第31卷第9期统计研究Vol. 31, 2014年'月Statistical Research Sep. 2014 中国高龄人口死亡率随机波动趋势分析*王晓军赵明内容提要:本文采用1996-2010年国家统计局公布的死亡率数据，以70岁男性人口作为高龄人口的代表，基于中国人口死亡率数据较少的特点，突破了传统Lee喃Carter模型的框架，直接从死亡率改善产生的原因入手，采取Monte Carlo方法建立中国高龄人口死亡率随机波动趋势模型。通过对不同死亡率改善原因进行组合，从中选取最优模型来探究死亡率的随机趋势性与波动性的关系，更好地克服了死亡率普遍被低估的事实，使得对未来死亡率的预测更加准确、可信。关键词:死亡率改善;随机趋势性;随机波动性中图分类号:C812文献标i只码:A文章编号:1002-4565(2014)09 -0051 -07 Analysis of Stochastic V olatility and Trend of Chinese Elderly Mortality Wang Xiaojun & Zhao Ming Abstract: This paper takes the males aged 70 as a representative of the elderly and presents an empirical analysis of stochastic volatility and trend of mortality based on the data of the year 1996 -2010 from the National Bureau of Statistics. Considering the limited and incomplete mortality date in China, we give up the traditional Lee-Carter model and use Monte Carlo method to build stochastic mortality models by analyzing the reasons of mortality improvement. By comparing combination models with different mortality improvement reasons, we study on the relationship between stochastic mortality volatility and trend, and then select the best model as mortality projection model. It can overcome the mortality underestimate and makes the future mortality prediction more accurate and reliable. Key words: Mortality Improvement; Stochastic Trend; Stochastic Volatility 率外推模型的先河。Lee-Ca由r模型不仅考虑死亡一、引言率与年龄的关系，还考虑了死亡率随时间变化的趋我国人口老龄化趋势的日益加剧和长寿风险的势，以及出生队列的死亡率变动特征，在实际运用中不断积累，给社会养老保险、企业年金和商业年金的取得了较好的预测效果，美国统计局对美国人口的负债评估和偿付能力管理带来了不确定性，从而对预测就采用了Lee-Carter模型对死亡率的预测结高龄人口死亡率趋势和披动的预测分析具有重要的果。后来，Renshaw和Haberman( 2003 )提出了死亡理论意义和现实意义。在死亡率预测模型中，最重率预测的多因子模型，该模型是对L肘-Carter模型要的一类是趋势外推模型，该类模型被广泛用于养向多维模型的推广。Czado，DelVaRde和Denuit老金规划、年金产品负债评估以及偿付能力体系的(2005 )将马氏蒙特卡洛方法(MCMC)运用到死亡构建。从模型的特征看，趋势外推模型可分为静态率改善的预测上对传统Lee、Ca由r模型的随机性进模型和动态模型。伴随社会经济的快速发展和对死行了改进。Caims，Blake和Dowd(2008)对英格兰亡率模型研究的不断进展，静态模型已经很难描述和威尔士的男性高龄人口(60-89岁)死亡率进行未来死亡率呈现的随机波动趋势，动态模型的优势预测，其中对死亡率的处理采取了logistic变换以取开始不断显现。近年来，动态死亡率模型的理论研究和实际应*本文受国家社会科学基金重大项目"我国养老保障体系应对用越来越深入和广泛。Lee和Carter( 1992 )针对美人口老龄化挑战的对策研究"( 13&ZD164)、国家自然科学基金项目"社会保障预算管理研究"(71173230)的资助。国死亡率数据提出了Lee-Carter模型，开创了死亡
