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1.预备知识
定义 1（布朗运动）：如果随机过程 B={Bt,t≥0}满足如下三个条件：
（1）过程具有独立增量；（2）增量服从正态分布；（3）对每一个 ω，
Bt(ω)是 t的连续函数，则称 B={Bt,t≥0}为布朗运动，dS(t)=μdt+σdB(t)为
一般化的布朗运动，其中，μ为瞬时期望漂移率，σ为瞬时标准差。
定义 2（几何布朗运动）：如果 x(t)=eB(t)，其中 t≥0，随机过程{B(t),t≥
0}是布朗运动，则称随机过程{x(t),t≥0}为几何布朗运动。
定义 3（伊藤过程)：如果过程{S(t),0≤t≤T}可以表示为
dS(t)=μ(t,S(t))Sdt+σ(t,S(t))SdB(t),
其中 μ(t,s),σ(t,s)是二元连续函数，{B(t),t≥0}为布朗运动，则称{S(t),
0≤t≤T}为伊藤随机过程，简称伊藤过程。
伊藤定理 1：设{S(t),0≤t≤T}是由 dS(t)=μ(t,S(t))Sdt+σ(t,S(t))SdB(t)给
出的伊藤过程，f=f(s,t)是二次可微连续函数，且具有连续一、二阶偏导
数，则 f(S(t),t)满足如下的伊藤微分方程
df=( 鄣f鄣S μS+
鄣f
鄣t +
1
2
鄣2f
鄣S2 S
2σ2)dt+ 鄣f鄣S σSdB。
2. Black- Scholes期权定价模型的简述
价格是市场经济的核心内容，是促使市场上的交易双方达成交易
的最重要的因素，反映了市场上的供求关系。不可避免，资产定价理论
成为现代财务学研究的一个基本问题。
1973年，芝加哥大学教授 Black和 MIT教授 Scholes在美国“政治
经济学报”上发表了一篇题为“期权定价和公司负债”的论文；同年，哈
佛大学教授 Merton在“贝尔经济管理科学学报”上发表了另一篇论文
“期权的理性定价理论”，奠定了期权定价的理论性基础，为财务金融学
开创了一个崭新的领域，也拉开了 100万亿美元庞大市场的序幕。由于
Scholes和Merton在期权定价方面的开拓性贡献，被授予 1997年诺贝
尔经济学奖（Black教授 1995年逝世未能享此殊誉，但英名也永载史
册）。现在，期权理论与应用研究已经成为财务金融学领域最为活跃的
分支，本文的研究就是以著名的 Black- Scholes模型展开的。
Black- Scholes期权定价模型的基本思路
期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价
格的变化。标的资产价格的变化过程是一个随机过程。相应地，期权价
格变化也是一个随机过程。金融学家发现，股票价格的变化可以用 Ito
过程来描述，即
dS=μSdt+σSdz （1）
而数学家 Ito发现的 Ito定理可以从股票价格的 Ito过程推导出衍
生证券价格所遵循的随机过程，即
df=( 鄣f鄣S μS+
鄣f
鄣t +
1
2
鄣2f
鄣S2 σ
2S2)dt+ 鄣f鄣S σSdB
在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程中，
Black- Scholes发现，由于它们都只受到同一种不确定性的影响，如果通
过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的证券建立一定的组合，可以
消除这种不确定性，从而使整个组合只获得无风险利率，从而得到一个
重要的方程：Black- Scholes期权定价微分方程。求解这一方程，就得到
了期权价格的解析解。
股票价格变化的概率分布
有了伊藤定理这个有力工具，我们就可以分析股票价格的概率分
布性质了。若记 ft=lnS(t)，则由
dS(t)
S =μ(t,S(t))dt+σ(t,S(t))dB(t)
和伊藤定理，有
df=( 鄣ft鄣S Sμ+
鄣ft
鄣t +
1
2
鄣2ft
鄣S2 S
2σ2)dt+ 鄣ft鄣S σSdB
=(μ- 12 σ
2)dt+σdB
亦即，
d(lnS)=(μ- 1/2·σ2)dt+σdB。
对上式两边在[0,t]上积分即可得到
lnSt=lnS0=(μ- 1/2·σ2)dt+
t
0乙σdB
dB(t)=ε dt姨 是布朗运动，因为 ε~N(0,1)，所以 dB(t)~N(0,dt)，而
σdB~N(0,σ2dt)。布朗运动的每一连续瞬间都是独立同分布的随机变量，
所以有
t
0乙σdB~N(0,σ2dt)。
因此，
