一种计算时基失真估计不确定度的新方法1
林茂六 1，张 喆 2
1 哈尔滨工业大学电子与通信工程系（150001）
2 哈尔滨工业大学电子与通信工程系（150001）
摘 要： 本文在前期工作的基础上，提出了一种计算时基失真估计不确定度的新方法。首
先讨论了时基失真估计过程中加权，权值也就是信号方差的近似形式。通过理论推导以及仿
真实验验证了：只要谐波幅度比较小，多次谐波信号的方差都可以用含有基波信号的方差来
代替。本文给出了一种新的时基失真不确定度的定义。这个新的定义不同于文献[2].然后给
出了一种实用的时基失真估计不确定度的计算方法。通过仿真实验验证了这个近似的估算公
式的合理性以及可应用性。与文献[2]提出的近似计算方法相对比，本文提出的方法具有更
加合理的优点。通过仿真试验还获得一个结论：抖动方差以及加性噪声方差对时基失真估计
的不确定度有一定的影响。
关键词：不确定度；时基失真；处理内方差；处理间方差；均方根误差;
1. 引 言
本论文的工作是根据“高性能宽带取样示波器校准系统”（该项目属国防军工计量“十
五”计划重点项目（60521103），由中国航天科工集团二院承担）项目中的一些关键技术难
题衍生出来的新的研究课题。上述项目主要是研究一种新的宽带计量标准。主要工作是利用
nose-to-nose 方法来获得皮秒量级的宽带谐波相位标准 [3]。在此项目的研究中采用三台
HP54124（20G）宽带采样示波器。到目前为止，我们已经对高速采样示波器的误差估计以
及修正作了一些研究。前期的工作(见参考文献[1])主要是，利用多频率多相位正弦波拟合方
法估计出了实验所应用的 HP54124 高速采样示波器的时基失真。在时基失真估计中加权所
用到的正弦信号的方差是由加性噪声以及抖动方差来获得的。由于时基失真是系统硬件引起
的确定性系统误差，所以可以通过正弦拟合的方法估计出来并进行修正。但是这种估计方法
的准确程度没有一个可以衡量的尺度。本论文在前面研究的基础上，在实际应用正弦拟合的
算法估计时基失真的过程中，同时获得每组数据估计数值的偏差和方差。文献[2]给出了时
基失真不确定度的定义,该表达式由于包含了时基失真的真值，无法直接应用。因而[2]根据
给出的时基失真估计不确定度的定义公式，经过推导、近似，得到一个可以实际应用的时基
失真估计不确定度的定义形式。而本文则根据概率统计的处理内方差以及处理间方差的定
义，对时基失真不确定度的定义式进行处理，得到了更加优化的可以直接应用的计算方法。
1 本课题得到国家自然科学基金（NEFC ）
高等学校博士学科点专项基金（RFDP ）
黑龙江省自然科学基金(F0302)资助
- 1 -
2. 时基失真
TBD 是由采样示波器硬件系统所产生的确定性误差，如果不进行校正，就会影响测
量精度。而且 TBD 的不连续性会使测量的短脉冲波形严重失真。这种不连续性必须在原始的
测量数据中检测并消除掉。在估计时基失真的时候通常选择两个比较近似的频率，我们选择
波形的测量频率为 和 ；对于每一个频率，信号在不同的初始相位进行采
样。离散时间测量信号的模型如下[1]：
1
y sin[(2 )
h
i k k k i i k
k
f t ] iα β π τ ϕ
=
= + + + +∑ ε (1)
这里的第 i 次采样为实际采样时刻 t 的函数再加上加性噪声i iε 。实际的 t 可以表示为： i
( 1)i s it i T g iτ= − + + (2)
这里的 Ts 为采样间隔；(i -1)Ts 为理想的采样时刻； 为确定性误差即时基失真（TBD）； ig
iε 是独立、随机分布的加性噪声，均值为零、方差为 εσ 。 iτ 为随机抖动，服从独立、随机
分布，其方差为 τσ 。经过正弦拟合的方法得到时基失真估计值：
20
1
1ˆ
20i j
g
=
= ijg∑ � (3)
式中的 20 是在时基失真估计的过程中，我们共处理了 20 组数据。具体的含义参看文献[1]。
本文中的 20 皆是这个意义。时基失真均方根误差的计算公式为：
2
1
1 ˆ(
N
i i
i
S g
N =
= −∑ )g
i
(4)
式中，N 是每组数据的点数。
3. 信号方差
可以将数据模型简化成下式：
( )i iy f tα τ ε= + + + (5)
然后在τ 点对其进行一阶泰勒展开：
'( ) ( )(i i iy f f t t )α τ τ ε τ≈ + + + + − (6)
分别对等式的两端求方差得到：
'
2 ' 2 2
var( ) var( (2 )) var( ) var( ( )( ))
[ ( )]
i i
i
y f f t t
f tε τ
i iα τ ε
σ σ
≈ + + + −
≈ + (7)
τ
可知，正弦信号的方差与加性噪声方差，抖动方差以及正弦信号在时间点的一阶导数有关。
分别将有基波以及三次谐波的正弦信号的表达式带入(7)式，结果见附录。通过比较式（22）
以及（24）结果可知，基波的正弦信号的方差可以直接代替二次谐波以及三次谐波的方差。
