第13章 远期和期货的定价
第一节 远期价格和期货价格的关系
一、基本假设与基本符号
（一）基本假设
1、没有交易费用和税收。
2、市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。
3、远期合约没有违约风险。
4、允许现货卖空行为。
5、我们算出的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。
6、期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。
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（二）基本符号
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二、远期价格和期货价格的关系
1、当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，
交割日相同的远期价格和期货价格应相等。
2、当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格
就不相等。
（1）两者的大小取决于标的资产价格与利率的相关性。
• 当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格；
• 当标的资产价格与利率呈负相关时，远期价格高于期货价格。
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（2）两者的差异幅度取决于合约有效期限的长短。
当有效期只有几个月时，两者的差距通常很小。
– 在现实生活中，由于远期和期货价格与利率的相关性很
低，以致远期和期货价格的差别可以忽略不计。
• 在以下的分析中，对远期合约的定价同样适用于期
货合约。
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第二节 无收益资产远期合约的定价
无收益资产是指在到期日前不产生现金流的资产，
如贴现债券和不付红利的股票。
一、无套利定价法
• 基本思路：构建两种资产组合，让其终值相等，则
其现值一定相等；否则的话，就可以进行套利，即
卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组
合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。
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• 众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资
组合价格下降，而较低现值的投资组合价格上升，
直至套利机会消失，此时两种组合的现值相等。
• 这样，就可根据两种组合现值相等的关系求出远
期价格。
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例如：构建如下两种组合：
组合A：一份远期合约多头加上一笔数额
为 的现金；
组合B：一单位标的资产。
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二、现货—远期平价定理
例1：假设有一份标的证券为一年期贴现债券、剩余期限为6个
月的远期合约多头。其交割价格为＄960，6个月期的无风险
年利率（连续复利）为6%，该债券的现价为＄940。
则该远期合约多头的价值为：
f=940－960e－×=＄
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• 例2：假设一年期的贴现债券价格为＄960，
3个月期无风险年利率为5%，则3个月期的该
债券远期合约的交割价格应为：
F=×=＄972
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三、远期价格的期限结构
设：F为在T时刻交割的远期价格；
F*为在 T*时刻交割的远期价格；
r为T时刻到期的无风险即期利率；
r*为T*时刻到期的无风险即期利率；
为T到T*时刻的无风险远期利率。
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对于无收益资产而言，可知：
• 两式相除消掉S后，得：
• 根据：
• 可得不同期限远期价格之间的关系：
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第三节 支付已知现金收益资产远期合约
的定价
• 支付已知现金收益的资产是指在到期前会产生完
全可预测的现金流的资产。
如附息债券和支付已知现金红利的股票。
黄金、白银等贵金属本身不产生收益，但需要花
费一定的存储成本，存储成本可看成是负收益。
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定义：已知现金收益的现值为I。（对黄金、白
银来说，I为负值）
构建如下两种组合：
组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为
的现金；
组合C：一单位标的资产加上利率为无风险利率、
期限为从现在到现金收益派发日、本金为I的负
债。
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在T时刻，两种组合都等于一单位标的资产。
由此可以断定，这两种组合在t时刻的价值相
等。即：
根据的F定义，可从上式中求得 ：
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• 例3：假设6个月期和12个月期的无风险利率分别
为9%和10%。再假定某十年期债券的现货价格为
＄990。
• 而该证券一年期远期合约的交割价格为＄1001。
假定该债券在6个月和12个月后将收到＄60的利
息，且第二次付息日在远期合约的交割日之前。
则该远期合约多头的价值为：
• 相应地，该合约空头的价值为元。
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• 例4：假设黄金的现货价格为每盎司＄450。
其存储成本为每年每盎司＄2，假定该费用在
年底支付。假定无风险利率为7%。
• 则一年期黄金的远期价格为：
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第四节 支付已知收益率资产远期合
约的定价
• 支付已知收益率的资产是指在到期前将产生与
该资产现货价格成一定比率的收益的资产。
• 外汇使这类资产的典型代表，其收益率就是该外汇发行
国的无风险利率。
• 股价指数也可近似地看作是支付已知收益率的资产。
• 远期利率协议和远期外汇综合协议也可看作是支付已知
收益率资产的远期合约。
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一、支付已知收益率资产远期合约定价
的一般方法
构建如下两种组合：
组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 的现金；
组合D： 单位标的资产并且所有收入都再投资于该证券，
其中 为该资产按连续复利计算的已知收益率。
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组合A在T时刻的价值等于一单位标的资产。
组合D拥有的证券数量则随着获得红利的增加而
增加，在T时刻，正好拥有一单位标的资产。因
此在t时刻两者的价值也应相等。即：