.52. 统计研究2014年9月代之前的死亡率的对数变换。Richards、Currie和随机数中大于P.的个数。Ritchie ( 2012 )采用英格兰和威尔士的死亡率数据，{二)死亡率改善的随机趋势性与随机波动性对Lee-Carter模型、APC模型、Cairns-Blake-Dowd模基于历史数据直接计算的死亡率改善因子一般型以及在此基础上的一些扩展模型做了定量比较，不具有光滑性和趋势可预测性。这样，在分析未来为人们选择预测模型提供了比较标准。死亡率改善趋势时就要对其进行分解。死亡率改善可见，传统的死亡率预测模型一般是在Lee应包含一个长期的呈线性趋势的改善水平和一个短Carter模型基础上进行改进，通过模型中的某一变期的具有波动性的改善水平。其中，长期改善水平量来体现死亡率的改善水平，然后将死亡率改善因是一个具有多年跨度的改善水平，短期改善水平是子随机化，得到未来死亡率的随机效应。然而中国时间跨度为一平的改善水平。我们将未来死亡率的人口死亡率的历史数据较少，使Lee-Carter模型在长期改善称为死亡率的随机趋势性，短期改善称为我国应用具有局限性。本文将从死亡率改善产生的死亡率的随机波动性，将死亡率长期改善与短期改原因入手，选取1996-2010年人口普查和人口抽样善综合在一起，就会得到未来死亡率的随机波动趋调查提供的死亡率数据，选取中国70岁的男性人口势。下文将建立死亡率随机波动趋势模型，在建模作为高龄人口的代表，对未来不同情景下死亡率的之前首先要明确死亡率改善因子的定义。随机波动趋势进行了实证分析。1.死亡率改善因子。采用以下死亡率改善因子的定义①:二、模型的建立Âq'，J刊1(-(q"J斗2) 引起死亡率随机波动趋势的原因可以归纳为:飞q'，JI ①个人死亡时间的随机性;②死亡率改善的随机趋其中，Âq'，J_川表示z岁的人在y年到y+k年势性与随机波动性;③特殊致病原因使死亡率改善之间的死亡率改善因子，q'，r叶表示z岁的人在y+k的随机性。本文的死亡率随机模型将基于以上因素年的死亡率，q'，r表示z岁的人在y年的死亡率。需要进行构造。注意的是，Âq'，r-J+k是年化改善因子，相当于y年到(一)随机死亡时间y + k年死亡率改善总水平的几何平均数。获取随机死亡时间首先需要选定各年龄或年龄2.死亡率短期改善。组的死亡率曲线，这里采取MonteCarlo随机模拟方以IMP:-s表示Z岁的人在第s年的死亡率短期法产生随机数，这些随机数应服从所选取的死亡率改善因子，并假设短期改善因子为带有常数漂移项曲线的分布，从而得到不同情景下的随机死亡时间。的随机游走:对于每一个情景，u表示每个年龄(0，1)之间均匀IMP乙+1= IMP:, , + d + 8,.1 (3) 分布的随机数，ι表示z岁的人活过t年的概率，通其中，d为常数漂移项，吼叫为标准正态分布。过对U与ι进行比较，得出:这一假设本质上是一个正态性假设，用带有常数漂(1)如果u:s三ι，此时观察者仍存活;移项的随机游走形式刻画了短期改善因子的随机波(2)随着t的增大，ι将会逐渐减小到0。因此动性，并且通过一阶差分，使结果变得更加平稳。当一个最早出现的时间t使得u> ，P.，此时死亡时根据以上假设，得到:间出现在了第t年。q::t叫=q:xp *口:zl(1-IMP二J(4) 这样便得到了Z岁的人在各个年龄的死亡人数，其中q:二stoch为短期改善因子下死亡率未来t年根据死亡人数与上一年生存人数的比值就能得到了的预测值，反映了未来死亡率的随机波动性。在既定的死亡率曲线下随机模拟的不同情景的死亡3.死亡率长期改善。率。用q?表示x岁的人在一年之内的死亡率，则有:考虑年龄为Z岁的人在N年内不同年度的死亡Numb[u > = lC -, (1) Numb[ uJ (Purushotham, M" V aldez, E. W u , H. Global Mortality 其中Numb[u]表示(0，1)之间上均匀分布随Improvement Experience and Projection Techniques [ R J. Society of 机数的个数，Numb[u > 表示所生成的均匀分布Actuaries,2011.