因为，二次谐波和三次谐波的幅度相对于基波来说是很小的。归一化的谐波幅度通常都小于
－40dB。从信号方差的表达式（见附录(22)及(24)式）可以看出，在计算信号方差的时候，
二次谐波，三次谐波的系数要经过平方，这样，相对来说就可以忽略了。因此要计算信号的
方差，就可以直接用含有基波的信号方差的形式来代替。而不用多次谐波的形式了。以上内
容应该是对文献[1]的一些补充说明。
- 2 -
4. 时基失真不确定度
时基失真估计不确定度的定义主要从数据处理这方面提出来的。在数据处理的过程中的
均方根误差被定义为时基失真估计的不确定度【2】:
2
1
1 ˆ( ) ( )
N
i i
i
u g g g
N =
= −∑� (8)
式中均方根误差的计算时需要时基失真的真值。但是，时基失真的真实值是我们所不知道的。
因此，为求均方根误差，就需要对表达式进行近似。从而得到比较合理的近似值。而通用的
均方根值的计算都是将最终估计的值作为真实值来应用。因而(8)式失去意义。为此，根据
具体需要，针对时基失真本身的特点，文献[2]将均方根误差的表达式用以下形式代替：
20
2
1
ˆ ( ) ( ) ( / 20) ( ) / 20i ik ik
k
u g var g var g var g
=
≈ = =∑� � � � � � � (9)
1024 20
2
1 1
1 1ˆ ( ) ( )
1024 19ik ik ii k
var g g g
= =
= −∑ ∑� � �
(10)
根据文献[4]（P251）中的处理内方差以及处理间方差的定义，可知，在时基失真估计
的过程中由于采用了多组的估计，因此，总的方差又分为处理内方差和处理间方差。如下：
1024 20
2
1 1
1 1 ˆ(
1024 19 ik ii k
g gσ
= =
= ∑ ∑总 2)− (11)
ˆ( ) (ik i ik k k ig g g g g g− = − + − )� (12)
将上式两边分别平方然后求和，经过整理可以得到以下的式子：
2 2
, , ,
ˆ( ) ( ) (ik i ik k k i
i k i k i k
g g g g g g− = − + −∑ ∑ ∑ 2)�
(13)
可见等式的两端都是方差的形式，这样分别用下式来代表：
var wv v= = + bv (14)
vw定义为处理内方差，vb 定义为处理间方差。
2
,
ˆ(w ik
i k
v g g= − )k∑ (15)
2
,
(b k
i k
v g g= − )i∑
(16)
文献[4]给出了一种简单的方法来计算总方差，处理内方差，处理间方差如下：
2
2
,
ˆ ik
i k
v g
NL
τ= −∑ (17)
2
21
b i
i
v
L NL
ττ= −∑ (18)
上面两式中参数分别为：
i i
k
kgτ =∑ �
， ,
ik
i k
gτ = ∑ �
(19)
- 3 -
由此可以获得处理内方差：
wv v vb= − (20)
由此可以定义新的不确定度的定义。分别为处理内方差定义为处理内不确定度；处理间方差
定义为处理间不确定度。总方差定义为时基失真估计的不确定度。三个新的定义的计算的方
法见上面的公式。对比文献[2]以及本文提出的这两种方法，本文提出的新的方法很容易推
导出来。而且计算量相对来说小。首先，我们定义了处理内不确定度以及处理间不确定度。
这两个新的定义分别代表了在时基失真估计的过程中组内以及组间的 RMSE。
下面通过仿真实验来看看时基失真估计不确定度。仿真实验的数据比较接近于实验室的
真实数据。采用 4ns 窗，采样点数为 1024 点，谐波次数为 3 次，共有 20 组数据。每组 4 个
波形。每组包含 的信号和它的近似正交信以及 GHz 的信号和它的正交信号。
三次谐波的幅度是基波幅度的 5％。加性噪声的标准偏差是信号幅度的 6％。抖动噪声的标
准方差是采样间隔的 20％。加权的迭代方法参考文献[1]。仿真实验的结果如下：
v2=; v2b =; v2w =;
通过仿真实验的结果可以看出，处理间不确定度对整个不确定度的影响很小。主要决定时基
失真估计不确定度的因素是处理内不确定度。因此也可一得出一个结论：在计算时基失真估
计不确定度的时候可以用处理内不确定度来近似估算总的不确定度。
5. 抖动以及加性噪声的影响
下面分别通过仿真实验来看看抖动噪声以及加性噪声对不确定度的影响。分别改变抖动
标准偏差以及加性噪声的标准偏差来看看这两者对总不确定度，处理内不确定度，处理间不
确定度的影响。仿真实验的参数和上面相同。仿真实验的结果分别见表 1 和表 2。
( )
V
ps
ε
τ
σ
σ
= v
2
(ps)
v2b
(ps)
v2w
(ps)
表 1：改变抖动标准偏差的影响
( )
ps
V
τ
ε
σ
σ
= v2
(ps)
v2b
(ps)
v2w
(ps)
表 2：改变加性噪声标准偏差的影响
通过这两个表格的对比，可以看出，抖动对处理内不确定度和处理间不确定度均有影响。
