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等额年金(I)
（Level Annuity）
孟生旺
中国人民大学统计学院
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年金（annuity）
最初的涵义：一年付款一次，每次支付相等金额的一系列款项。
现在的含义：一系列的付款（或收款）。
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年金的类型
按照年金的支付时间和支付金额是否确定，分为确定年金(Annuity-certain)和风险年金(contingent annuity)。
按照年金的支付期限长短，分为定期年金（period-certain annuity)和永续年金（Perpetuity） 。
按照年金在每期的支付时点不同，分为期初付年金（annuity-due）和期末付年金（Annuity-immediate） 。
按照年金开始支付的时间不同，分为即期年金和延期年金（deferred annuity） 。
按照每次付款的金额是否相等，分为等额年金(level annuity)和变额年金(varying annuity)。
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本节主要内容（等额年金）
期末付年金（Annuity-immediate）
期初付年金（Annuity-due）
期初付与期末付年金的关系
延期年金（deferred annuity）
永续年金（Perpetuity）
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1、 期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
1
0
1
1
2
3
n-1
n
1
1
1
*
的表达式
n期期末付年金的现值记为 ，a表示annuity，i表示每期的实际利率（可省略）。
在第1个时期末付款1的现值为 ，在第二个时期末付款1的现值为 ，这样继续下期，直到第n个时期末付款1的现值为 ，故
期末付年金的现值
*
期末付定期年金的现值
*
的表达式
n期期末付年金在 n时的积累值之和记为 ， i 表示每期的实际利率（可省略）。
在第1个时期末付款1的积累值是 ，在第二个时期末付款1的积累值为 ，……，第n个时期末付款1的积累值为1。
期末付年金的累积值（终值）
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期末付定期年金的终值
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一些等价关系式：
（1）
含义：初始投资1，历时n个时期。在每个时期，此投资1将产生在期末支付的利息i，这些利息的现值为 。在第n个时期末，收回本金1，其现值为 。
（2）
含义：积累值等于现值乘以积累因子。
1
i
i
i
……
1
0
*
（3）
证明：
(参见下页图示）
*
0
n
1
……
i
i
i
i
i+1
1
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例 ：有一笔1000万元的贷款，为期10年，若年实际利率为
9％，试对下面三种还款方式比较其利息总量。
本金和利息在第10年末一次还清；
每年产生利息在当年末支付，而本金在第10年末归还。
在10年期内，每年末偿还相同的金额。
问题：请先推测大小？
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解：
（1）贷款在10年末的累积值为
利息总额为
-1000＝
（2）每年的利息为90万元，利息总额为
10×90＝900
*
（3）设每年的偿还额为R，则
解得
故利息总额为×10－1000＝
结论：偿还越迟，利息总量越高。
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2、 期初付年金（annuity-due）
期初付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期期初付款1。
1 1 1 1 …… 1
0 1 2 3 …… n-1 n
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期初付定期年金的现值
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期初付定期年金的终值
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记号 ——表示期初付年金的现值，i 可省略
记号 ——表示期初付年金的积累值，i可省略
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和 的关系
（1）
（2）
（显然）
（证明见下页）
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证明：
（参见下图解释）
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0
n
1
……
d
d
d
d
1
1
d
*
3、期初付年金和期末付年金的比较
期末付年金 期初付年金
*
期末付年金与期初付年金的关系
（1）
（2）
*
（3）
（下页图示）
说明: 的 n 次付款可以分解为第1次付款再加上后面的 (n – 1) 次付款。第1次付款的现值为1元，而后 (n – 1) 次付款的现值为 。
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1
Present value
＝
+
*
（4）
1
1
……
1
1
n期
1
*
4、延期年金（deferred annuity）
延期年金的含义：推迟若干时期后才开始付款的年金。
推迟m个时期，且随后有n个时期的期末付年金可看作一个m＋n期期末付年金扣除一个m期的年金。
延期年金现值为
*
例： 某年金共有7次付款1，分别在第3期末到第9期末依次支付。求此年金的现值和在第12期末的积累值。
*
年金的现值等于
也等于
*
此年金在第12期的积累值等于
也等于
*
5、永续年金（Perpetuity）
永续年金：可以持续支付下去的年金，没有结束日期。
记号 表示期末付永续年金的现值。
永续年金可看作将本金 按利率 i 投资，每期支付利息 ，本金持续进行投资。
*
记号 ——表示期初付永续年金的现值。
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n 年的期末付年金可看作下述两个永续年金之 差：
第一个是每年末付款1，现值为 ；
第二个是推迟 n 年，从 n + 1年开始每年支付1，现值为 ，因此 n 年的期末付年金的现值等于
（参见下图）
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现金流时间图
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年金公式比较
年金
定期年金
永续年金
现值
积累值
期末付
期初付
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例： 某人留下遗产10万元。第一个10年将每年的利息付给受益人A，第二个10年将每年的利息付给受益人B，二十年后将每年的利息付给慈善机构C。若此项财产的年实际收益率为7％，确定三个受益者的相对受益比例。
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解：10万元每年产生的利息是7000元。
A所占的份额是
B所占的份额是
C所占的份额是
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从现值的角度看，A、B、C受益比例近似为49％，25％和26％。
注：C的受益也可以看作在20年末一次性得到10万元，其现值等于
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6、可变利率年金
问题：如果用 ik 表示第k个时期的利率，即从时刻k-1到时刻 k 这段时间的利率， 分别表示第1，2，…，t 期的利率。如何计算年金的现值和累积值？
0
1
2
n-1
n
i1
i2
in
*
例：第一年初的1元，计算它在第二年末的终值时，它在第2年的利率按什么计算？
以它投资时的利率i1计算
以第二年的利率i2计算
0
1
2
i1
i2
1
?
*
期末付年金的现值
解决途径：
1、每笔款项以经历时期的利率计算
0
1
2
n-1
n
i1
i2
in
1
1
1
1
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期初付年金的现值
0
1
2
n-1
n
i1
i2
in
1
1
1
1
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期末付年金的累积值
0
1
2
n-1
n
i1
i2
in
1
1
1
1
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期初付年金的累积值（请大家写出）
0
1
2
n-1
n
i1
i2
in
1
1
1
1
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2、每笔款项都以其支付时的利率 ik 计算（了解）
期末付年金的现值
期末付年金的累积值
0
1
2
n-1
n
i1
i2
in
1
1
1
1
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期初付年金的现值
期初付年金的累积值
0
1
2
n-1
n
i1
i2
in
1
1
1
1
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注：
1、在可变利率条件下，下式仍然成立（请验证）：
2、在实践中，利率常常是几个时期才改变一次。此时，可以利用基本年金的公式。
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年金
基本年金
永续年金的现值
现值
累积值
期末付
期初付
小结
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Excel 应用
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3 某人每年年初存进银行1000元，前4年的年实际利率为6%，后6年由于通货膨胀率，年实际利率升到10%，计算第10年年末时存款的累积值。
0
4
10
1000
1000
6%
10%
1000
accumulated value
1000
