信用衍生品定价的综合模型 ※ ----基于美国次级债危机背景下的研究 1赵永刚 （东北财经大学金融学院和应用金融研究中心，大连，116025） 摘 要：信用衍生产品是有效分散、转移以及对冲信用风险的重要工具，然而在2007年8月全面爆发的美国次级债危机中，信用衍生品却起到了放大器、助推器和加速器的作用。究其根源，信用衍生品定价失效是致使信用衍生品陷入次级债漩涡的主要原因。本文认为商业银行道德风险和逆向选择行为盛行，信用评级机构的错误评级，突发性系统性风险冲击刻画不足以及违约回收率被高估，是导致信用衍生品定价失效的重要因素，而这些因素在以往研究中被弱化甚至忽略了。因此本文从结构模型出发建立一个综合模型，在不完全信息的框架下，通过引入跳跃成分、不可观测异质性，以及违约概率和回收率负相关的假定来纳入上述因素对定价的影响，进而对信用衍生品定价理论研究进行有益的补充。 关键词：信用衍生品定价；综合模型；跳跃；不可观测异质性；动态违约回收率 一、引言 随着场外衍生品市场和传统市场的迅速发展，全球信用风险市场的规模极度庞大，如何有效管理信用风险则成为金融机构面临的难题之一。信用衍生品正是适应这一需求产生的。总的来说，交易双方通过合约的形式分散、转移、对冲信用风险的产品都可以称为信用衍生品。在全球信用危机背景下产生的信用衍生品，为有效管理信用风险发挥了非常重要的作用，近年来更呈现出飞速增长的态势。截止2007年7月，全球信用衍生品市场规模为万亿美元，同比增长75％2。 ※ 本研究得到教育部人文社会科学重点研究基地中国人民大学应用统计科学研究中心重大项目“信用衍生品的定价理论和应用研究”（06JJD910002）以及辽宁省教育厅创新团队项目“金融创新、信用构建与辽宁振兴——基于信用衍生品的研究”（2006T042）的联合资助，特此致谢。 1赵永刚（1980-），东北财经大学金融学院和应用金融研究中心，电子信箱：zhaoyg1980@; 2数据来源于国际互换及衍生品协会（International Swaps and Derivatives Association, ISDA）2007年中期市场统计,
信用衍生品市场的快速发展对信用衍生产品定价理论也提出了更高的要求，目前信用衍生品定价模型主要分为两类：结构模型和简化模型。 结构模型假定投资者对企业的资产和负债具有完全信息，通过企业资产价值在股东和债权人之间进行分配的规则，即企业实际的资本结构，来决定违约时间。结构模型的基本思想是利用期权定价方法来估计固定收益工具的违约风险利差，它提供了企业信用品质和企业所处的经济金融环境之间的联系（相关文献参见：Merton（1974），Black和Cox（1976），Leland（1994），Longstaff和Schwartz (1995), Leland和Toft (1996), Hull和White（2001），Giesecke（2004）等）。 与结构模型相比，简化模型认为违约和企业价值之间并不具有明显的联系，而违约概率也被视为外生变量。由于绝大多数简化模型的拓展都属于强度模型，因此一些学者常常将强度模型与结构模型作为信用衍生品定价的两大分支。强度模型中违约时间不是通过企业价值来决定的，而是外生给定跳跃过程的第一次跳跃，是外生决定的。控制违约风险率的参数则通过市场数据推知（相关文献参见：Jarrow和Turnbull（1995），Jarrow, Lando和Turnbull (1997) ，Duffie和Singleton (1999)，Davis和Lo（2001b），Jarrow和Yu（2001），Hull和White（2004），Totouom和Armstrong（2007）等）。 虽然信用衍生品定价理论文献较多，但是2007年8月全面爆发的美国次级债危机使我们对信用衍生品的作用和已有的定价模型又有了重新的认识。