根据F的定义，可从上式中算出支付已知收益率
的资产的远期价格 :
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• 例5：假设S&P500指数现在的点数为1000点，
该指数所含股票的红利收益率预计为每年5%
（连续复利）。假定无风险利率为10%，3个月
S&P500指数期货的市价为1080点。则该期货合
约的价值为：
• 由于S&P500指数合约规模为指数乘以＄500，
因此一份该合约的价值为:
－×500=－＄32877。
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• 该指数期货的理论价格为：
•
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二、外汇远期与外汇期货的定价
• 外汇属于支付已知收益率的资产，其收益率是该
外汇发行国连续复利的无风险利率，用 表
示。
• S表示以本币表示的一单位外汇的即期价格;
K表示远期合约中约定的以本币表示的一单位外
汇的交割价格。
(S、K均为用直接标价法表示的外汇的汇率）
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则可以得出外汇远期合约的价值为：
• 外汇远期和期货的价格为：
这就是利率平价关系式。
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三、远期利率协议的定价
• 由于FRAs是空方承诺在未来的某个时刻（T时
刻）将一定数额的名义本金（A）按约定的合同
利率（ ）在一定的期限（T*-T）贷给多方的
远期协议。
• 本金A在借贷期间会产生固定的收益率，因此其
属于支付已知收益率资产的远期合约。
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FRAs多方的现金流为:
这些现金流的现值即为FRAs多头的价值，即：
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这里的远期价格就是远期利率。
根据远期价格的定义，远期利率就是使远期
合约价值为0的协议价格（在这里为 ）。
即：
∵
∴
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• 例7：假设2年期即期利率为%，3年期即期
年利率为11%。本金为100万美元的2年×3年远
期利率协议的合同利率为11%，则该合约的理
论合同利率为：
• 而该合约的价值为：
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四、一般结论：
在签署时，远期合约的交割价格等于当期的远
期价格，因此其初期价值等于0。
随着时间的推移，远期合约的价值会变为正值
或负值。根据远期合约中的交割价格（K）与
当前的远期价格（F），给出t时刻远期合约多
头的价值（f）的一般表达式：
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• 证明：引入另一种内容基本相同，但交割价格
为F的远期合约。
• 由于交割价格与远期价格相同，按定义t时刻其
初始价值为0。
两者的区别只是在T时刻购买标的资产时支
付的价格不同。在T时刻两者支出现金流差为
（F-K），转换为t时刻的初始现金流差为：
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即在t时刻，交割价格为K的远期合约多头的价
值比交割价格为F的远期合约多头的价值要高:
因为后者为0，所以交割价格为的远期合约多头
的价值为：
得证。
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第五节 期货价格与现货价格的关系
一、期货价格与现在的现货价格的关系
基差=现货价格－期货价格
当标的资产没有收益，或者已知现金收益较小、
或者已知收益率小于无风险收益率时，期货价
格应高于现货价格；
当标的资产的已知现金收益较大、或者已知收益
率大于无风险收益率时，期货价格应小于现货
价格。
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二、期货价格与未来现货价格的预期
之间的关系
以无收益资产为例：
1、考虑如下含有期货多头的投机组合：
的现金加上一份期货多头。
其现金流为：
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该投机组合的现值为：
• 其中 y 为此项投机相对应的贴现率，它是投机者对该投
机组合的预期收益率。
• 假设市场是有效率的，即市场上所有投机
机会的净现值为0，则：
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2、考虑如下含有期货空头的投机组合：
的现金加上一份期货空头
其现金流为：
该投机组合的现值为：
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假设市场是有效率的，即市场上所有投机机
会的净现值为0，则:
•
• =0
• 即：
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• 在现实生活中，投机者既可以做多头，也可以做
空头。综合以上两种情况，我们可以得出如下结
论：
• 在市场对未来标的资产的现货价格的预期一致的
前提下，无论该标的资产的系统性风险如何，在
均衡状态下，期货价格应等于预期未来的现货价
格。
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练 习
• 1、假定某10月期远期合约以股票为基础资产。股票的价
格为每股50元，无风险年利率为8%。预计3个月、6个月
和9个月后要分别支付股息，每股股息为元。则该远
期合约的远期价格为多少？
• 2、以某种价格为$900的5年期债券为例，如果这种债券
的远期合约交割价格为$910，远期合约的期限为1年。6
个月和12个月时各支付一次债息，付息额为$60，第二
次付息日恰好在远期合约交割日之前。6月期和12月期的
无风险利率分别为9%和10%。则求多头的远期合约的价
值为多少？
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• 3、某股票预期2个月后和5个月后将分别支付每
股1美元的现金股利，当前股价为50美元，无风
险利率（连续复利）为年利率8%。某投资者卖
出了一份6个月期的以该股票为标的的远期合约。
（1）计算远期价格以及该远期合约的初始价值；
（2）3个月后，股价变为48美元，无风险利率不
变。计算此时股票的远期价格以及该合约的价
值。
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• 4、假定当前某股票指数为350，无风险利率
（连续复利）为年利率8%，已知现金收益率为
年利率4%，则4个月期的股指期货的价格为多
少？
• 5、假定某日市场上美元对人民币的即期汇率为
1美元=人民币，美元6个月利率为年利4%，
12个月利率为%；人民币6个月利率为年利
%，12个月利率为2%。请根据上述资料计
算美元对人民币6个月和12个月的远期汇率。
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谢 谢
四月-
2108:06:4308:060
8:06四月-21四月-
2108:06
08:0608:06:
43四月-21四
月-
2108:06:43
2021/4/17 8:06:43