St=S0exp{(μ- 1/2·σ2)dt+σB(t)}。
这是一个非常重要的结论，它给出了在给定当前股价 S0(t=0)的条
件下，未来 t时刻股票价格 St服从的概率分布，即它是一个对数正态随
机变量。由于这个结果是在几何布朗运动基础上推导出来的，说明这是
一个问题的两个不同表示形式。因此，在研究股票价格变动规律时，几
何布朗运动和对数正态分布往往成为一个同义语，尽管在数学上它们
本来是两个不同的概念。在下文中，我们不再加以区分。
3. Black- Scholes模型建立及求解
Black- Scholes期权定价模型概述
Black和 Scholes在推导 Black- Scholes模型时做了 7条基本假设。
为了叙述的方便，不妨假设用以下的符号表示：
St：标的资产（股票）的市场价格；
X：买入期权的执行价格；
r：按连续复利计算的无风险利率；
σ：标的资产价格波动率；
T：到期日；
t：当前定价日；
Dp：期权持有期内所付红利的现值。
在上述假设条件的基础上，Black和 Scholes利用无套利原理得到
了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的一个微分方程：
鄣f
鄣t +rs
鄣f
鄣s +
1
2
鄣2f
鄣s2 σ
2S2=rf
其中 f为期权价格。可喜的是，这个微分方程有显性解。Black和
Scholes得到了如下欧式看涨期权的定价公式，即在定价日 t(t<T)，欧式
买入期权的价值 ct为
ct=StN(d1)- Xe- r(T- t)N(d2) （2）
其中，d1= ln(St/X)+(r+σ
2/2)(T- t)
σ T- t姨
，d2= ln(St/X)+(r- σ
2/2)(T- t)
σ T- t姨
=d1- σ T- t姨 ，
N(x)是标准正态变量的累积概率分布函数。
Black- Scholes期权定价建模推导方法
我们按照 Black和 Scholes在 1973年那篇奠定诺贝尔经济学奖的
经典论文的思路来推导 Black- Scholes微分方程。
假设 f是期权（或者其他衍生证券）的当前价格，显然，f一定是标
的股票当前市场价格 St和当前定价日 t的某种函数。注意到 Black-
Scholes模型的基本假设，股票价格 St遵循随机过程：dSt=μStdt+σStdBt，
因此，由伊藤定理，有
df=( 鄣f鄣S +μSt
鄣f
鄣St
+ 12 σ
2St2 鄣
2f
鄣St2
)dt+σSt 鄣f鄣St
dBt （3）
Black- Scholes期权定价模型采用的是典型的动态无套利均衡分析
的技术。基本思路是套期保值，即交易者为减少风险而采取的投资组合
的策略。在上述假设下，采用一种动态交易策略，复制欧式买权到期末
的现金流。这一复制技术是在期初 t=0时购买一个有标的股票和一种
无风险证券构成的证券组合，然后不断地动态调整其头寸使之保持住
无套利均衡关系，一直到到期日 t=T。这样，现在 t=0时刻欧式期权的价
值就一定等于复制组合在 t=0时刻的价值。这一动态过程有以下三个
特点：与复制一份欧式买权相对应，股票的头寸始终小于 1股；所对应
的股票头寸大小成为套头比或期权的 delta(Δ)，Δ定义为: Δ=鄣f/鄣St；（2）式
的离散形式为:
Δf( 鄣f鄣St
μSt+ 鄣f鄣t +
1
2
鄣2f
鄣St2
σ2St2)Δt+ 鄣f鄣St
σStΔB （4）
由于方程（1）与（3）中的 Bt同为服从布朗运动的随机变量，可以构
造资产与期权的一个组合以消去含有 dBt的项。这样的一个组合构成
为：买入鄣f/鄣St股股票，持有一份期权。该组合的价值为
布莱克 - 斯克尔斯期权定价模型及其拓广
国防科技大学 赵 峰
［摘 要］在 70年代初，Fisher Black 、Myron Scholes和 Robert Merton提出了 Black- Scholes期权定价模型，他们的工作对市场参与
者从事期权对冲及定价等行为产生了巨大影响，可以说是金融理论界和实践界的一场革命。本文主要系统地阐述 Black- Scholes期
权定价公式及其解析，同时论述其在其他金融衍生产品定价中的推广应用。
［关键词］期权定价 伊藤过程 Black- Scholes模型 风险中性
高校理科研究
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V=- f+ 鄣f鄣St
St （5）
对充分小的时段 Δt，组合的价值变化为
ΔV=- Δf+ 鄣f鄣St
ΔSt （6）