. 53 . 第31卷第9期王晓军赵明:中国高龄人口死亡率随机波动趋势分析分布，其中N为所选取的历史数据的时间长度。用死率较高的疾病有恶性肿瘤和心脑血管病等，如果q..r表示z岁的人在y年的死亡率。定义T为计算长医学上对这类疾病有重大突破，将会使死亡率改善期死亡率改善因子的时间跨度，应满足T运N，一般水平大幅提升。要求NIT=n(n取正整数)，这里n为计算长期死亡假设第k种致病原因(如恶性肿瘤)的医疗改率改善因子的个数。善会明显降低死亡率，这里要设定特殊致病原因医设IMP:为z岁的人在T年内的死亡率长期改疗改善的概率和对死亡率降低的幅度。例如，一种善因子，假设长期改善因子为具有衰减特征的指数新的医疗技术能够使得恶性肿瘤患者延长生命时分布，即:间，那么未来10年或20年这种新的医疗技术出现IMP~ -Exp(λ) (5) 的概率是多少?新的医疗技术出现后能够使死亡率降低多少?这些都是建模时需要考虑的问题。其中IMP~的均值为1/λ，该假设考虑了长期改基于以上的分析，来定义以下符号:善因子随着时间推移改善幅度变小的规律性，以及D:s :基于历史数据得出的第k种致病原因的人口死亡率实际数据的分布形状，同时考虑了长期医疗改善使死亡率下降的幅度;改善因子为正数的人口现状。sf:针对时间t和第k种致病原因，在(0，1)区间则有:q:;即h= q:xp* (1 -IMP~)' (6) 上均匀分布的随机数;kp:第k种致病原因医疗改善的概率;其中q:;seoch为长期改善因子作用下未来t年的yk，第k种致病原因的医疗改善使得死亡率降死亡率预测值，反映了死亡率的随机趋势性。低的幅度。4.死亡率改善因子的调整。根据以上定义，可以得到:死亡率的长期改善水平反映的是死亡率变动的k 乱r1. Sk < p随机趋势性，短期改善水平反映的是死亡率变动的z: = ~ , (9) 随机波动性，如果分开来看，二者并不协同。因此，LO, otherwise 在建立死亡率随机预测模型时，需要对死亡率改善这样:因子进行调整，使得调整后的死亡率改善因子同时r Z~ t = 0 Adi"年=J ’ (10 ) 具备长期改善因子与短期改善因子的特征，用’hWHlAuu: 1., * (1 - ) * Z: t = 1,2, IMP77表示:则:1-IMP’ IMP::: = 1 -(1 -IMP;) *一TA4，SJ=ZKAφ'.'.' (11) [ I1 :=1 (1 -IMP:.J ]νT 这样就构造了基于特殊致病原因的医疗改善导(7) 致的死亡率波动的随机模型:式中IMP~与IMP:s分别为死亡率的长期改善q7:7·s阳，h= q:xp * Adj...., (12) 因子与短期改善因子，则:三、数据、假设及参数设定q了，γod=q:XP*HL1(1-mpr)(8)其中，ιqmiAAxγ，i γ-啕xι- 叩-{一)数据本文选取了1996-2011年国家统计局公布的来t年死亡率的预测值。调整后的死亡率改善公式分年龄、分性别死亡率数据，其中2000年与2010年中分子部分含有短期改善因子，说明其具有随机波动性;分母采取了几何平均进行调整，说明未来死亡的数据为普查数据，其他年份的数据为抽样调查数据。考虑到2010年人口普查数据提供的死亡率信率波动的趋势能够向长期改善水平下的趋势收敛。因此，调整后的结果既含有短期改善因子下的随机息更充分，本文选取2010年为评估年，放弃了后来波动特征，又收敛于长期改善因子下的随机趋势。发布的更新年份的死亡率抽样调查数据。{三)特殊致病原因使死亡率改善的随机性{二}假设及参鼓设定在建立死亡率随机波动趋势模型时，还需要考假设1:随机模拟的初始人口数为50000，情景数为10，即在每一个情景下随机产生50000个(0, 虑特殊致病原因使死亡率的改善。例如，在我国致
