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离散时间控制变量情况下 1-bit 动态量化算
法仿真研究#
顾慧卉1，凌强22**
基金项目：教育部博士点基金（20093402120017）
作者简介：顾慧卉，（1986-），女，主要研究方向为网络化控制，动态量化算法研究
通信联系人：凌强，（1975-），男，副教授，主要研究方向为无线传感器网络，网络化控制
（1. 山东电力工程咨询院有限公司，济南 250013； 5
2. 中国科学技术大学自动化系，合肥 230027）
摘要：本文选取一类非线性前馈系统作为研究对象，研究当系统在满足全局 Lipschitz 条件
的时候，选取离散时间控制变量，如何仅仅占用 1-bit 带宽，仍能保证系统的渐进稳定性。
文中给出了详细的 1-bit 动态量化算法，并且对该算法进行了仿真验证，将结果与连续时间
控制变量的仿真结果进行对比，从而得出该动态量化算法对系统稳定性影响的结论。 10
关键词：非线性前馈；离散时间；动态量化
中图分类号：TP-13
Simulation research on 1-bit dynamical quantization policy
under discrete time control 15
GU Huihui1, LING Qiang2
(1. Shandong electric power engineering consulting institute corr.,LTD, JiNan 250013;
2. Department of Automation, University of science and technology of china, HeFei 230027)
Abstract: In this paper, we consider a nonlinear feedforward system. That system is global
Lipschtitz, implements discrete-time control, and attempt to maintain the asymptotic stability with 20
only 1-bit. We provide the detailed steps of a dynamical quantization policy in this paper. Also,
we gives out the simulation results of this policy. By comparing with the continuous-time case, we
can see what influence the policy will bring to the system.
Keywords: Nonlinear feedforward; discrete time; dynamic quantization
25
0 引言
由于网络技术以及通信技术的飞速发展，网络化控制系统正逐步得到大范围地应用。网
络化控制系统中所涌现的问题也成为了学术界研究的热点。其中网络带宽是影响网络化控制
系统性能的一个重要因素，有限的带宽可能会引发网络拥堵、丢包等问题，使得控制系统不
稳定。如何能在带宽受到限制的情况下仍然保证控制系统的稳定性呢？ 30
近年来针对问题的一个方法就是从量化以及控制的角度入手，通过制定动态量化算法来
保证网络化控制系统的稳定性。从最初的线性系统，到现在的非线性系统，前人们取得了很
多结果。近年来的研究对象则是侧重于一类非线性前馈系统，其状态方程如方程（1）所示。
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
==
)(
),(
),(
),( 32
21
uf
uXf
uXf
uxfx
n
M
& , （1）
其中， ,),(),([)(,, 1 LtxtxtXRuRx iiimn +=∈∈ ),,1()]( nitx Tn L= 。基于 Teel【1】关35
于非线性前馈系统稳定性的一些结论，De Persis 提出了 n-bit 镇定 n 维非线性前馈系统的动
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态量化算法【2】。之后 Ling 和 Lemmon 更是提出在系统满足全局 Lipschitz 条件的情况下，
仅仅使用 1-bit，就可以保证无噪声非线性前馈系统的渐近稳定性【3】，这是占用最少带宽
的一种动态量化算法。
Ling 的算法将 1-bit 带宽分配给“最重要”的一维状态变量，通过状态估计器生成连续40
的控制变量，对系统进行控制。本文则沿用该算法的核心思想，但是控制变量则是选用离散
时间控制变量，在变步长采样的条件下，通过仿真研究该情况下 1-bit 动态量化算法，对系
统稳定性的影响。
1 离散时间情况下 1-bit 动态量化算法
问题描述 45
}1,0{∈ks }1,0{∈ks
图 1 网络化控制系统
Ling 的 1-bit 动态量化算法中的网络化控制系统模型如图 1 所示，图中在解码器端，离
散时间状态估计值 )(ˆ ktx 经过状态估计器之后，生成连续的控制变量 )(tu ，再输入到系统。50
而本文中，则是选取离散时间的控制变量， )()( ktutu = ，其网络化控制系统模型如图 2 所
示。
量化器/
编码器
数字网络
解码器
控制器
),( uxfx =&
kt
)(tx
)( ktx
}1,0{∈ks
ksks
)(ˆ ktx
))()(( ktutu =
量化器/
编码器
数字网络
解码器
控制器
),( uxfx =&
kt
)(tx
)( ktx
}1,0{∈ks
ksks
)(ˆ ktx
))()(( ktutu =
图 2 离散时间控制下的系统
55
与 Ling 的模型不同的是，如图 2 所示，本文所采取的控制变量直接由状态估计值
=)((tx )(ˆ ktx )经过控制器生成，即 )()( ktutu = 。下面给出详细的动态量化算法。
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系统满足全局 Lipschitz 条件下的 1-bit 离散时间动态量化算法
首先假设方程（1）满足以下假设条件：
假设 1：函数 1,,2,1),,( 1 −=+ niuXf ii L 满足全局利普希茨条件，函数 )(ufn 满足局部60
利普希茨条件。
假设 2：存在常数 0>U ，使得对于所有 0tt ≥ 都有 Utu ≤)( 。
假设 3：函数 )(⋅if 满足在零点处等于零，在起点处可以线性化，并且是可镇定的。那么
对于每一个 i都存在一个 +K 类函数 iϕ 使得：
vuXuXfvuXf iiiiii )),((),(),( 111 +++ ≤−+ ϕ 。 65
其中， ⋅ 表示向量的无穷范数。