而加性噪声对处理间不确定度的影响比较明显，而对处理内不确定度影响很小。重复 200
次实验获得的时基失真不确定度见图 1。文献[2]中的仿真结果复制过来如图 2。通过对比两
幅图，可以看出，本文提出的新的方法估计出来的结果与文献[2]的估计结果近似。因此，
可以得出结论：本文提出的方法具有理论性强，更加合理的优点。
- 4 -
图一：时基失真估计不确定度
图二：[2]获得的时基失真估计不确定度
6. 结论
本文主要针对时基失真估计过程中的需要加权的权值——信号的方差进行了分析。得出
了一个简单的结论：在二次以上谐波幅度很小时，信号的方差可由基波的方差来代替，而不
用计算含有二次以上谐波的信号的方差了。另外，本文引入了概率统计的有关处理内方差以
及处理间方差的定义，对时基失真不确定度提出了一个新的定义——处理内不确定度以及处
理间不确定度。通过对比，这个新的定义更加趋于合理，而且避免了文献[2]所讲的需要通
过仿真实验来获得近似的结果。因此，我们认为这是一种比较理想的方法。此外，本文通过
仿真实验看到了加性噪声以及抖动对时基失真估计不确定度的影响。
7. 附录
仅仅含有一次谐波的正弦信号的表达式及其展开形式如下：
sin( ( ) )
sin( )cos( ) cos( )sin( )
i i i i
i i i
y t
t t i i
α β ω τ ϕ ε
α β ω ϕ ωτ β ω ϕ ωτ
= + + + +
= + + + + +ε
2
(19)
其方差的表达式为：
含有三次谐波的正弦信号的表达式及其展开形式如下：
2 2 2 2 2 2 2 22 22 2 ' 2
1var( ) (1 2 ) / 2 ( ( )) ( ) /i iy e e g t e eτ τ τ τ
ω σ ω σ ω σ ω σ
εβ σ ω− − − −= + − + + −
(20)
1 2 3
1 1
2 2
3 3
sin( ( ) ) sin( ( ) ) sin( ( ) )
sin( ) cos( ) cos( )sin( )
sin( )cos( ) cos( )sin( )
sin( ) cos( ) cos( )sin( )
i i i i i i i
i i i i
i i i i
i i i i i
y t t t
t t
t t
t t
iα β ω τ ϕ β ω τ ϕ β ω τ ϕ
α β ω ϕ ωτ β ω ϕ ωτ
β ω ϕ ωτ β ω ϕ ωτ
β ω ϕ ωτ β ω ϕ ωτ ε
= + + + + + + + + + +
= + + + +
+ + + +
+ + + + +
ε
(21)
对等式两端分别求方差，会获得很多交叉项的谐方差，下面给出了各个谐方差的推导结果：
cov(sin ,cos ) 0nx mx =
2 2 2 2/ 2 9 / 21
2cov(sin ,sin 2 ) ( )x x e eτ τ
ω σ ω σ− −= −
2 2 2 22 81
2cov(sin ,sin 3 ) ( )x x e eτ τ
ω σ ω σ− −= −
- 5 -
2 2 2 2/ 2 25 / 21
2cov(sin 2 ,sin 3 ) ( )x x e eτ τ
ω σ ω σ− −= −
2 2 2 2 2 2/ 2 9 / 2 5 / 21
2cov(cos ,cos 2 ) ( )x x e e eτ τ
ω σ ω σ ω σ− − −= + − τ
2 2 2 2 2 22 8 51
2cov(cos ,cos3 ) ( )x x e e eτ τ τ
ω σ ω σ ω− − −= + − σ
2 2 2 2 2 2/ 2 25 / 2 13 / 21
2cov(cos 2 ,cos3 ) ( )x x e e eτ τ
ω σ ω σ ω σ− − −= − − τ
2ω
2
将以上的结果带入(21)式可以得到：
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 8 42 2
1 2
18 9 22 2 ' 2
3 1
4 8 9 18' 2 2 ' 2 2
2 3
'
1
var( ) (1 2 ) / 2 (1 2 ) / 2
(1 2 ) / 2 ( ( )) ( ) /
( ( )) ( ) / 4 ( ( )) ( ) /9
i
i
i i
y e e e e
e e g t e e
g t e e g t e e
g
τ τ τ τ
τ τ τ τ
τ τ τ τ
ω σ ω σ ω σ ω σ
ω σ ω σ ω σ ω σ
ε
ω σ ω σ ω σ ω σ
β β
β σ
ω ω
− − − −
− − − −
− − − −
= + − + + −
+ + − + + −
+ − + −
+ 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
/2 9 /2 2 8 /2' 2 ' '
2 1 3
/2 25 /2 /4 9 /4' ' 2 2