在这场危机中，信用衍生品起到了放大器、助推器和加速器的作用。它虽然将银行体系的风险转嫁给了其他投资者，但是却将实体经济危机通过信用衍生品市场推广到全球金融市场，并加速了危机的蔓延。归根究底，信用衍生产品定价失效是导致这场危机爆发的重要因素。这也使得我们在对金融体系监管给予高度重视的同时，不得不对已有的信用衍生品定价理论进行反思。 通过这场次级债危机，我们发现一些对信用衍生品定价具有重要影响的因素，而这些因素在以往的研究和应用中都被弱化甚至忽略了，这些因素包括： 第一，商业银行的逆向选择和道德风险行为盛行。信用衍生品保护的购买方一般为商业银行，他们一方面利用掌握的信息，往往将风险较高的资产作为标的资产，另一方面在购买保护后减少了对标的资产信用变动的监控，这使得信用衍
生产品（如CDO）整体风险增加，而投资者并不知晓，因此导致信用衍生品的风险被低估的情况； 第二，信用评级机构的错误评级增加了信息不对称，导致了投资者低估信用衍生品风险。标准普尔、穆迪、惠誉等评级公司对80％的次级抵押贷款的债券化3产品的评级都是AAA，这一评级在美国的债券市场上意味着是无风险的美国债。显然，信用评级机构的错误评级是信用衍生品风险低估的重要原因之一。 第三，突发性系统性风险冲击未能准确刻画。由于绝大部分结构模型都是针对Merton（1974）模型的拓展，而Merton（1974）认为企业个体变量能够捕捉整体经济的影响。因此这导致了绝大部分文献都是从信用等级角度研究信用价差的决定因素，很少对信用等级之外的因素进行研究（Nakashima和Saito，2006）。而简化模型主要根据历史数据来确定模型中的参数，对于历史上没有发生的事件，简化模型则无法准确刻画。因此在信用衍生产品定价模型中，应强化突发性系统性风险的影响，尤其对于极值事件的刻画。 第四，违约回收率被高估。在次级债危机中，实体经济危机通过信用衍生品市场推广到全球金融市场，同时金融市场的动荡进一步恶化了实体经济危机，形成了恶性循环。也就是说，回收率同违约概率之间存在一种负相关关系，而在以往信用衍生品定价模型中所假定的违约回收率，如面值回收率、国债回收率、市场回收率，都忽略了危机发生时的恶性传染机制导致违约回收率的再次变化，从而导致回收率被高估的情况，进而影响信用衍生品的定价。 综上，本文拟从结构模型出发建立一个综合模型，既考虑违约过程发生时的内在机制，又纳入不完全信息的情况，使模型更符合实际。同时基于次级债危机的经验，本文在综合模型中重点考查道德风险和逆向选择行为、不完全信息、系统性风险、动态违约回收率等因素对定价的影响，以期对信用衍生品定价理论研究进行有益的补充。 全文结构如下：第二部分为基本综合模型构建；第三部分为资产过程带跳跃的综合模型；第四部分为含有不可观测异质性的综合模型；第五部分为动态违约回收率下的综合模型；第六部分为结论。 3雷阳，“债券基金 伤心总是难免的”，《证券时报》，2007年09月17日。
二、一个简单的综合模型 （一）基本定义 定义一个完备的概率空间Ω,F,P，子σ代数F的域流（filtration）G:t≥0(){}t代表投资者的信息，P表示实际概率测度。 定义 风险中性测度：如果价格过程X在概率测度Q下是一个鞅，则对于X，Q是风险中性测度。 定义 短期利率过程：短期利率过程r是一个初始投资为1，在t时刻可以t⎛⎞获得exprds的过程。 ⎜⎟s∫⎝0⎠定义 风险中性定价：在风险中性测度Q下，任何证券的价格等于预期支t⎛⎞付现值的和，其贴现过程为ξ=exp−rds。 ⎜⎟ts∫⎝0⎠定义 信用价差：零息票债券的信用价差是可违约债券的收益与无风险债T券收益的差。令可违约零息票债券面值为1，在t时刻的价格为B，成熟期为T，t则t时刻的信用价差表示为： TTrds+logB()st∫t St,T=− （1） ()T−t（二）基本模型 假定市场中的投资者对企业资产过程V具有不完全信息，违约门槛D是已知的。企业的资产过程V满足： dVt =μdt+σdW （2） tVt其中，V>0，W是标准布朗运动，域流为G:t≥0，因此， {}0t
