第三章 等额年金（上）
年金的含义
年金的原始含义—指一年付款一次，每次支付相等金额的一系列款项。
年金—指以相等的时间间隔进行的一系列的收付款行为，例如：投保、房贷。
年金的类型：
1、按照年金的支付时间和支付金额是否确定，可划分为确定年金和风险年金。
注：确定年金就简称为年金。
2、按照年金的支付期限长短，可划分为定期年金和永续年金。
3、按照年金的支付周期不同，可分为每年或每月支付一次的年金等等，如果是连续支付，则这种年金就称为连续年金。
4、按照年金在每期的支付时点不同，可划分为期初付年金和期末付年金。
5、按照年金开始支付的时间不同，可划分为及期年金和延期年金。
6、按照每次支付的金额是否相等，可划分为等额年金和变额年金。
年金的现值
年金的现值是指一系列付款在期初的价值
1、期末付定期年金的现值
假设年金的支付时期为n个时期，在每个时期末支付1元,其现值一般用符号an 表示。
an
注:更一般的,假设年金的支付时期为m个时期，在每个时期末支付A元,则现值B为：
B＝
例1:现在向银行存入一笔钱,希望在5年中每年末得到4000元,如果年实际利率为8%,现在应存入多少钱?
解：
B＝
＝
解：假设首次付款金额为A元
月实际利率：
18％／12＝％
例3:现有十年期50万元贷款，年利率8％，试比较以下三种还贷方式应付利息的情况：
A－在第十年底一次付清
B－每年底偿还当年的利息，本金最后一次付清
C－每年底偿还固定的金额，十年还清
解：方式A：在第十年底一次还款为
利息：
所以应付利息约为五十八万元
方式B：
每年末应付利息：
十年应付利息：
所以应付利息为四十万元
方式C：
假设每年末偿付金额为R元
＝500000
十年末偿付金额为
十年应付利息：
解：
2、期初付定期年金的现值
注:更一般的,假设年金的支付时期为m个时期，在每个时期初支付A元,则现值B为：
注:期初付定期年金的现值可通过期末付定期年金的现值求得。
例1:某企业租用了一间仓库,一次性支付50000元的租金后可以使用8年,假设年实际利率为6%,试计算如果每年初支付租金,该仓库的年租金应为多少?
解：假设每年初的租金为A
解：假设每年的退休金为A
25年后资金的总额：
3、期末付永续年金的现值
注：永续年金是指无限期支付下去的年金。
注：更一般的，若每年末支付的金额为A元，则现值为
例：某人在今后的30年内，每年初向一基金存入10000元。从第30年开始，每年末可以领取一笔退休金。该基金的收益率为6％，（1）如果限期领取20年，每次可以领取多少？
（2）如果无限期领下去（当他死亡后，由继承人领取），每次可以领取多少元？
解（1）假设每次可以领取A元
30年后资金的总额：
（2）假设每次可以领取A元
4、期初付永续年金的现值
注：更一般的，若每年初支付的金额为A元，则现值为
年金的终值
年金的终值是指一系列付款在期末的价值
1、期末付定期年金的终值
假设年金的支付时期为n个时期，在每个时期末支付1元,其终值一般用符号sn 表示
sn
注 更一般的,假设年金的支付时期为m个时期，在每个时期末支付A元,则终值B为：
B＝
解：
解：
季实际利率：
6％／4＝%
年金的终值:
现值:
解：设乙的股票出售价格为x
2、期初付定期年金的终值
注:更一般的,假设年金的支付时期为m个时期，在每个时期初支付A元,则终值B为：
例1 某人预计在10年后需要为子女支付40000元的学费,为此打算在每年初往一种基金存入一笔钱.如果该基金的年实际利率为6%,那么他每年应该存入多少钱,才能保证在第10年末获得40000元用于支付子女的学费。
解 假设每年初应存入A元
年金现值与终值的关系
期末付定期年金的终值与其现值的关系：
期初付定期年金的终值与其现值的关系：
年金在任意时点上的值
1、年金在支付期限前任意时点上的值
2、年金在支付期限内任意时点上的值
3、年金在支付期限末任意时点上的值
、年金在支付期限前任意时点上的值
（1）对于延期m个时期的期末付定期年金，试求其现值。
方法一：1、先求期末付n期年金的现值：
2、再求期末付n期年金的现值在m期前的现值：
方法二：从(m+n)期的期末付年金现值中减去m期的期末付年金现值。
