统计与决策 !""#年 $%月!下"
摘 要!本文用状态空间表示法!构造了动态投入产出模型的控制系统!所选用的控制变量为各
期各部门生产量的增量!使所建立的控制系统具有实际经济意义简明"对原模型无特别的要求"能减
少各种有关运算的特点#
关键词!投入产出$控制系统$控制变量$增量
中图分类号!&!!$ 文献标识码!’ 文章编号!$%%!(#)*+"!%%##$%(%%,)(%!
!"#$%&’($)*+,-.’/0
安中华 $!安 琼 !
!$-湖北教育学院 数学与计量经济系#武汉 ),%!%.$!-中国科学院 南京土壤研究所#南京 !$%%%*"
在国民经济增长过程中#应使各部门之间保持动态的综
合平衡关系#有效地研究这种平衡关系的方法为投入产出模
型%
投入产出模型由美国经济学家&$/+, 年诺贝尔经济学
奖获得者沃西里’列昂惕夫!0122345 6789:37;"首先提出的数
量经济分析方法<$=% 目前#该方法已得到广泛地应用<!=%
应用投入产出模型#不仅能够较好地计算出今后几十年
经济发展的结构变化和增长状况#而且可以找出影响发展的
薄弱环节%正由于投入产出模型有很强的应用性#这几十年#
一些学者从很多方面研究了该模型的性质<,#)=%
本文力图寻找简单和有明显直接实际经济意义的控制
变量#构造简单的&能描述动态投入产出模型的控制系统%
!! !12)34
>-> 模型
动态投入产出模型<.=为(
?@ABC’?@ADEF<?@AE$D(?@AD=EG@AD !
其中(
?@AD表示控制期或规划期内第 A 期各部门生产量构成的
列向量#第 3 个分量 H3@AD表示第 3 个部门的生产量$
G @AD 表示控制期或规划期内第 A 期各部门最终消费量
@净产值D构成的列向量#它包括个人&社会消费及非生产性积
累#第 3 个分量 53@AD表示第 3 个部门的最终消费量$
’ 表示直接消耗系数矩阵#它可为常数矩阵#也可为与
时间 A 有关的时变矩阵#此时记为 ’@AD$
F 表示投资系数矩阵#它可为常数矩阵#也可为与时间 A
有关的时变矩阵#此时记为 F@AD%
$-! 控制系统
当经济处于动态平衡时#社会需求量 GI@AD与实际提供
的最终消费量 G@AD相等% 但是#实际上总是存在供需不相等
的情况#这就需要考虑新的控制问题%
为了得到最优控制#首先需将投入产出模型用状态空间
表示%
当投资系数矩阵 F 为非奇异矩阵时#模型!可改为(
?@AE$DCF($@J(’EFD?@AD(F(>G@AD "
即得动态投入产出模型的状态方程% 利用"#当社会需
求量 GI@AD与实际提供的最终消费量 G@AD相等时#可计算出
各期各部门生产量%
但是#实际中常常有些部门的产品不用于投资或其他一
些原因#致使投资系数矩阵 F 常成为奇异矩阵#这样就得不
到状态方程"%文献<)=在研究动态投入产出模型的能控性与
能观测性时#总结了目前所用的几种方法#其基本思想类同
于文献<#=所介绍的方法#此方法的基本如下%
适当调整 F 的行#将它变为下列分块矩阵(
FC
F>> F>!
"! "" #
其中 F>>为非奇异矩阵%
按同样的方法调整 ?@AD#并作同样的分块(
?@ADC
?>@AD
?!@A
! "D
取控制变量为(
K@ADC
F>>?>@AE>D(?>@ADDEF>!@?!@AE>D(?!@ADD
?!@AD@AE>D(?!@A
! "D
得状态方程(
?@AE>DC?@ADEF>K@AD $
输出方程(
G@ADCL?@ADEMK@AD %
其中(
F>C
F>>(> (F>>(>F>!
"! "J
LCJ(’
MC
(J "
"! ""
基金项目!国家基础研究发展规划项目@!""!LF)>"*".D
5 6 7 8
!"
万方数据
统计与决策 !""#年 $%月!下"
!"# 方法的问题
!要求系统为#正规系统$%即 &适当调整 & 的行%使 &
变为分块矩阵"%并保证子矩阵 &$$为非奇异矩阵$’ 但从理
论上不能保证对任意奇异矩阵 &%仅对行作初等变换%使其
左上角子块为非奇异矩阵’
#控制变量 ’()*的实际经济意义不是非常明显和具体%
这不便对线性系统+,%&$%-%./的应用和解释’
$方法要计算矩阵的逆%这无疑增加了计算量%致使运
算复杂’
针对上述问题%本文将利用简单且有明显具体的实际经
济意义的控制变量%构造动态投入产出模型的状态空间表示
法’
!! !!"#$%&’
!0$ 状态方程
直接取控制变量为(
’()12 3()4$153()1
即各期各部门生产量的增量’
得状态方程(
3()461237)14’()1 %
代入&得(
3()1283()14&’()149()1
即(9()12!,58"3()15&’()1
得输出方程(
9()12-3()14.’()1 ’
其中(-2 ,58%.25&’
如是%动态投入产出模型的状态空间表示为(
3()46123()14’()1
9()12-3()14.’()! 1 (
系统(为离散型线性定常系统’ 当直接消耗系数矩阵 8
或投资系数矩阵 & 与时间 ) 有关时%则系统(为离散型线性
时变系统(
3()46123()14’()1
9()12-()13()14.()1’()! 1 )
其中(-()12 ,58()1%.()125&()1’
系统(或)可用图 6 表示’图中粗线表示传递的信号为
向量’
$"$ 结论
本文力图寻找简单和有明显具体实际经济意义的控制
变量%构造描述动态投入产出模型的控制系统’ 所采用的控
制变量为各期各部门生产量的增量’构造的动态投入产出模
型的控制系统有下列特点(
!控制变量有明显具体的实际经济意义%即控制的对象
为各部门在各期产量的增量%这样在求最优控制时%能对所
求最优控制给出实际经济意义的解释)
#在建立控制系统时无须求逆矩阵等复杂的运算%从而
极大地减少运算量)
$由于没进行复杂的运算%无须特别的理论支持%所以%
所得控制系统可应用于任意动态投入产出模型%且无须对原
模型作特别的处理)
*所得控制系统为标准的离散型线性定常 !或时变"系
统%这也能保证在求最优控制或讨论系统性质时的简洁’
总之%所建立的控制系统实际意义具体*对原模型无特
别的要求*能减少各种有关运算’
参考文献!
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"责任编辑 [李友平#
图 6
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