⎛1⎞⎞2V=Vexpμ−σt+σW （3） t0⎜⎟t⎟2⎝⎠⎠令： Z=logV=z+mt+σW （4） ()tt0t21其中，z=logV，m=μ−σ。 ()002企业违约时间定义为τ=inft:Z≤d，d=logD。在完全信息框架下，投{}()t资者的信息域流为σV:s≤t∨σD，而在不完全信息情况下，投资者的信息()()s域流定义为： H=σY,…,Y,1:0≤s≤t （5） {}()tttτ≤s{}1n其中，Y=Z+U，表示t时刻序列Z的噪声观测值，Z和U是独立的。 ttttt定理 令M=maxW，则对t>0,并且a≤b,b≥0，W与M的联合密t0≤s≤tstt度： 2⎧⎫22b−a2b−a()()⎪⎪ pW∈da,M∈db=exp−dadb （6） ()⎨⎬tt32t2πt⎪⎪⎩⎭4证明：根据布朗运动的反射原理 PW≤a,M≥b=PW≥2b−a,M≥b=PW≥2b−a ()()()ttttt∞21−x2t=edx ∫2b−a2πt求导即得。 引理 给定Z=z，Z=x，过程Z（4）的概率为： 00t 4 反射原理：设W,F,t≥0是扩散系数为σ的布朗运动，则对任意的x∈R， ()t tW,t≤τ⎧tx⎪jW=，仍是布朗运动，其中τ=inft≥0:σW≥x。 {}⎨2xtxt−W,t>τtx⎪⎩σ
ψz,x,k=PminZ>0Z=z,Z=x()()100≤s≤ts00t2zx0 （7） −2σt=1−eZ5s证明：基于Z=z，Z=x的条件，是一个布朗桥，因此ψz,x,k不()00t0σ依赖m，因此令m=0。由定理（）和贝叶斯原则可得： ⎛zz−x⎞00 PminZ>0Z=z,Z=x=PM<W= ()0≤s≤ts00t⎜tt⎟σσ⎝⎠ ⎛zz−x⎞⎛00PM≥,W∈dtt⎜⎜⎟σσ⎝⎠⎝=1−⎛z−x⎞⎛0PW∈dt⎜⎜⎟σ⎝⎠⎝⎛z+x⎞1()0exp−⎜⎟22σt2πt⎝⎠=1− ⎛z−x⎞1()0exp−⎜⎟22σt2πt⎝⎠2zx⎛⎞0=1−exp− ⎜⎟2σt⎝⎠证毕。 对于x>d，由贝叶斯原则得： bx,y,z,t=Pτ>1,Z∈dxY=y ()()10ttψz−d,x−d,σtφY−xφx()()()101Ut1Z = （8） φY()1Yt其中，密度φ,φ,φ是正态的，均值分别为u,mt+z,mt+z+u，方差分别为1U1Z1Y002222a,σt,a+σt。 因此有 5布朗桥运动是指粒子在初始时刻0和期末时刻t的位置都是固定的条件下作位移增量独立的运动。
gx,y,z,t=PZ∈dxY=y,τ>t ()()10ttPτ>t,Z∈dxY=y()bx,y,z,t()tt10 == （9） +∞Pτ>tY=ytbx,y,z,tdx()10∫d由Duffie和Lando(2001)的研究，可以得到如下表达式; ⎡⎤⎛⎞β−2zx00 exp−Jy,x,z1−exp0()⎢⎥⎜⎟2πσt⎝⎠⎣⎦gx,y,z,t= （10） ()02⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞ββββ1122exp−Φ−exp−Φ⎜⎟⎜⎟⎜3⎟⎜3⎟442ββ⎝0⎠⎝0⎠00⎝⎠⎝⎠22 y−xz+mt−x0()() 其中：Jy,x,z=+，y=y−d−u，x=x−d，z=z−d0，0()022aσ22⎛⎞ 22 z+mt0()a+σtyz+mtz1y00⎜⎟β=，β=+，β=−β+2，β=+。 