（2）对于延期m个时期的期末付永续年金，试求其现值。
（3）对于延期m个时期的期初付延期年金，试求其现值。
例1 某企业向银行借入一笔贷款，银行贷款的年利率为8％，银行规定前10年不用还本付息，但从第11年至20年每年末偿还本息2000元，问这笔贷款的金额是多少？
解一：
解二：
例2 某人留下了10万元的遗产，遗嘱规定，该笔遗产前5年的利息收入由其长子领取，第二个5年的利息由其次子领取，从第11年开始，剩余遗产全部归第三个儿子。如果年实际利率为8％，试计算三个儿子在该笔遗产中分别占多大份额？
解：
2、年金在支付期限内任意时点上的值
注:原来的年金在该时点上的值等于第一个年金的终值加上第二个年金的现值。
例1 某企业从银行获得一笔贷款，年利率为6％，假设企业每年末向银行偿付20000元，10年后即可还清贷款的所有本息。如果企业打算在5年零3个月时一次付清所有贷款本息，试计算企业应该一次性偿付多少。
解：1、先计算年金在5年末的值
2、再计算3个月的复利值
3、年金在支付期限结束后任意时点上的值
例1 一份保险合同规定，年金受益人可以在每年末从保险公司领取2000元，一共领取10年（年金受益人死亡后由其继承人继续领取，直至10年期满）。年金受益人希望将这笔年金暂时存在保险公司，并在第15年末一次性领取作为其儿子的学费。如果保险公司同意按其5％的年利率支付利息，那么保险公司在第15年末应该一次性支付多少？
解：1、先计算年金在10年末的终值
2、再计算该终值在5年末的累积值
利率问题求解
与年金问题有关的量主要有三个：
1）年金的现值或终值
2）年金的支付次数n （支付时间）
3）利率
计算未知利率的方法：
1、解析法
2、线性插值法
3、迭代法（多次线性插值）
迭代法
基本公式：
迭代公式：
Nenton－Raphson迭代法
例 如果现在投资20000元,希望在今后的5年中每年末获得5000元的收入,年实际利率应为多少？
解：假设年实际利率为i
例：如果投资者在每季初向某投资基金存入1000元，当每年结转4次利息的名义利率为多少时，在第5年末可以计存到30000元？
解：假设每季度的实际利率为i
时间问题求解
问题:
与年金问题有关的量有哪些?
与年金问题有关的量主要有三个：
1）年金的现值或终值
2）年金的支付次数n
3）利率
支付时间点的两种变通方式:
1、在最后一次正常付款（期初或期末）时，附加一笔较小的付款
2、在最后一次正常付款后，再经过1个时期支付一笔小额付款。
例1 投资者将其20000元存入某基金，希望在每年末领取1000元，假设基金的年收益率为%,试计算投资者最多可以领取多长时间？
即投资者在前52年的每年末领取1000元，并在第53年中领取一笔小额付款。
在三种不同的领取时间下，分别计算最后一次的领取金额
1、中间领取
假设领取时间为第53年的第114天，领取金额为w
2、提前领取
假设领取时间提前至52年末领取，领取金额为w
3、推迟领取
假设领取时间推迟到53年末领取，领取金额为w
结论:提前付款的金额最小，推迟付款的金额最大，在中间付款的金额居与二值之间。
第四章 等额年金（下）
引言
每个支付周期结转k次利息的年金
每个利息结转周期支付m次的年金
连续年金
引言
利息结转周期—指结转一次利息所需要的时间长度
支付周期—指支付一次年金所需要的时间长度。
两种情况：
1、每个支付周期结转k次利息
2、每个利息结转周期支付m次
每个支付周期结转k次利息的年金
两种方法：
1、进行利率转换：把每个支付周期结转k次的利率转换成每个支付周期结转一次利息的利率。
2、不进行利率转换，建立新的利率公式。
例1：投资者在前2年的每年初向一基金存入1000元，在后3年的每年初存入2000元。如果该基金每月结转一次利息，月实际利率为%,试计算该项投资在第5年末的价值。
解：
1、计算年实际利率
2、计算5年末的价值
2、不进行利率转换，建立新的利率公式。
定义符号:
n表示总的利息结转次数；
k表示每个支付周期的利息结转次数；
n/k表示年金的支付次数；
i表示每次结转利息的实际利率
期末付年金
