比如
在持有相关资产的同时买入看跌期权就是一种组合保险。
假设对价值1亿的股票投资组合，这个股票投资组合于市场组
合十分类似，这时可以购买一份看跌期权来为组合提供保险。
显然，期权的执行价格越低，组合保险的成本越小，此时市
场上可能根本就没有对应的期权，要准确估算成本就必须采
用B-S期权定价公式。
假设损失允许在10%的范围内，那么执行价格就可以设为
9000万，然后再将利率、波动率和保值期限的数据代进公式，
就可以合理估算保值成本。
评估组合保险成本
第四节 B-S模型的实证研究和应用
二、B-S模型的应用
可转换债券是一种可由债券持有者转换成股票的债
券，因此可转换债券相当于一份普通的公司债券和
一份看涨期权的组合。
考虑因素：
利率敏感性
股票股利和债券利息的影响
转换比例的变化
可赎回条款的影响
给可转换债券定价
第四节 B-S模型的实证研究和应用
二、B-S模型的应用
认股权证通常是与债券或优先股一起发行的，
它的持有人拥有在特定时间以特定价格认购一
定数量的普通股，因此认股权证其实是一份看
涨期权。
差别：看涨期权执行的时候，发行股票的公司
并不会受到影响，而认股权证的执行将导致公
司发行更多的股票，因此，认股权证的执行存
在稀释效应，在估值的时候注意。
给认股权证定价
谢 谢
四月-
2106:51:2006:510
6:51四月-21四月-
2106:51
06:5106:51:
20四月-21四
月-
2106:51:20
2021/4/17 6:51:20
