第 15卷 第5期
2006年 l0月
运 筹 与 管 理
0PERAT10NS RESEARCH AND MANAGEMENT SCIENCE
Vo1．15，No．5
Oct．2006
恒生指数和上证指数相似性分析
张曙光 ， 崔翔宇
(中国科学技术大学 统计金融系，安徽 合肥 230026)
摘 要：本文通过对恒生指数和上证指数历史数据的处理，给出HURST维数的R／S估计，进而研究两个股票指
数的相似性。结果显示 97～98香港证券市场和2001年后中国内地证券市场有着很强的统计相似性。
关键词：金融学；相似性；R／S估计；HURST维数；股票指数
中图分类号：F830．91 文章标识码：A 文章编号：1007．3221(2006)05．0I16．06
Analysis of Similarity of Hang Seng Index to Shanghai Index
Abstract：In this paper，we get the R／S estimations of HURST dimension through computing the historical
data of Hang Seng Index and Shanghai Index，and study the similarity of two indexes．W e conclude that se—
curities market of Hong Kong during 1997—1998 and securities market of mainland China after 2001 have
strong statistical similarity．
Key words：finance；similarity；R／S estimation；HURST dimension；share indexes
0 引言
自然界中的所有形状和人类迄今所考虑的一切图形，大致可分为两种。一种是具有特征长度的图形，
其共同的性质是几乎任何位置都是可微的，即近似平滑的。另一种则是不具有特征长度的图形，它否定平
滑程度，任何地方都不能用微分定义，其重要性质是自相似性(或统计自相似)。我们把这种没有特征长度
的图形、构造以及现象通称为分数维[川。
描述分数维的一个重要参数是分数维维数(分维)，它主要描述分形的不平滑、不规则、复杂或混乱程
度，即分维值越大，分形的不平滑、不规则和复杂混乱程度越大。
通常，可把分数维统一定义为q次的信息量维数(或Renyi维数)
击 孥 ㈩
其中：(1)式中 ￡为标度；P 为概率；q是参数。当 q=0时，D ：D0为容量维数或称盒子维数、豪斯道夫
(F．Hansdorff)维数；当 q=1时，D口=D1为信息维；当 q=2时，D =D2为关联维数。
R／S分析[2,3](rescaled range analysis)是 Hurst(H．E．Hurst)于 1965年提出的一种时间序列统计方
法，它在分形理论中有着重要的作用。其基本思路是对于时间序列{z }，设观测次数为 M，令
收稿 日期：2006—03．27
基金项目：国家自然科学基金资金项目(10201029)
作者简介：张曙光(1967．)．男，安徽淮北人，剐教授、博士，主要从事随机分析和金融数学的研究。
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第5期 张曙光，等：恒生指数和上证指数相似性分析 117
X
．
N= (z 一zN) (2)
= 1
RN
1
m
≤刚
ax[Xt，N I_
1≤
ra
刚
in{X ．N} (3)
其中，N是子区间的长度，X ．N=N期间的累积离差，；N=N期问的均值，RN=N 期间上的极差，1≤N
≤(M一1)／2，这里 尺 随N 的增大而增大。
为比较不同类型的时间序列，Hurst用观测值的标准差去除极差 R 得到下列关系式：
尺N／SⅣ=(“N)H (4)
其中，S =N期间上的标准差，a是常数，H是Hurst指数，且 0≤H≤1。
Hurst指数[ -5]有三种不同类型：(1)H=0．5， (2)0≤H<0．5． (3)0．5<H≤1。根据统计学的