0121322222222aσtaσtσt2aσt⎝⎠所以，基于H的条件存活概率为： t+∞ pt,s=Pτ>sH=πs−t,x−dgx,Yztdx（11） ()()()()1 t11t0∫d对于s>t， πt,x=Pminmt+σW<−x ()() ()10≤s≤ts2mx−⎛−x−mt⎞⎛−x+mt2⎞σ=φ+eφ （12） ⎜⎟⎜⎟σσ⎝⎠⎝⎠综上，t时刻零息可违约债券价格为： −rT−t−rT−t()()Bt,T=RTe+e1RTpt,T （13） ()()()()()11此时的信用价差为： ⎛Bt,T⎞()1ln⎜⎟−rT−t()lnRT+1−RTpt,T()()()e1⎝⎠St,T=−=− （14） ()1TtTt
（三）随机利率情况下的基本模型 为了计算简便，模型中常常假设利率为常数，然后这与实际情况并不相符。6为了让模型更符合实际，本文在此处假定利率服从单因素CIR过程，即： dr=kθ−rdt+σrdz （15） ()ttt那么此时，无违约债券价格为： Bt,T=at,Texp−bt,Tr （16） ()()()()t其中： 2kθ2k+λ−γT−t()()σ⎡⎤22γe⎢⎥at,T= （17） ()−γT−t−γT−t()()2e+k+λ−γ1−e()(⎣⎦−γT−t()21−e() bt,T= （18） ()−γT−t−γT−t()()2e+k+λ−γ1−e()(22 γ=k+λ+2σ （19） ()则t时刻零息可违约债券价格为： Bt,T=RTBt,T+Bt,T1−RTpt,T （20） ()()()()()()()11 三、资产过程带跳跃的综合模型 在基本模型中，我们将企业资产价值定义为一个简单的连续扩散过程，虽然计算方便，但是这样的过程无法准确刻画突发事件对信用风险的影响。为了解决这一问题，学者们往往在资产过程中引入跳跃成分来捕捉突发的重大事件的影响。资产价值过程带跳跃意味着企业资产价值可以突然降低，迅速减少违约距离7，当下降到充分高时触发违约。 6 单因素CIR模型可以避免利率非负的情况。 7资产价值和违约门槛值之间的距离。
本文在企业资产过程中引入一个双指数跳跃成分，在不完全信息框架下来刻画突发性重大事件对信用价差的影响，这是与以往研究的不同所在。 设Ω,F,P是一个具有σ域流的完备概率空间，W:t≥0是标准布朗运动，(){}tW=0，N:t≥0是强度参数为λ的Possion过程。跳跃幅度J,J,…是独立同{}{}0t12分布的随机变量。假定随机过程W:t≥0，N:t≥0和J,J,…是独立的。 {}{}{}tt12令企业资产遵循如下跳跃扩散过程 ⎧V=VexpX()t0⎪Nt （21） ⎨X=μt+σW+J∑tti⎪⎩i=1假定J服从双指数分布，其密度函数如下： −ηJηJ12 fJ=p⋅eI+q⋅eI （22） ()J≥0<0{}{}其中，p,q≥0，p+q=1，表示上跳或下跳时的概率，η>1,η>0。此时，12企业违约时间定义为τ:=inft≥0;X≤d,d≥0，X:=liminfX，违约概率{}dtτt→∞td表示为： Pτ≤t=PminX≤d （23） ()d(s)0≤s≤t8Kou和Wang（2003）利用Hh函数与指数分布的无后效性特点给出了PX≥a,maxX≥b联合分布Laplace转换表达式。本文利用Kou和Wang的方法(ts)0≤s≤t给出PX≥a,minX≤b的联合分布，即定理（） ()ts0≤s≤t定理：若满足引理（），（）（见附录），则： 8 Hh函数是一个非增函数且满足递归关系式：nHhx=Hhx−Hhx,n=1,2,…,，由此()()()nn−2n−1n≥0可以求出Hh函数表达式或数值计算。对任意，Hh函数定义如下： 2∞∞t1n−2Hhx=Hhydy=t−xedt≥0,n=0,1,2,… ()()()nn−1∫∫xxn!22xxx−1−22Hhx=e=2πϕx,Hhx=2πN−x,ϕx=e,Nx=ϕydy()()()()()()()−10∫−∞2π
