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金融数学课件--(2-1)等额年金.ppt

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等额年金

(

)

（

Level Annuity

）

孟生旺

中国人民大学统计学院

年金（

annuity

）

最初的涵义：一年付款一次，每次支付相等金额的一系列

款项。

现在的含义：一系列的付款（或收款）。

年金的类型

按照年金的支付时间和支付金额是否确定，分为

确定

年金

(Annuity-certain)

和

风险

年金

(contingent annuity)

。

按照年金的支付期限长短，分为

定期

年金（

period-certain

annuity)

和

永续

年金（

Perpetuity

）。

按照年金在每期的支付时点不同，分为

期初付

年金

（

annuity-due

）和

期末付

年金（

Annuity-immediate

）。

按照年金开始支付的时间不同，分为

即期

年金和

延期

年金

（

deferred annuity

）。

按照每次付款的金额是否相等，分为

等额

年金

(level

annuity)

和

变额

年金

(varying annuity)

。

本节主要内容（等额年金）

期末付年金（

Annuity-immediate

）

期初付年金（

Annuity-due

）

期初付与期末付年金的关系

延期年金（

deferred annuity

）

永续年金（

Perpetuity

）

、期末付年金（

Annuity-immediate

）

期末付年金的含义：

在

个时期中，每个时期末付款

。

-1

的表达式

期期末付年金的现值记为  ，

表示

annuity

，

表示每

期的实际利率（可省略）。

在第

个时期末付款

的现值为 ，在第二个时期末付款

的现值为 ，这样继续下期，直到第

个时期末付款

的现值为 ，故

)







avv

  





期末付年金的现值

期末付定期年金的现值





的表达式

期期末付年金在

时的积累值之和记为  ，

表示

每期的实际利率（可省略）。

在第

个时期末付款

的积累值是   ，在第二个时

期末付款

的积累值为    ，

......

，第

个时期末付

款

的积累值为

。

)





)





1(1 )

(1 )



    

1(1 )







)







期末付年金的累积值（终值）

期末付定期年金的终值

)







一些等价关系式：

（

）

含义：

初始投资

，历时

个时期。在每个时期，此投资

将产生在期末支付的利息

，这些利息的现值为  。在第

个时期末，收回本金

，其现值为 。

（

）

含义

：积累值等于现值乘以积累因子。



)

sa i



......

（

）

证明：

)

ii i i











)











解释

：考虑

年，在第一年的年初投资

元，其价值与下述两个现金流等价：

（Ａ）每年末获得

元；

（Ｂ）每年末获得

元的利息收入，在第

年末收回１元本金，而第

年末收回

１元本金又相当于在每年末收回

元。

换言之，第二个现金流相当于每年末收回



元。

(

参见下页图示）

......

例：

有一笔

1000

万元的贷款，为期

年，若年实际利率为

％，试对下面三种还款方式比较其利息总量。

本金和利息在第

年末一次还清；

每年产生利息在当年末支付，而本金在第

年末归

还。

在

年期内，每年末偿还相同的金额。

问题：请先推测大小？

解：

（

）贷款在

年末的累积值为

利息总额为

2367.36



1000

＝

1367.36

（

）每年的利息为

万元，利息总额为

×

＝

900

1000 1.09

2367.36



（

）设每年的偿还额为

，则

解得

故利息总额为

155.82

×

－

1000

＝

558.2

结论：

偿还越迟，利息总量越高。

1000



155.82



、 期初付年金（

annuity-due

）

期初付年金的含义

：在

个时期中，每个时期

期初

付款

。

1 1 1 1 ......

0 1 2 3 ......

-1

期初付定期年金的现值

期初付定期年金的终值

记号

——

表示期初付年金的现值，

可省略

记号

——

表示期初付年金的积累值，

可省略

avv



 







)

) 1











) [1

)

]



 

)



)







和  的关系

（

）

（

）

)









（显然）

（证明见下页）

证明：

)

















（参见下图解释）

......

、期初付年金和期末付年金的比较

期末付年金          期初付年金

)









)











期末付年金与期初付年金的关系

（

）

（

）

)

aia





1()(1)

avv vv v ia



        

)

sis





(1)

(1) (1)[1

(1)](1)

i i



   

|1|





121

11( )1

avv vv v a





     

（

）

（下页图示）

说明

的

次付款可以分解为第

次付款再加上后面的

(

–1)

次付款。第

次付款的现值为

元，而后

(

–1)

次付

款的现值为   。



Present value



＝

|1|







1 1 (1

)

1 (1

)

siiiis



           

（

）

说明

如果在第

期末虚设一次付款，那么将有

(

+ 1)

次付款，其终

值为



。

从



中减去虚设的

元（其终值仍然是

元）

，即得原来

次付款的

终值



。

......

期

、延期年金（

deferred annuity

）

延期年金的含义

：推迟若干时期后才开始付款的年金。

推迟

个时期，且随后有

个时期的期末付年金可看作一个

＋

期期末付年金扣除一个

期的年金。

延期年金现值为

||||

nnmnm

avaa a







0 1 2

...

...

...

1 1

例：

某年金共有

次付款

，分别在第

期末到第

期末依次

支付。求此年金的现值和在第

期末的积累值。

1 1 1 1 1 1 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



1 1 1 1 1 1 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



年金的现值等于

a a





也等于

10|





1 1 1 1 1 1 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



此年金在第

期的积累值等于

)

iss





也等于

)

iss





、永续年金（

Perpetuity

）

永续年金

：可以持续支付下去的年金，没有结束日期。

记号

表示期末付永续年金的现值。

永续年金可看作将本金 按利率

投资，每期支付利

息   ，本金持续进行投资。

avvv





  









lim









记号

——

表示期初付永续年金的现值。



avv



   

lim







lim







年的期末付年金可看作下述两个永续年金之差：

第一个是每年末付款

，现值为 ；



第二个是推迟

年，从

n +

年开始每年支付

，现值

为  ，因此

年的期末付年金的现值等于



 

（参见下图）

现金流时间图

1 1 1 1



1 1 1 1 1 1 ......



1 1 ......

0 1 2

...

＋

＋

......



 

年金公式比较

年金

定期年金

永续年金

现值     积累值

期末付

期初付





)













)









例：

某人留下遗产

万元。第一个

年将每年的利息

付给受益人

，第二个

年将每年的利息付给受益人

，二十年后将每年的利息付给慈善机构

。若此项

财产的年实际收益率为

％，确定三个受益者的相对

受益比例。

解

：

万元每年产生的利息是

7000

元。

所占的份额是

所占的份额是

所占的份额是

10|

7000

7000(7.0236)

49165



20|

10|

7000(

) 7000(10.5940 7.0236) 24993





|20

7000(

) 7000(

10.5940)

25842

0.07





 

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