知识，当 H=0．5时，原序列是标准随机波动的，现在不会影响将来，即原序列缺乏长期的统计相关；当O
≤H<0．5时，原序列具有反持久性，它经常被称为是均值回复的，即过去的增量与未来的增量是负相关
的；当0．5<H≤1时，原序列具有持久性，即过去的增量与未来的增量是正相关的，如果一个序列在前一
个时期是向上(下)走的，那么，它在下一个时期将继续向上(下)走。持久性的水平可以通过 H 与 O．5的
差的大小来度量。
对等式(4)两端取常用对数(以10为底)得：
log(RN／SN)=Hlog(N)+Hlog(“) (5)
因此，找出RN／SN对于N 的log／log图的斜率，或将1og(尺N／SN)对log(N)作 OLS估计 ，即可得到 H。这
个 H的估计对于其分布形状未做任何假定。
V统计量定义为 (R／S)N=(R／S)N 。由定义知， 统计量是(R／S)N相对于~／N的变化率。
当序列呈现出持久性(H>0．5)时，变化率(即 V统计量)单调上升；当序列呈现出随机游走或反持久性
(H=0．5或 H<0．5)时。变化率近似为常数或单调下降；曲线由上升转而为常数或下降的分界点即为序
列“长期记忆”的消失点 J。
股票数据的分析步骤[ · ]：
(1)计算股票的对数收益率 J： =In(P ／p 一1)。
(2)将长度为 M 的时间序列{．27，}分成 A个长度为N的相邻子区间，AN=M。每个子区间分别记为
I。，这里 a=l，2⋯，A；每个 L上的 记为z女． ，这里 k=1，2，⋯N。对于每个子区间 L，利用(1．1)计算
一
累积偏差 ：X ．。 ： ∑ (36 —ea)，其中 为(z )的均值。
i 1
(3)利用(1．2)计算每个子区间的极差：Rf。
Rt 。 ，n 。≤m in i Xk，n}。
1
(4)对于每个N计算(R／S)N：(R／s)N=去∑ (Rf／St)，其中 为区间L上的标准差。
。
d
。 ．
s
1
(5)做出 V统计量 、，(R／S)N=(R／S)N／ 相对于 log(N)的曲线，找出曲线由上升转而为常数或
下降的界点 N(0)。我们可以认为经过了N(0)时间之后，序列的长期相关性就已经基本不复存在，即一
个股票的数据信息影响了 N(0)的时间。
(6)将(R／s)N数据按照(：N(0)和)N(0)分为两组，分别利用(1．4)估计出 Hurst指数。这样我们
得到在序列长期相关性存在时，序列的 Hurst指数 Hl，以及在序列基本不存在长期相关性时，序列的 urst
指数 H2。(以往的股票市场分析显示 H2应该很接近0．5)
1 对恒生指数的分析
1997~1998日数据分析：
我们根据第一节中数据的分析步骤对指数 13数据的对数收益率(图 1所示)应用 ／S分析，得到的
V统计量相对 log(N)的图 2：
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图 1 1997～1998恒生指数日数据的对数收益率曲线
图2 1997～1998恒生指数 V统计量和 【0g(E(R／S))图
E(R／S)N= (0．5 (6)
我们从上图可以发现在 N=112处附近V统计量开始出现下降趋势，因此我们就取 112天作为该时19序
列的平均周期。(大概为22周左右)接下来以112为分界点，将 R／S值和 N值分为两个部分，分别进行最
小二乘回归，得到的拟和结果见表 1
表 1 1997～1998恒生指数 R／S分析分组拟和结果
注：( )中为相应估计的标准差，【j中为相应估计的t统计量(下同)
N<=112时，Hurst指数的估计值为 0．6341(95％置信区间(0．6222，0．6460))，显然不是随机波动
的。这说明恒生指数的对数收益率在 1997～1998年中不能用随机布朗运动模型刻画，它有着较为明显的
趋势。这个可以从恒生指数的走势图中直观的得到启发。
N>112时，Hurst指数接近 0．5(95％置信区间(0．4793，0．5411))，说明在相隔了 112天之后，市场对
数收益率之间就不存在明显的依赖关系了，而呈现出随机波动的性质。拟和结果见图3。
如果不对数据进行分组，直接进行拟和得到的结果见表2：