∞−αt ePX≥a,τ≤tdt ()td∫0n∞λμ⎛⎞=A+BH−h,ϒ,−;n ()∑0⎜α⎟n!σ⎝⎠n=0n∞i1⎛⎞λjhση2+eAQ+BQσηHh,ϒ,c;n ()()()∑∑⎜n∑⎟,in,i2jα_n!n=1i=1j=0⎝⎠n∞i−1⎛⎞λj−hση1 eAP+BPnσηHhϒcn ,i,,;()()()∑∑⎜n∑⎟,ijα+n!n=1i=1j=0⎝⎠n∞nλq()jσηση22+eBσηHh,ϒ,c;n+eBHh,,c;0 （24） ()()()∑∑2jα_0α_n!n=1j=0η−ββ−ηdβdβ−ατ23,α4,α2⎡⎤3,a4,ad 其中，A:=Ee1e+e X=d⎢{}τ⎥d⎣⎦ββββ4,α3,α4,α3,αη−ββ−η()()23,α4,α2dβdβ−ατ⎡⎤3,a4,ad⎡⎤ B:=Ee1=e−e X<d⎣⎦⎢{}τ⎥d⎣⎦ηβ−β()24,α3,α2∞112c−bt()()n+j2Ha,b,c;n=etHhct+atdt,j≥1,n0 ()()j−∫02π定理 若J得分布为（22），则： n−λT∞kλTe()⎛⎞+PX≥a=PPμT+σTX+ξ≥a ()∑∑tn,k∑i⎜⎟n!n=1k=1⎝=1⎠n−λT∞kλTe()⎛⎞++QPμT+σTX−ξ≥a ∑∑n∑,ki⎜⎟n!n=1k=1⎝=1⎠−λT+ePμT+σTX≥a ()2nσηT2−λT()1∞nkλTee()1⎛⎞σTηPIaμT;η,,−σTη∑∑()1n,kk−111⎜⎟n!2πσσn=1k=1⎝⎠2nσηT2−λT()2∞nkλTee()1+σTηQIaμT;η,,σTη∑∑()2n,kk−122n!2πσσn=1k=1a−μT⎛⎞−λT+eN− （25） ⎜⎟σT⎝⎠引理 给定X=x，X=x，过程X（21）的条件概率为： 00t
ψx,x,t=PminX>0X=x,X=x()() 200≤s≤ts00tPX≥a,minX≤0()t0≤s≤ts =1− （26） PX≥a()t其中，PX≥a,minX≤0的表达式为（27），PX≥a得表达式为（25） ()()t0≤s≤tst证明：由定理（）和贝叶斯原则可得： PX≥a,minX>0()t0≤s≤tsPminX>0X≥a= ()0≤s≤tstPX≥a()tPX≥a,minX≤0()t0≤s≤ts =1− PX≥a()t当d=0时， n∞λμ⎛⎞PX≥a,minX≤0 AH−h,ϒ,−;n ()∑t0≤s≤ts0⎜α⎟n!σ⎝⎠n=0n∞i−1⎛⎞λjhση2+eAQσηHh,ϒ,c;n ()()∑∑⎜n∑⎟,i2jα_n!n=1i=1j=0⎝⎠n∞i−1⎛⎞λj−hση1 eAPσηHh,,c;n （27） ()()∑∑⎜n∑⎟,i1jα+n!n=1i=1j=0⎝⎠η−ββ−η−ατ23,α4,α2⎡⎤d其中，A:=Ee1+，B=0 X=0⎢{}τ⎥d⎣⎦ββββ4,α3,α4,α3,α∞2112ct()n+j2Ha,0,c;netHhct+atdt,j≥1,n0 ()()j−∫02π证毕。 因此对于x>d，由贝叶斯原则得： bx,y,x,t=Pτ>1,X∈dxY=y ()()20ttψx−d,x−dφy−xφx()()()202U2X = （28） φy()2Y2其中，φ是正态的，均值分别为EU=u，方差分别为b。φ,φ具体表式()2Ut2X2Y