把式（4）的 Δf与 ΔStSt
=μΔt+σz Δt姨 中的 ΔSt代入，经整理后得
ΔV=(- 鄣f鄣t +
1
2
鄣2f
鄣St2
σ2St2)Δt （7）
由于在这个方程中无随机变量 ΔBt的项，因而这是一个无风险的
组合，因此，在时段 Δt内，该组合的收益应等于无风险资产在相同时段
内的收益，即有
ΔV=VrΔt （8）
将（5）和（8）代入（7），经整理得
鄣f
鄣t +rSt
鄣f
鄣St
+ 12 σ
2St2 鄣
2f
鄣St2
=rf （9）
这就是期权价格所要满足的微分方程，称为布莱克 - 舒尔斯方程。
为从这一方程确定期权的价格，需要根据期权的不同类型，给出不同的
边界条件。
对欧式买入期权，其边界条件为：在 t=T时，有 f=max{ST- SX,0};对欧
式卖出期权，其边界条件为：当 t=T时，有 f=max{SX- ST,0}。对欧式买入期
权边界条件，可求得微分方程（9）的解，记为 C
C=S0N(d1)- SXe- rTN(d2)
Black- Scholes模型的风险中性定价解法
风险中性定价解法方法利用了风险中性假设，解法中具有比较深
刻的金融学含义，受到现在金融学研究者的广泛青睐。风险中性的投资
者投资于任何资产所要求的收益率就是无风险收益率。在一个假想的
风险中性的世界里，所有的市场参与者都是风险中性的，从而，所有的
资产不管其风险大小或是否有风险，预期收益率都相同，都等于无风险
收益率。而且，所有资产现在的市场均衡价格都应当等于其未来收益的
预期值，加上考虑到资金的时间价值，就都是未来预期值用无风险利率
折现后的现值。
下面应用风险中性假设来分析 Black- Scholes微分方程。在 Black-
Scholes微分方程中，通过动态对冲的方法，使风险由于完全的对冲而消
除掉，方程中不再含有随机项 dBt，除此之外，也不再含有 μ，股票的预
期收益率中含有风险补偿，因而会与投资者的风险偏好有关。不含 μ，
说明问题与投资者的风险偏好无关。这样，风险中性假设就可以应用
了。
由定义，买权在到期日的价格 cT满足，cT=max(0,ST- X)。根据风险中
性定价原则，只要先求出 cT的期望值 E[cT]，然后再将这一发生在未来 T
时刻的期望值按无风险利率贴现到当前时刻 t，就可以得到该买权在定
价日 t的价值 ct=e- r(T- t)E[cT]。因此，确定 ct的关键问题在于如何计算 E[cT]。
令 P=P(ST>X)，则 E[cT]=P·{E[ST|ST>X]- X}+(1- P)×0=P·{E[ST|ST>X]- X}，因
此，最终归结为计算概率 P和 E[ST|ST>X]。下面分别来计算这两个量。
（1）求解 P=P(ST>X)。由 ST>X>0，有 lnST- lnSt>lnX- lnSt，即 ln(ST/St)>
ln (X/St)，因此，P=P(ST>X)=P(ln(ST/St)>ln(X/St))。另一方面，我们把求解
Black- Scholes微分方程的期权定价问题先放到一个“风险中性”的假设
世界中去。在这个假想的世界里，所有资产的预期收益率都相等，即都
等于无风险收益率 r，即 μ=r。因此，由模型假设知，ln(ST/St)服从正态分
布，其期望值和方差分别为
E[ln( STSt
)]=(μ- 12 σ
2)τ=(r- 12 σ
2)τ和 D[ln( STSt
)]=σ2τ，其中，τ=T- t。
令 z=
ln( STSt
)- (r- 12 σ
2)τ
στ1/2 ，则 P=P(z>
ln(XSt
)- (r- 12 σ
2)τ
στ1/2 )。
若记 d1=
ln( STX )+(r+
1
2 σ
2)τ
στ1/2 ，d2=d1- στ
1/2，则 P=P(ST>X)=N(d2)。
（2）求解 E[ST|ST>X]。由于 ST=Stexp{(μ- 1/2·σ2)t+σB(t)}服从对数正态
分布，因此其密度函数 f(ST)= 1
STυ 2π姨
exp{- [L- E(L)]
2
2υ2 }，其中，L=ln(St),
E(L)=lnSt+(r- σ2)τ,υ2=D(L)=σ2τ。于是，
E[ST|ST>X]=
+∞
X乙 STf(ST)dST
=Stert
+∞
X乙 1STυ 2π姨 exp{-
[L- E(L)- υ2]2
2υ2 }dST
=Stert
+∞
- d1乙 12π姨 exp(-
1
2 y
2)dy
=Stert(1- N(- d1))=StertN(d1)。
至此，P=P(ST>X)和 E[ST|ST>X]均已求出，则该期权价值