假设总的利息结转次数为n,每个利息结转周期的实际利率为ｉ, 每个支付周期结转k次利息；年金的支付周期数为n/k ,每个支付周期末付款为1元,则年金现值应为:
注:更一般的,假设每个支付周期的付款为A元,则年金现值应为:
相应的：总的利息结转次数为n,每个利息结转周期的实际利率为ｉ, 每个支付周期结转k次利息；年金的支付周期数为n/k ,每个支付周期末付款为1元,则年金终值应为:
例4 某人现在投资10000元，希望在今后的每年末领取2000元。如果每年结转4次利息的年名义利率为8％，试计算该项投资者最多可以领取多长时间。
解：
每个支付周期结转4次利息
k＝4
每次结转利息的实际利率：
i＝2%
假设总的利息结转次数为n
年金的支付次数：
例5 某人1月1日在银行存入1000元，每季度末从银行领取500元，直到剩余额经一个季度累积的本利和不够一次领取为止，剩余额在最后一次足额领取时一并支出。每月利率为，计算足额领取次数和不足额部分。
解：
每个支付周期结转3次利息
k＝3
每次结转利息的实际利率：
i＝
假设总的利息结转次数为n
年金的领取次数：
假设不足本份额为A
期初付年金
假设总的利息结转次数为n,每个利息结转周期的实际利率为ｉ, 每个支付周期结转k次利息；年金的支付周期数为n/k ,每个支付周期初付款为1元,则年金现值应为:
相应的：总的利息结转次数为n,每个利息结转周期的实际利率为ｉ, 每个支付周期结转k次利息；年金的支付周期数为n/k ,每个支付周期初付款为1元,则年金终值应为:
例6 投资者在前2年的每年初向一基金存入1000元，在后3年的每年初存入2000元。如果该基金每月结转一次利息，月实际利率为%,试计算该项投资在第5年末的价值。
解
每个支付周期结转12次利息
k＝12
每次结转利息的实际利率：
i＝%
每个利息结转周期支付m次的年金
两种方法：
1、进行利率转换：把名义利率转换成实际利率。
2、不进行利率转换，建立新的利率公式。
例8 一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果每年结转两次利息的年名义利率为6％，试计算每月末的付款金额
解 假设每月末的付款金额为x
年实际利率为:
月实际利率为:
2、不进行利率转换，建立新的利率公式。
定义符号:
n表示总的利息结转次数；
m表示每个利息结转周期包含的支付次数；
nm表示年金的支付次数；
ｉ表示每次结转利息的实际利率
期末付年金
假设总的利息结转次数为n,每个利息结转周期的实际利率为ｉ, 每个利息结转周期支付m次, 每个利息结转周期付款为1元,在每个支付周期末付款1/m元，则年金现值应为:
更一般的： 每个利息结转周期付款为A元,则年金现值应为:
注意： 以每个利息结转周期的总付款A为单位计算。
相应的：总的利息结转次数为n,每个利息结转周期的实际利率为ｉ, 每个利息结转周期支付m次, 每个利息结转周期付款为1元,在每个支付周期末付款1/m元，则年金终值应为:
例9 一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果每年结转两次利息的年名义利率为6％，试计算每月末的付款金额
解 设每个月付款金额为x元
1、总的利息结转次数：
n=5x2=10
2、每个利息结转周期的支付次数：
m=6
3、每个利息结转周期的实际利率：
i=
例10 某投资者在每月末向一基金存入100元，如果基金的年实际利率为5％，试计算该项投资者在第5年末可以积累到多少元？
解
期初付年金
假设总的利息结转次数为n,每个利息结转周期的实际利率为ｉ, 每个利息结转周期支付m次, 则在每个支付周期初付款1/m元的年金现值应为:
更一般的： 每个利息结转周期付款为A元,则年金现值应为:
年金终值应为:
永续年金
假设每个利息结转周期的实际利率为ｉ, 每个利息结转周期支付m次, 在每个支付周期末付款1/m元的永续年金现值应为:
假设每个利息结转周期的实际利率为ｉ, 每个利息结转周期支付m次, 在每个支付周期初付款1/m元的永续年金现值应为:
例12 某投资者现在投资20000元，希望在今后的每月末领取100元，并且无限期的领下去，年实际利率应为多少？
解 设年实际利率为i