.54. 统计研究2014年9月表1短期死亡率改善因子与均值、标准差表1 )区间上均匀分布的随机数，共产生10组。假设2:研究对象为70岁的男性。近10多年时间跨度死亡率改善因子均值标准差1995 -1996 O. 3580 来，我国人民生活条件与医疗条件大幅提升，人口预1996 -1997 期寿命不断提高，预期这种趋势在将来仍会持续。1997 -1998 考虑到我国男性死亡率改善较女性更稳定，因此本1998 -1999 1999 -2000 文选取了70岁以上的男性人口。2000 -2001 假设3:特殊致病原因设定为恶性肿瘤。根据2001 -2002 卫生部资料，过去15年，恶性肿瘤的发病率有所上2002 -2003 O. 1345 2003 -2004 升，同时新技术在不断延缓恶性肿瘤患者的死亡时2004 -2005 间。但历史数据显示，我国恶性肿瘤的治疗对死亡2005 -2006 率并没有明显的改善，所以设定Dzs =989奋。假设2006 -2007 2007喃 未来研发攻克恶性肿瘤新技术的概率为P= 109毛，2008 -2009 新技术对死亡率改善的幅度设定为Y=lO%。2009 -2010 四、实证分析表1中的死亡率短期改善因子有正有负在均值上下波动，基本服从正态分布。(-)随机死亡时间根据公式(3)短期改善因子的假设，有:根据国家统计据公布的2010年70-100岁男IMP:’+1 = IMP二 + 8,+1 性人口在一年之内的死亡率数据，得到70岁人的累其中d= ，为短期改善因子一阶差分计生存函数，P70'其中Q70= O. 02557 ,P70 = O. 97443。的均值。根据短期改善因子的假设得到未来20年采取MonteCarlo随机模拟方法生成(0，1)区间10组情景下的短期改善因子的随机数，将模拟结果上均匀分布的随机数50000个，记为uj U，屿，1带入公式(4)便可以计算出未来20年不同情景下 ,U50000 f。其中，可以获得U> P70 = O. 9744的个70岁男性的死亡率。数，根据公式(1)，便可得到2010年70岁的男性在结果显示，未来死亡率的随机波动比较剧烈，在一年内的随机死亡率，总共得到10个情境下随机死某些情景下的死亡率呈上升趋势，这种上升趋势产亡率。这10个情景的死亡率均在真实值附生的原因在于该情景下的随机改善因子中负值的比近随机波动，最大值与最小值分别为重较高，这样的波动违背了死亡率随时间下降的经与。验趋势，因此本文采用短期改善因子来描述死亡率{二)死亡率改善的随机趋势性与随机波动性的随机波动性。1.死亡率短期改善。2.死亡率长期改善。在长期死亡率改善因子的作用下，死亡率改善对于长期改善因子的计算，首先根据过去15年大致呈线性趋势。为了计算死亡率改善因子，选取1996 -2010年70岁男性的死亡率，死亡率从1996的历史数据，取5年为一个死亡率改善阶段，得到3年的下降到2010年的。个以5年为阶段的死亡率改善因子，并计算出3个长整体来看，1996-2010年的死亡率整体上呈递减期改善因子的均值和标准差。1996-20∞年、2∞0-趋势，然而局部会出现死亡率上升的情况，即死亡率2005年以及2∞6-2010年的死亡率改善因子分别为的波动性。造成死亡率上升的原因很多，包括自然灾、和O.∞89，均值为，标准差为害或流行病等(在本文所选取的时间段中1998年的。这里应重点关注死亡率改善因子呈递减趋洪水，2∞3年的非典型肺炎及2∞8年四川地震都会势，且均为正值。根据公式(5)的指数分布假设，可计造成当年死亡率不同程度的上升)。为了研究这种死算得到λ= ,IMP; -Exp(29. 43)。亡率的波动性，以下通过短期死亡率改善来探寻。这样就可以得到死亡率长期改善因子的随机模首先，计算得到死亡率的短期改善因子及其均拟结果，通过公式(6)，可以得到长期改善因子下未值与标准差，见表1。来20年不同情景的死亡率。结果显示，不同情景的