由假设 2 和假设 4 可知，对于 i ( },,2,1{ nL∈ )，存在有界的正数 iF 使得：
∞−≤− iiiiiii YXFuYfuXf ),(),( ，
对任意 1+−∈ ini RX ， 1+−∈ ini RY 以及 Utu ≤)( 都满足。
选择合适的正实数γ 和 ρ ： 70
1
2
1 << γn ， （2）
γ
ρ
n
MFTn
2
11
)1(2
−
−+> ， （3）
其中， ii FF max= 。
算法 1：编码算法
（1）选取“最重要”维状态变量 kI ： 75
)(maxarg 2 ki
i
ik
tLI ρ= 。
（2）通过设定 ks 的值来对状态变量 )( ktx 进行量化：
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≥=
其它,0
)(ˆ)(,1 , kIekI
k
txtx
s kk 。
（3）通过数字网络传输数字序列 ks （仅有 1 位，占用 1 个 bit， ks =0 或 1）。
（4） )()( ktutu = ； 80
)()()( 1,
n
nnen
nk
vXk
tutu λσλ
−+==
2,,2,1),( 1, −=+=
−
−−−−
−− nj
vXk
v
jn
jnjnejn
jnjn Lλσλ
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⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≠
==−
==+
=
kkie
kkkiekie
kkkiekie
ie
Iitx
sIitLtx
sIitLtx
tx
),(ˆ
0 ,4/)()(ˆ
,1 ,4/)()(ˆ
)(
,
,,
,,
, 且
且
T
knekiekiekie txtxtxtX )](,),(),([)( ,1,,, L+=
（5）在 1+kt 时刻刷新 )( 1+ke tL 以及 )(ˆ 1, +kie tx ： 85
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠+
=+= ∑
∑
+= +
+= +
+
k
n
ij kjMki
k
n
ij kjMki
kie IitLFTtL
IitLFTtL
tL
1 1
1 12
1
1, ),()(
),()(
)(
)),(),(()( 1,, tutXftxdt
d
ieiie +=
nitxtx kieki ,,2,1 ),()(ˆ 1,1 L== −++
（6）刷新时间指数，令 1+= kk ，返回步骤（1）。
算法 1：解码算法 90
（1）选取 kI 指数：
)(maxarg 2 ki
i
ik
tLI ρ=
（2）等待接收来自编码器端的数字序列 ks （仅有 1bit）。
（3）根据接收到的 ks ，在 kt 时刻刷新状态估计值 )(ˆ , kid tx ：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≠
==−
==+
=
kkid
kkkidkid
kkkidkid
kid
Iitx
sIitLtx
sIitLtx
tx
),(ˆ
0 ,4/)()(ˆ
,1 ,4/)()(ˆ
)(
,
,,
,,
, 且
且
95
（4）生成控制变量 )(tu 。
)()()( 1,
n
nnen
nk
vXk
tutu λσλ
−+==
2,,2,1),( 1, −=+=
−
−−−−
−− nj
vXk
v
jn
jnjnejn
jnjn Lλσλ
（5）在 1+kt 时刻刷新 )(, kid tL 以及 )(ˆ , kid tx ：
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠+
=+= ∑
∑
+= +
+= +
+
k
n
ij kjdMkid
k
n
ij kjdMkid
kid IitLFTtL
IitLFTtL
tL
1 1,,
1 1,,2
1
1, ),()(
),()(
)( 100
)),(),(()( 1,, tutXftxdt
d
idiid +=
)(ˆ)( ,, kidkid txtx = ，
（6）刷新时间指数，令 1+= kk ，返回步骤（1）。
2 仿真研究
系统状态方程： 105
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⎩⎨
⎧
=
+=
ux
uxxx
2
221 )cos(
&
& 。
参数设置：最大采样间隔 sTM = ，最小采样间隔 sTm = ， 1<u ，选择 2=F ，
可以使系统满足全局利普希茨条件。通过方程（2）以及方程（3），选取参数 2/)( 2+=γ ，
=ρ ， 121 == λλ ， ]1,1[1 −−=k ， 12 −=k 。
仿真结果： 110
连续时间控制变量 离散时间控制变量
两种情况下状态变量的收敛情况对比 两种情况下估计误差的对比
图 3、仿真结果 115
3 结论
上文对满足全局 Lipschitz 条件非线性前馈系统，应用两种算法进行仿真研究：连续时
间控制变量下的 1-bit 动态量化算法；离散时间控制变量下的 1-bit 动态量化算法。最终，通
过对比仿真结果，我们发现，针对上述系统，当初始条件一致，连续时间控制变量的 1-bit120
动态量化算法，与离散时间控制变量的 1-bit 动态量化算法，都可以保证其渐近稳定性，并
且结果没有太大差异。因此，针对上述系统，完全可以使用离散时间状态控制变量替代连续
时间状态控制变量，从而节省了计算步骤以及计算时间，降低计算的复杂度。但是，这仅仅
是针对上述系统而言，结果是否具有普遍性，以及是否可以通过理论证明，尚需进一步的验
证。 125
[参考文献] (References)
[1] TEEL A R. On L_2 performance induced by feedbacks with multiple saturations[J]. ESAIM: Control,
Optimisation and caculus of Variations, 1996:225-240
[2] DE PERSIS C. n-bit stabilization of n-dimensional nonlinear systems in feedforward form[J]. IEEE 130
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Transactions on Automatic Control, 2005,50(3):299-311
[3] LING Q, LEMMON M D, LIN H. Asymptotic stabilization of dynamically quantized nonlinear syatems in
feedforward form[J]. J Control Theory Appl, 2009,7(1),123-129