2 3 1 2
4 2
1 3 2 3
( ) ( )( ) / 2 ( ) ( )( ) /3
( ) ( )( ) /5 ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
i i i i
i i i i
i i i i
t g t e e g t g t e e
g t g t e e g t g t e e
g t g t e e g t g t
τ τ τ τ
τ τ τ τ
τ τ
ω σ ω σ ω σ ω σ
ω σ ω σ ω σ ω σ
ω σ ω σ
ω ω
ω
− − − −
− − − −
− −
− + −
+ − + −
+ − + 2 2 2 2/4 25 /4 2( )e eτ τω σ ω σ− −−
(22)
参考文献
【1】林茂六 张喆，“高速采样示波器中的时基失真及其估计”，计量学报，
【2】, , , and Tracy Clement, “Uncertainty of oscilloscope timebase distortion
estimate”, IEEE Trans. Instrum. Meas., , 2002;
【3】, , and , “Esti-
mating the Magnitude and Phase Response of a 50 GHz Sampling Oscilloscope using the ‘Nose-to-Nose’
Method”55th ARFTG Conf. Dig. June, 2000.
【4】Murray , John Schiller, Srinivasan, “Schaum’s Outline of Theory and Problems of Probability
and Statistics” Second Edition, copyright by the MeGraw-Hill Companies. Inc, 2000.
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A New Method for Calculating an Uncertainty of
Time-base Distortion Estimation
LIN Mao-liu
ZHANG Zhe
Abstract
This paper study a formula of signal variance used in the estimation of time-base distortion. We
can know that the signal variance having many harmonics can be replaced by the signal variance
having fundamental. This paper also introduces a new definition of the uncertainty of TBD which is
different from the definition of the TBD from reference[2]. We then give a new practical method for
calculating the uncertainty of TBD. This method is reasonable and practical. Then study the effect on
the uncertainty of TBD by the additive noise and the jitter noise. The additive noise has little effect on
the between processing uncertainty. The jitter noise has effect on both between processing uncertainty
and within processing uncertainty.
Keywords: uncertainty; time-base distortion; within-processing variance; between-processing
variance; root mean square error
作者简介：林茂六，1967 年毕业于成都电子科技大学。现任哈尔滨工业大学电子与通信工
程系教授，博士生导师。主要的研究方向包括非均匀采样信号的理论及应用；大信号网络分
析以及模糊信息学等。
张喆，2001 年，2003 年分别于哈尔滨工业大学电子与通信工程系获得学士学位
及硕士学位。现就读于哈尔滨工业大学电子与通信工程系攻读博士学位。主要的研究方向为
高速采样示波器相位校准。
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