55 第31卷第9期王晓军赵阴:中国高龄人口死亡率随机波动趋势分析死亡率变动趋势不同，当随机模拟得到的死亡率改方案A:qL=q;XP*HLI(1-IMP二)* Adj.,.., 善因子较小时，死亡率的变动趋势较为平缓;当随机方案B:q:., = q:xp * (1 -IMP~)' * Adj..,., 模拟得到的死亡率改善因子较大时，死亡率的变动方案C:q~.， = q:xp * rr:=I(1 -IMP:,i:) 趋势较为陡峭。这样便得到了未来死亡率变动趋势的区间，即未来死亡率的降低程度将会在这个区间方案Dι:ιq乙:=q:x萃呻p‘叩*[rr:叫ι=41(卜1-IMF町±:川η)η':门Jμ*Ad仇j..'内。如果要对死亡率的下降程度做一个可靠的估根据不同组合的死亡率预测公式，可以得到四计，可以采取%的VaR值来确定。种组合未来20年不同情景下死亡率的预测值，其结3.死亡率改善因子的调整。果见图1至图4。通过公式(7)对死亡率改善因子进行调整，结果，死亡率带入公式(8)就可以得到未来20年不同情景下的随机死亡率①。在此，将重点分析调整的改善因子下的 死亡率与长期改善下死亡率的收敛性。在最初的几 年内(2010甲2015年)，反映随机波动趋势的死亡率曲线会出现重叠现象，随着时间的推移(2016-2030 --一一一一-一年)，这种重叠现象将会消失，并伴随出现了趋势性。因此，改善因子调整后的死亡率的随机波动趋势曲线 1996 2000 2004 2008 2012 2016 2020 2024 2028 兼具长期改善的趋势性与短期改善的波动性，同时又具有向长期趋势收敛的性质。这样的性质能够让决回1方案A的死亡率预测图策者对死亡率随机波动趋势有一个更加完整与合理 死亡率的认识，做出的决策也更具科学性。(三)特殊致病原因的改善 对于特殊原因导致的死亡率改善，我们采取前 面的基本假设与参数设置来分析。首先，采取随机模拟方法产生(0，1)区间上的均匀分布的随机数 坷，对于每一个=1，2，…和第k种致病原因，其中t为从评估年2010年向后预测的年数。其次，将si带 1996 2000 2004 2008 2012 2016 2020 2024 2028 入公式(9)便可得到zf，然后再根据公式(10)和公式(11)分别计算出Adj~.，-，与Adj.川.'山'.'川。由于假设只有图2方案B的死亡率预测图肿瘤一种致病原因有医疗改善，即k= 七1，则在本文 死亡率中，A~φj:L山川J.'与Adj."川a原因的改善对死亡率的随机影晌，在后面的组合模 型中将具体探讨这种影响。(四}最优组合模型 为了探寻最优的死亡率随机波动趋势模型，选 取长期改善因子、短期改善因子及特殊因素的四种不同组合进行分析。四种组合方案分别为: 方案A，短期改善因子与特殊因素的组合;1996 2000 2004 2008 2012 2016 2020 2024 2028 方案B，长期改善因子与特殊因素的组合;固3方襄C的死亡率预测图方案C，长期改善因子与短期改善因子的组合;方案A，该模型一方面体现了死亡率的随机波方案D，短期改善因子、长期改善因子与特殊因素的组合。下面给出四种组合下的死亡率模型:① 调整后的死亡率改善即为后文中方案C的组合模型。
. 56 . 统计研究2014年9月 由死亡率降低导致的长寿风险，风险度量值越低越死亡率不利，正好与一般金融资产相反。 表2不同置信水平下死亡率VaR值死亡率2015年2020年2025年2030年 O%VaR 259毛 50%VaR 75%VaR 1996 2000 2004 2008 2012 2016 2020 2024 2028 100% VaR 图4方案D的死亡率预测图实际上，不同置信水平下死亡率的VaR值本质动性，另一方面体现了特殊致病原因的改善对死亡上就是分位点的取值，图5通过几个重要分位点清晰的展现了死亡率的随机波动与随机趋势性。率的随机影响。然而短期改善因子的波动性较强，因此方案A的组合模型只能体现出死亡率的随机寸死亡率。波动性，并不能体现随机趋势性。方案B，该模型一方面体现了死亡率的随机趋势性，另一方面体现了特殊致病原因的改善对死亡:::::-F市ι率的随机影响。然而长期改善因子只能体现死亡率2015 2020 2025 2030 的随机趋势性，因此方案B的组合模型并不能体现图52015 -2030年死亡率箱线图死亡率随机波动性。方案C，该模型既考虑到了死亡率的随机波动结合我国高龄人口死亡率较发达国家偏高的现性又考虑到了死亡率的随机趋势性，并且死亡率的状，从图5中可以看出，2015年的死亡率出现了离随机波动是围绕随机趋势进行的。从图中可以看群点，即前5年不同情景下的死亡率随机波动性较出，不同情景下的死亡率最终呈下降趋势，并且在下强。