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图 3 1997～1998恒生指数 R／S分析拟和结果
表 2 97～98恒生指数不分组拟和结果
可以发现这时拟和得到的Hurst指数的估计为0．6072，与分组的结果有着很大的区别。接下来 ，对我
们对 1986．12．31到2005—1—28的恒生指数数据应用类似的分析，拟和结果见表 3(我们取 N=183(大约
36周左右)为平均周期)：
表 3 1987～2005恒生指数 R／S分析分组拟和结果
往 ：( )中为相应估 计的标 准差 ，l J中为相厦估计的 t统计重 o
N 超过 183时拟和的 Hurst指数为0．4695，与 0．5的随机波动有一定的差别，这个主要是因为对于
大于 183的情况进行计算时，有很多的尾部数据被舍去了。拟和结果见图4(竖线位置为分界点)
通过比较我们可以发现：在 1997～1998年金融危机期间，恒生指数对数收益率的 Hurst指数大于一
个相对较长时期的 Hurst指数，这说明在 1997--1998年恒生指数收益率的走势更加具有趋势性(下跌趋
势)，驱动其发生变动的因素则少于一般情况(这一时期的驱动因素主要是国际游资的炒作与香港政府的
反击)。
另外，与 1997--1998的分析相比，分界点变大了很多。这主要有两个原因，其一在 1997～1998期间，
市场的驱动因素较少，价格变动的信息会相对较快地为市场所消化；其二在 1997～1998的数据时间跨度
较小，不能十分准确的取得这个“长期记忆”的很好估计。
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2 上证指数的分析
图 4 1987-2005恒生指数 R／S分析拟和结果
根据 2001～2005年上证指数的数据，首先计算指数收益率，然后应用 R／S分析，根据 统计量，我
们将数据在 N=300处分割，拟和结果见表 4：
表 4 2001 2005上证指数 R／S分析分组拟和结果
N>300的数据拟和结果显示 H的估计大约为0．5(即市场基本上呈现了随机波动)，然而拟和的 R．
Squared太小，说明拟和的效果不是很理想。在 300天之后，上证指数市场呈现出一种类似均值回归的剧
烈波动。 统计量图和拟和结果图如下：
图 5 2001～2005上证指数 V统计量 Iog(E(R／S))图 图 6 2001～2005上证指数 R／S分析拟和结果
此分析说明，2001年后的中国市场在 300天的非周期循环内有着同 1997～1998香港市场相接近的
Hurst指数(分别为0．6444，0．6341)，而在300天之后，国内市场呈现出不同于香港市场的较为剧烈的波动!!
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若不进行分组得到的结果见表5，可以发现得到的Hurst指数的估计与两个分开的时期都有着很大的差别。
表 5 2001 42005上证 指数不分 组拟和 结果
接下来，对 1990--2000年的上证指数进行类似分析。得到 N=322的分界点，拟和的结果见表6：
表 6 1990~2000上证指数 R／S分析分组拟和结果
注：( )中为相应估计的标准差，[ ]中为相应估计的 t统计量。拟和结果见 Graph7：
通过对比2001年前后上证指数的分析结果，我们发现在 2001年之前上证指数有着较 2001年后稍微
明显的趋势(在价格图上可以发现是一种上涨趋势)。而且2001年之前的数据显示了更长的非周期循环，
即股票价格信息需要较长的时间为市场消化。
3 结论
综上，我们发现 97～98香港恒生指数与 2001～2004上证指数的对数收益率有着相似的 Hurst指数
(分别为 0．6341，0．6444)，我们推断它们之间有着相似的驱动因素。
但是两个指数的非周期循环存在较大的差别(分别为 112天，300天)。这说明内地市场在消化市场信
息时没有香港市场通畅。另外，内地市场在经过非周期循环的周期后，表现出较为反常的不稳定。
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