如下： 2nσηT2−λT()1∞nkλTee()1⎛⎞−ηx1φxσηPeHhx+σTη ()∑∑()X,−1⎜⎟n!2πσσn=1k=1⎝⎠2nσηT2−λT()2∞nkλTee()1⎛⎞ηx2+σTηQeHhxTη ∑∑()2n,kk−12⎜⎟n!2πσσn=1k=1⎝⎠a−μT⎛⎞−λT+eφ− （29） ⎜⎟σT⎝⎠222σT+bη2n()1−λT∞nkλTe⎛⎞e()122−ηx221φ=σ+bηPeHhx+σTbη()2Yt∑∑⎜⎟(1)n,kk−11t222⎛⎞n!n=1k=1σT+bb⎝⎠22πTσ+⎜⎟T⎝⎠222σT+bη2n()2−λT∞nkλTe⎛⎞e()122ηx222σTbηQeHhxσTbη∑∑⎜⎟(2)n,kk−1(2)222⎛⎞n!n=1k=1σT+bb⎝⎠22πTσ+⎜⎟T⎝⎠⎛⎞a−μT+u()−λT⎜⎟+eφ− （30） 22σT+b⎝⎠因此有 gx,y,x,t=PX∈dxY=y,τ>t ()()20ttPτ>t,X∈dxY=y()bx,y,x,t()tt20 == （31） +∞Pτ>tY=y()tbx,y,x,tdx()20∫d所以，基于H的条件存活概率为： t+∞ pt,s=Pτ>sH=πs−t,x−dgx,yxtdx （32） ()()()()2 t220∫d对于s>t， Nt⎛⎞⎛⎞ πt,x=Pminut+σW+Y<−x ()⎜⎟20≤s≤t⎜s∑⎟ii=1⎝⎠2nσηT2−λT()2∞nkλTee()1⎛⎞σTηQIaμT;η,,−σTη∑∑()2n,kk−122⎜⎟n!2πσσn=1k=1⎝⎠
2nσηT2−λT()1∞nkλTee()1⎛⎞ +σTηPIaμT;η,,−σTη ∑∑()1n,kk−111⎜⎟n!2πσσn=1k=1⎝⎠a−μT⎛⎞−λT+eN− （33） ⎜⎟σT⎝⎠此时t时刻零息可违约债券价格为： Bt,T=RTBt,T+Bt,T1−RTpt,T （34） ()()()()()()()22其中，RT表示回收率。信用价差为： ()⎛⎞Bt,T()2ln⎜⎟lnRT+1−RTpt,TBt,T()()()()2⎝⎠St,T=−=− （35） ()2TtTt 四、包含不可观测异质性的综合模型 所谓不可观测异质性是指所有被忽略的变量或者不可观测事件对定价的影响。通过将不可观测异质性纳入模型，可以有效刻画道德风险和逆向选择行为对定价的影响。美国次级债危机的教训表明，商业银行的道德风险和逆向选择行为是导致信用衍生品风险低估的重要原因，而这一点在以往信用衍生品定价理论研究中并未给予足够的重视。 因此本文在模型中引入不可观测异质性，一方面可以刻画道德风险和逆向选择行为对信用风险的影响，另一方面也在一定程度上弥补了信用衍生品定价理论研究的不足。 Meyer(1990)首先在模型中考虑了不可观测异质性。然而该模型只给出了存活概率的一般形式，而没有针对不完全信息、资产过程带跳跃等情况进行深入研究。本部份则是对Meyer研究的部分拓展。 令θt表示t时刻的危险率，x是变量向量，危险率的积分表示为： ()itt ht;x=θu;xdu （36） ()()itit∫t−1
不包含不可观测异质性的存活概率表示为： t Ft;x,…x≡exp−θu;xdu （37） ()()i1itiu()∫0由于式（26）也表示存活概率，因此为了在综合模型中引入不可观测异质性，令： tFt;x,…x≡exp−θu;xdu ()()i1itiu()∫0+∞ =πs−t,x−dgx,yx,tdx （38） ()()220∫d根据Cox（1972）将危险率函数描述成的比例形式θt;x=kx⋅kt，()()()it1it2为了纳入不可观测异质性，令危险率函数为 θt:x,v=kx⋅kt⋅v （39） ()()()iti1it2i其中，v代表所有忽略变量或者不可观测事件的影响，μv是随机变量v()ii的密度函数。 因此基于不可观测v的存活概率为： it Ft;x,…x,v=exp−θu;x,vdudμv （40） ()()()i1itiu()∫∫0v将（39）带入得： t exp−kx⋅kt⋅vdudμv ()()()1it2i()∫∫0vt =exp−vkx⋅ktdudμv ()()()1it2()∫∫0vt =expv⋅exp−kx⋅ktduμv ()()()()1it2()∫∫0v+∞ =expv⋅πs−t,x−dgx,y,x,tdxv （41） ()()()()220∫∫vd此时t时刻零息可违约债券价格为：