这种现象的出现，正是由于目前我国高龄人口降过程中局部存在上升的可能性，即在随机趋势性死亡率较高导致的，而且这种高死亡率要持续5-中体现着随机波动性。因此将该模型称为随机波动10年。至2020年离群点已经消失，说明我国高龄趋势模型。人口死亡率经过10年的改善已基本稳定，到2030方案D，该模型是在方案C的基础上加人特殊年离群点不复出现，表明该阶段我国高龄人口死亡致病原因改善后未来死亡率的随机波动趋势。在方率随机趋势性已经开始展现。案D中可以看到未来死亡率的随机波动趋势，与方进一步分析可以发现，2015-2030年的死亡率案C相比死亡率改善的程度更高。鉴于国际上的最大值(100%VaR)及3/4分位点值(75%VaR)并预测方法普遍低估死亡率，加入特殊致病原因的医非严格按时间单调递减，说明在死亡率水平较高的疗改善这一效应也能够使本文的死亡率预测方法更情景下随机波动性要强于随机趋势性，即高死亡率符合实际。因此，本文选择方案D为最优组合的情景组存在较强的随机波动性;然而2015-2030 模型。年的死亡率中位数(50%VaR) ，114分位点值(25%{五)结果分析VaR)及最小值(O%VaR)随时间单调递减，说明当本文采取方案D的组合模型运算结果，通过不死亡率水平处在中位数及以下情景时，随机趋势性同置信水平下死亡率的VaR值来进行具体分析。要强于随机波动性，即此时死亡率存在较强的随机表2中列出了2015、2020、2025及2030年4个年度趋势性。以上结论为我国高龄人口死亡率预测选择的不同置信水平下死亡率的VaR值。这里置信水随机情景提供了依据，即应该至少选择中位数及以平分别选取了0%、25%、50%、75C7岛、100%5个水下的情景组的死亡率作为预测值。平。需要说明的是，VaR常用于金融风险的度量，再进一步分析可以发现更加重要的规律，图5风险的度量值越大越不利，在本文中VaR度量的是中2015-2030年的死亡率中位数下降幅度较为平
.57 . 第31卷第9期王晓军赵阴:中国高龄人口死亡率随机波动趋势分析参考文献缓，死亡率1/4分位点值的下降幅度较为陡峭，然而[ 1 J MacMinn R. ,Brockett P, Blake D. Longevity Risk and Capital Markets 死亡率最小值的下降幅度反过来要比1/4分位点值[J]白leJ oumal of Risk and Insurance, 2α后，(4):551 -557. 的下降幅度平缓。出现这种现象的原因在于:从高[ 2 J Milevsky M. A. ,Promislow S. D. and Young V. R. Killing The L. 死亡率情景组向低死亡率情景组变化的过程中，我aw of Large Numbers: Mortality Risk Premiums and the Sharpe Ratio 国高龄人口死亡率会出现加速改善的现象;当低死[J]. The Joumal of Risk and Insurance ,2006, (4) :673 -686. 亡率情景组中的死亡率下降到一定程度后，高龄人[ 3 J Purushotham, M. ,Valdez, E. Wu, H. Global Mortality Improvement Experience and Projection Techniques [ R J. Society of 口死亡率已经被充分改善，则改善的速率降低。因Actuaries, 20 11. 此，未来20年我国高龄人口死亡率的改善规律符合[ 4 J Lee, R. D, Miller, T. Assessing the Performance of the Lee-Carter 国际经验，并且死亡率越低的情景组能更好地体现Approach to Modeling and Forecasting Mortality [ C J. The 2000 死亡率改善的优良性质。meetings of the Population Association of America, Los Angeles ,2000. 