第九章 基础资产价格的变动
-------随机微分方程
第一节 引 言
第二节 随机微分方程的求解
第三节 随机微分方程的主要形式
第四节 股票价格对数正态分布的特性
第一节 引 言
随机微分方程
即将随机价格的变动分解为可预测和不可预
测两部分，且分解过程用到在时刻t的信息集。
对于不同的市场参与者来说他拥有不同的信
息集，那么随机微分方程的含义不同。
如：假如一个市场参与者拥有“內幕信息”，可事
先获知影响价格变动的所有随机事件，则在这
种（非现实）情况下上式中的扩展项等于零。
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随机微分方程的具体形式以及误差项
的定义都要依赖于信息集
即维纳过程 与信息集 相对应。
原因 参与者知道 将如何变化，他就能完全
预测这一变量，即对任一时刻而言都有
因此这类参与者的随机微分方程可写作
而其他参与者的随机微分方程则是不变。
表明
首页
随机微分方程可用于对衍
生金融资产定价的原因
对于标的资产的价格是如何随时间而发生变动，
此方程不但给出一个规范的模型，而且其推导
过程与金融市场中的交易者行为是一致的。
实际上：在一个给定的交易日中，随着时间的
推移，交易者总是不断地预测资产的价格并随
时记录新事件的发生。这些事件中总会包含一
些不可预测的部分，但过后这些不可预测部分
也会被观测，此时这些事件均已成为已知事件，
并变为交易者拥有的新信息集的一部分。
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随机微分方程
模型一般条件
即随着时间地推移，主参数和扩展参数不会发
生太大幅度地变动。
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第二节 随机微分方程的求解
随机微分方程所含未知数是一个随机过程
，因而求其解就是要找寻一个随机过程，使
其运动轨迹及发生概率都与其它需准确测量
的轨迹相关联。
一、解的含义
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观察在很短的且不连续的时间间隔上的有限差
若此方程的解是一个随机过程 ，则意味着
1、如何找到一系列用ｋ来标识的随机变量，以
满足上式中的增量
2、能否知道满足方程的随机过程 的时态函数
和分布函数。
3、对任一给定的 和 ，能否找到一系列
的随机数对于所有的ｋ而言都满足上面的等式。
首先
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再寻求当时间间隔h趋于0时的方程的解其次
如果连续的时间过程 ，
满足下列方程
则定义 是随机微分方程 的解。
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则随机过程 ：
二、解的类型
1．强解
已知主参数 ，扩展参数 以及随机
变动项
称为随机微分方程 的强解。
强解与一般微分方程的解是相似的注 首页
2．弱解
其中 是一维纳过程.
求得过程
已知主参数 ，扩展参数
使其满足下面随机微分方程
则称 是随机微分方程的弱解。
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与 的区别
相同点 都是均值为0，方差等于 的维纳过程；
密度函数的表达式相同。
从这个意义上来讲，这两个随机误差项之
间不存在什么区别。
不同点
限定二者的一系列信息集不同。
虽然基本的密度函数是相同的，但如果被不同的
信息集来衡量，那实际上这两个随机过程代表了现实
生活中根本不同的两种现象。
说明1
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其中的扩展项包含外生变量 ，它表示影响价
格进行完全不可预测变动的极其微小的事件。这一
系列小事件形成的“历史”就是ｔ时刻的信息集 。
计算强解是在给定 时，求满足方程的值 ，
也就是说为得到强解，需要知道集合 ，强解
与 是相互对应的。
计算弱解 时不需要考虑生成信息集 的过程，
但需考虑与过程 的相关联。又过程 可生成
另外的信息集 ， 且它是 的鞅。
说明2
因此，弱解
需要满足
首页
强解和弱解具有相同的主项和扩展项，因此 和
具有相似的统计特性。给定均值和方差，两解虽然
有所不同，但我们并不能把二者区别开来。
若误差项 已知，则金融分析家会选择强解。
三、解的选择
但是在运用解随机微分方程的办法来对衍生金融产
品进行定价时，并不能准确获悉过程 的实际情况，
我们能够运用的只有其波动率和波动趋势，因而，
在这种情况下给衍生产品定价，应运用弱解。
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四、随机微分方程解的证明
看一个特殊的随机微分方程：
即在对看涨期权定价之中运用的布莱克——
休斯模型。
变形
首先计算
由于
普通积分
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而
虽含有一个随机项，但 的系数是一个不随时
间而改变的常数。
因
故
即随机微分方程的任何解都必须满足这一积分方程
下面用伊藤定理来解决这一方程。
考察备选项：
首页
用伊藤定理来计算随机微分
即
若 则这正是给定的随机微分方程。
因此，求得随机微分方程的强解为：
首页
要求随机微分方程的强解，应考虑备选解法，即找
出依赖于参数的函数，如
然后运用伊藤定理来检验这一备选项是否满足随机
微分方程或相应的积分方程。
注
五、资产现值的应用
假设 是某资产的价格，其价值的增加带有不确
定性，即
则此随机微分方程强解的备选答案是
首页
且最有效的预测值是条件期望：
则资产的现价 为：
即现值等于时刻Ｔ的预期价值用折现率ｒ来进
行折现。
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要证明结论成立，需先计算
由于
故
求 的方法：（两种）
（1）
其中 表示维纳过程的条件密度函数
利用维纳过程的密度函数直接求。（很难）
首页
（2） 利用伊藤定理间接来求。（简单）
首先，令
其次，用伊藤定理
再次，考虑相应的积分方程
最后，两边求均值