Bt,T=RTBt,T+Bt,T1−RTFt;x,…x,v （42） ()()()()()()()3i1it其中，RT表示回收率。此时信用价差为： ()⎛⎞Bt,T()3ln⎜⎟lnRT+1−RTFt;x,…x,v()()()Bt,T()i1it⎝⎠St,T=−=− （43） ()3TtTt 五、动态违约回收率下的综合模型 企业违约时，债权人获得的补偿比率称为回收率。回收率对于衍生品定价结果具有重要的影响。对于回收率的参数化，当前文献主要集中于以下三方面： （一）面值回收率（Recovery of Face Value, RFV）。Houweling和Vorst（2002）将回收率视为外生的，是违约债券面值的一部分。一旦发生违约，授信人立即接收到一个相当于面值的分数比例价值，这是以前文献中经常使用的假设。 （二）国债回收率（Recovery of Treasury, RT）。Jarrow和Turnbull（1997）考虑回收率也是外生的，是等价的无违约债券价值的一部分。一旦发生违约，授信者立即收到一个相同但不发生违约的债券市场价值的一个分数比例。 （三）市场回收率（Recovery of Market Value, RMV）。Duffie和Singleton（1999）将回收率固定为债券违约前市场价值的一部分。他们采用带违约调整的短期利率过程（π=r+λL，L是t时刻违约发生时市场价值的预期损失率）给零息ttttt票无风险债券定价。基于t时刻可获得的信息， R=(1-L)Q(τ,T) （44） ττ-Q(τ,T) =limQ(s,T) （45） -s-τ,s≤τ 其中，τ是违约时间，Q(τ,T)是违约前债券的市场价值，R表示违约债券的价值。-τTDuffie和Singleton（1999）还假定了Q(t,T)=E[exp(-∫πds)M│F]。 tst上述三类回收率是信用衍生品定价中经常使用的三类回收率假设，但是通过对美国次级债危机的分析，我们发现实体经济危机通过信用衍生品市场推广到全球金融市场，同时金融市场的动荡进一步恶化了实体经济危机，形成了恶性循环。
也就是说，回收率同违约概率之间存在一种负相关关系，而在以往信用衍生品定价模型中所假定的违约回收率则忽略了危机发生时的恶性传染机制导致违约回收率的再次变化，从而导致回收率被高估的情况，进而影响信用衍生品的定价。 因此本文假定违约概率和回收率存在负相关关系，进而刻画回收率的动态变化。 假定回收率是风险率的一个函数，即： RT=R+Rexp−ht （46） ()()()01 其中，R≥0，R≥0，0≤R+R≤，ht表示风险率。通过对式（37）()0101求导可以得到风险率，即： ′Ft;x,…x()i1itθu;x=−=ht （47） ()()iuFt;x,…x()i1it将式（47）带入式（46），得： RT=R+Rexp−θu;x ()()()01iu⎛⎞′Ft;x,…x()i1it⎜⎟=R+Rexp− （48） 01Ft;x,…x()i1it⎝⎠此时t时刻零息可违约债券价格为： ⎛⎞⎛′Ft;x,…x()i1it⎜⎟⎜ Bt,T=R+Rexp−Bt,Tt;x,…x,v ()()()401i1itFt;x,…x()i1it⎝⎠⎝⎛⎞⎛′Ft;x,…x()i1it⎜⎟⎜+Bt,T1−R+Rexp−F （49） ()01Ft;x,…x()i1it⎝⎠⎝