五、结论[ 5 J Lee R. d. ,Miller T. Evaluating the Performance of the Lee-Carter Method for Forecasting Mortality[JJ. Demography，2∞1(4) :537 -549. 在我国死亡率数据较少的背景下，以Lee-Carter[ 6 J Booth H. ,R. J. Hyndman. Lee-Carter mortality forecasting: a multi›模型为框架的随机死亡率预测模型效果欠佳。本文country comparison of VaRiants and extensions [ J J. Demographic 从死亡率改善的原因入手建立参数模型，能够很好Research ,2006(9) :289 -310. 地解决我国数据偏少的问题。并且模型的参数设定[ 7 J Renshaw AE, HaiIerman S. Modelling of recent mortality trending UK male assured lives[JJ. British Actuarial Joumal, 1996 ,2:449 -477 更加灵活，能够根据条件的变化随时调整，因此也可[ 8 J Lee RD, Miller T. Assessing the performance of the Lee-Carter 以作为保险公司和企业年金内部模型应用。本文构approach model and forecast mortality [ C J. The 2000 meetings of 造了4个组合模型，并且选取了加入特殊因素的死the Population Association of America. 2000. 亡率随机波动趋势模型进行分析。该模型首先给出[ 9 J王晓军，蔡正高.死亡率预测模型的新进展[J].统计研究，2008了死亡率的随机趋势，然后在随机波动趋势下加入(9) :80 -84. [ IOJ王晓军，任文东有限数据下Lee-Carter模型在人口死亡率预测随机披动性，以保证未来死亡率的波动不会偏离现中的应用[JJ.统计研究，2012(6):87 -94. 实，最后加入特殊致病原因的医疗改善效应，使本文[11 J王晓军，米海杰.中国人口死亡率改善水平比较分析[1]统计的死亡率预测方法更符合实际。研究，2013(2) :58 -63. 在对我国70岁的男性人口未来死亡率随机波[ 12J王洁丹，朱建平.函数型死亡率预测模型[J].统计研究，2013动趋势实证分析后，得出如下结论:当死亡率处于高(9) :87 -93. [13 J游允中，郑晓瑛.中国人口的死亡和健康-一-20世纪80年代以死亡率情景组时，随机波动性要强于随机趋势性，死来人口死亡水平、类型、原因和发展趋势[MJ.北京:北京大学亡率整体上体现随机波动性;当死亡率逐渐降低到出版社，2005.中位数水平时，随机趋势性逐渐强于随机波动性，此[14J谢世清.长寿风险的创新解决方案[J].保险研究，2011(9): 阶段死亡率随机趋势性开始显现;当死亡率从中位70 -75. 数水平下降到1/4分位数水平时，此阶段死亡率的[15 J魏沙.2002 -2010年我国城市恶性肿瘤死亡率变化趋势分析[J].实用预防医学，2013(1) :24 -29. 随机趋势性显著增强，即死亡率大幅改善;当死亡率从1/4分位数水平下降到最小值时，此时的死亡改作者简介善幅度放缓，但是随机趋势性仍旧显著。因此，当死王晓军，女，现为中国人民大学应用统计科学研究中心亡率处于较低的情景组时，说明死亡率改善较为充教授、博士生导师，中国人民大学风险管理与精算中心主任。分，并且趋势性依然显著，这样的死亡率拥有较好的研究方向为风险管理与保险精算。性质。选取该情景下的死亡率，并给出相应的置信赵明，男，现为中国人民大学统计学院在读博士研究生。水平，作为未来死亡率的预测值能够很好地克服对研究方向为长寿风险管理。死亡率普遍的低估，有助于保险公司、养老金管理者(责任编辑:方原)及监管机构更好地对长寿风险做出评估。