而 首页
故
若记
则有
所以 且
故得 即
从而
首页
即
所以 首页
特别
即当时间t = 0时，资产价格等于预期将来的价格用
折现率r来进行折现。
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第三节 随机微分方程的主要形式
本节介绍几种特殊的随机微分方程，并说明它们
是代表何种资产的价格以及是如何运用的。
一、常系数线性随机微分方程
形式为：
其中 是变量t的标准维纳过程
随机微分方程中，主系数及扩展系数不随时间的
变动而变化，即与信息集是不相关的。
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方差
适用条件
在短暂的时间间隔h中，价格变动的均值
（1）资产价格比较稳定；
（2）价格变化趋势是线性的；
（3）波动项不是无限大；
（4）资产价格不存在一种规律的“跳跃性”。
常系数的随机微分方程描述的是资产价格围绕线性
趋势进行的一种波动。
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二、几何随机微分方程 布莱克和休斯模型
形式为：
即主参数和扩展参数都依赖于时刻t 所掌握的信
息，且趋势变动和标准变动与 是成正比的。
变形
即说明主项与扩展项对于 的相对变动仍是一个
不变的常数。
几何模型描述的是资产价格价格在一种指数趋势上
的随机波动。对大多数资产价格来说，这种指数趋
势似乎更符合实际。
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三、平方根过程
形式为：
遵循指数变动趋势，但标准差则是 的平
方根的函数。
方差
即方差与 成正比的。在实际情况中，这会增
大了相对于 的变动。
误差项的方差与 是成比例的。因此，若 随的增大，
资产价格的变动率不是迅速增加，运用此模型更为合适。
方差
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四、均值调整过程
形式为：
若 比均值 小，则 ，这就使得
倾向于为正数，故 最终回复到均值 。
说明 均值调整过程有一变动主趋势，但此趋势的偏差不
是完全随机的。过程 可与长期趋势发生较小的偏离，
但最终会回复到正常趋势，这种偏离的平均度是由
参数 来控制的，但参数变小时，偏离的时间会
变长。这时资产的价格会显示出一些可预见的周期
性，使得模型与市场的有效性假设相违背。
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五、奥伦斯坦——乌伦贝克过程
形式为：
其中主项与 负相关，系数为 ；扩展项属于常参
数类型。属于均值调整随机微分方程的一个特例。
说明
这个模型表示资产价格在0附近波动，并且其偏离最
终会回到长期的0均值状态，参数 控制这种偏离的
时间， 越大， 回复均值的速度越快。
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六、随机波动率
随机微分方程的主参数和扩展参数可通过随机性获
得，这对于衍生金融产品而言，更具有应用价值。
因为波动率不仅随时间的变动而变动，而且在给定
的价格 下波动也是随机的。
如 设资产价格 的随机微分方程：
的变动遵循随机微分方程：
其中维纳过程 ， 是相关的
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资产波动率的长期均值为 ，但在任一时刻t，实际
的波动率可能会偏离这一长期均值，调整系数为
则市场参与者可以根据这些因素，更好地计算预期
的资产价格及预期的价格波动率。
运用这种渐进的随机微分方程，我们可获得愈来愈
复杂的模型以反映现实生活中的金融现象。
增量 对变动率有不可预测的冲击，它与对
资产价格 的冲击是不相关的。
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下面应用伊托定理来推导 变化所遵循的随
机过程。
第四节 股票价格对数正态分布的特性
如果股票价格S遵循几何布朗运动，即
定义
由于
所以有伊托公式可得，函数G 所遵循的过程为
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由于 和 是常数，所以上式表明G遵循的是推广
的维纳过程。它具有常数漂移率 和常数方
差率 。
从而表明，从时间t到T期间， 的变化呈正态分
布特征，其均值为
方差为
若令S表示现在时间t的股票价格， 表示在未来
某时T的股票价格，则在时间区间 中
的变化就是
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即有
其中 表示均值为m，标准差为n的正态分布。
根据正态分布的特征，则下式也成立：
这表明 服从正态分布，其标准差与 成比
例，也就是说股票价格对数变化的不确定性是以标准
差来估算的，且与估算的时间长短的平方根成比例。
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例6 设有某种股票，其初始价格为40美元，年预期收
益率为16%，年波动性为20%。六个月后，该股
票价格的概率分布是什么？计算该分布的均值和
标准差（95%的置信区间）。
解 在六个月后，股票价格 的随机分布服从对数
正态分布，即有
故
由于一个正态变量，位于均值的标准差为范围
以内的概率为95%，所以 的置信区间为
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故
即是说，在六个月之后股票价格在和之间
的概率为95%。
由于 服从正态分布，从而 具有对数正态分
布的特征，因此可以得到 的期望值和方差：
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例7
假设某种股票当前的价格为20美元，每年的
预期收益率为20%，每年的波动率为40%，
则在一年后股票价格的均值和方差是多少？
解
一年后股票价格服从正态分布，其均值为
方差为
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