此时信用价差为： ⎛⎞Bt,T()4ln⎜⎟Bt,T()⎝⎠St,T=− ()3T−t⎛⎞⎞⎛⎞⎛⎛′′Ft;x,…xFt;x,…x()()⎜i1iti1it⎟⎟⎜⎟⎜⎜lnR+Rexp−+1−R+Rexp−Ft;x,…x,v()0101i1it⎜⎟Ft;x,xFt;x,x()()⎜iitiit⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎝⎠⎝⎠=−T−t （50） 六、结论 一直以来，在有效管理信用风险方面，信用衍生品发挥了重要的作用。然而在2007年8月全面爆发的美国次级债危机中，信用衍生品却起到了放大器、助推器和加速器的作用。 本文认为信用衍生品定价失效是导致信用衍生品陷入困境的主要原因。导致信用衍生品定价失效的因素主要有四个：1．商业银行的逆向选择和道德风险行为盛行，导致信用衍生品的风险被低估的情况；2．信用评级机构的错误评级增加了信息不对称，导致了投资者低估信用衍生品风险；3．突发性系统性风险冲击未能准确刻画；4．违约回收率被高估，忽略了危机发生时的恶性传染机制导致违约回收率的再次变化。这四个因素在以往信用衍生品定价理论研究中并未给予足够重视，甚至在一定程度上被弱化了。 为了纳入上述影响，本文首先从结构模型出发建立一个综合模型，在不完全信息的框架下来探讨信用衍生品定价。同时在资产过程中引入跳跃成分来刻画突发性系统性风险的冲击，在模型中纳入不可观测异质性来刻画商业银行的道德风险和逆向选择行为的影响，在回收率的定义中假定违约概率和回收率存在负相关关系，来刻画回收率的动态变化。这些处理基本上实现了预期目标，并在一定程度上弥补了信用衍生品定价理论研究的不足。
附录： 引理 对任意n≥1，有： k⎧+以概率Pk=1,2,3,…,nξ∑n,ki⎪nd⎪i=1Y= ∑⎨iki=1−⎪−ξ以概率Qk=1,2,3,…,n∑in,k⎪⎩i=1+− 其中，ξ,ξ是独立同分布的随机变量，η,η>0， ii12i−kn−in−1⎛⎞⎛⎞ηηikiini12P=CC⋅pq,1≤kn−1, n∑,kn−k−1n⎜⎟⎜⎟η+ηη+ηi=k⎝12⎠⎝12⎠n−ii−kn−1⎛⎞⎛⎞ηηikinii12 Q=CCpq,1kn1, n∑,kn−k−1n⎜⎟⎜⎟η+ηη+ηi=k⎝12⎠⎝12⎠nn当P=p,Q=q时， n,nn,nin⎛⎞η2 P=Q，P=P,2≤i≤n+1 n,1n,i∑n⎜⎟,in,i−1η+ηi=1⎝12⎠n−i+1i−kn−1⎛⎞⎛⎞ηηikinii12 Q=CC⋅pq,1in n∑,in−kn⎜⎟⎜⎟η+ηη+ηi=k⎝12⎠⎝12⎠2μμμb−a c:=ση+,c:=ση−,ϒ:=α+λ+,h:= +1−2α2σσ2σσ引理 设ξ,ξ,…是参数为η>0的独立同分布的随机变量列，正态随机{}122变量Z~N0,σ与ξ,i=1,2,…独立，则： {}()i（1） 概率密度函数 2ση()2net⎛⎞−ηtfσHh+ση, ()nn−1⎜⎟Z+ξtσ()2πσ⎝⎠∑ii=12ση()2net⎛⎞ηtfσHh+ση, ()nn−1⎜⎟Z−ξtσ()2πσ⎝⎠∑ii=1（2） 尾概率分布函数
2ση()2n⎛⎞net⎛⎞ PZ+ξ≥a=σηIa;−η,−,−ση, ()∑in−1⎜⎟⎜⎟σ2πσ⎝⎠⎝i=1⎠2ση()2n⎛⎞net⎛⎞ PZ−ξ≥a=σηIa;η,,ση, ()∑in−1⎜⎟⎜⎟σ2πσ⎝⎠⎝i=1⎠∞ax2其中，Ia;a,a,a=eHhax−adx,n≥0。 ()()n1234n34∫a1
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