ct=e- r(T- t)E[cT]=StN(d1)- Xe- r(T- t)N(d2)
即为所求，解毕。
由 Black- Scholes微分方程可以看出，反映投资者风险偏好的瞬时
期望收益率 μ在推导的过程中被消掉了。这一点再次说明了风险中性
假设的合理性。当然，在衍生工具定价时，可以使用任何一种风险偏好
假设。
风险中性假设大大简化了衍生工具的定价过程，因为在风险中性
世界里，有以下两个重要结论成立：任何可交易的基础金融资产的瞬时
期望收益率均为无风险利率，即恒有 μ=r；任何一种衍生品当前 t时刻
的价值等于未来 T时刻其价值的期望值按无风险利率贴现的现值。
4. Black- Scholes期权定价模型的拓广
布莱克 - 斯克尔斯在建模时曾做过许多假设，如作为标的资产的
股票在期权有效期内没有任何股息和红利的收益，期权买卖无税收及
交易成本，利率固定不变等。那么，假如我们对这些假设进行修正，就可
以有所推广。另外，布莱克 - 斯克尔斯是一个欧式股票看涨期权的定价
模型，我们可以将其推广到看跌期权和美式期权。
引理：在同一股票上履约期限相同，执行价格相同的欧式买入和卖
出期权的价格之间成立关系 C+Xe-rT=P+S0，其中 C和 P分别是欧式买入
和卖出期权的价格。
证明：考虑在该股票上的下列两个投资组合：
组合 A：买入一份买入期权，以总值 Xe-rT进行无风险投资；
组合 B：买入一份卖出期权，持有一股股票。
在期初，投资组合 A的现金流为 C+Xe-rT，投资组合 B的现金流为
P+S0。再考虑两组合在履约日的现金流，组合 A在到期日的现金流为
max{ST,X}。组合 B持有者在到期日的现金流同组合 A持有者在到期日
的现金流相同。由于市场是无套利的，两个在到期日现金流完全相同的
组合，期初的现金流必定也完全相同，这就证明了结论。
期权有效期内不分红情形下期权的定价
对于欧式卖出期权，由引理，有 C+Xe-rT=P+S0。可得定价公式
P=C- S0+Xe- rT=Xe- rTN(- d2)- S0N(- d1)。由于 CA=C，美式买入期权的价格也
可用式(2)确定，即有 CA=S0N(d1)- Xe- rTN(d2)。
期权有效期内标的资产股票有股息支付的期权定价问题
在布莱克 - 斯克尔斯模型中，标的资产在有效期内假定是没有收
益分配的，这显然不完全符合现实情况。实际上，大多数金融资产随着
时间的推移都会产生某种形式的收益，如股票有股息收益，外币则按照
外国的利率起息。1973年，哈佛大学教授罗伯特·默顿（Robert Merton）
引入股票的股息支付这一原先被省略了的因素，对布莱克 - 斯克尔斯
模型进行了修改，使之更符合实际。
以股票期权为例，令代表不间断的复利形式派发的股息率，将（2）
修改为：
ct=Ste-g×(T- t)N(d1)- Xe- r(T- t)N(d2)，
其中，d1= ln(St/X)+(r- g+σ
2/2)(T-t)
σ T- t姨
，d2=d1- σ T- t姨 。
由于股票分红的作用相当于降低了股票的价格，如果在期权的有
效期内分红，股票价格的下降量相当于持有期内所有分红的现值。因
此，对在持有期内股票有分红的期权，计算期权价格的布莱克 - 舒尔斯
公式分别为 C=(S0- Dp)N(d1)- SXe- rTN(d2)，P=SXe- rTN(- d2)- (S0- Dp)N(- d1)，其中
Dp为期权持有期内所付红利的现值。另外，在计算股票价格的易变性
(σ)也不应该将这部分无风险收益考虑在内。
尽管期权定价过程应用具有普遍性，但仍然有许多文章试图放松
其一些假设使得定价更加有效，例如，许多现实市场是“不完全”的；标
的资产过程可能不是维纳过程，如模型中加入跳跃过程；期权价格的波
动率不是常数；交易是有成本的等等，使得定价更困难。
5.总结
本文利用随机过程的知识，系统研究了基于 Black- Scholes模型的
欧式期权定价问题。文章推导出了标的资产的价格过程，进而应用风险
中性法详细解析了 Black- Scholes模型,最后对模型进行了推广。
参考文献
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版社，1999.
［4］茅宁.期权分析———理论与应用.南京：南京大学出版社，2000.
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大学出版社，2003.
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