第13卷第3期北京理工大学学报渊社会科学版冤年6月JOURNALOFBEIJINGINSTITUTEOFTECHNOLOGY渊SOCIALSCIENCESEDITION冤基于预算约束的多产品报童风险模型研究阳成虎渊福州大学八方物流学院袁福州350108冤摘要院对条件风险价值渊conditionalvalue-at-risk袁CVaR冤准则下多产品报童模型进行研究遥建立了以产品利润的CVaR值之和最大化为目标袁具有预算约束的多产品报童模型遥根据产品边际预算CVaR值的单调性袁采用二分搜索算法对模型进行求解遥应用算例分析零售商的预算与风险厌恶程度对最优订购策略的影响袁得到结果院随着预算及风险厌恶程度的增加袁零售商订购产品的种类增加曰零售商的期望收益是风险厌恶程度的减函数遥关键词院多产品曰报童模型曰预算曰条件风险价值曰二分搜索算法中图分类号院F273文献标识码院A文章编号院1009-3370渊2011冤03-0046-05[18-19]报童模型广泛应用于库存管理尧定价管理尧供下基于均值CVaR的多产品报童模型遥周艳菊等应链管理尧收益管理等方面袁许多专家和学者进行建立了基于CVaR约束的多产品订货风险决策模[1][2][3]了大量的研究遥Khouja尧万仲平等尧张斌对报童型遥并基于布朗运动的贝叶斯预测方法建立了两阶咱20暂[21]模型发展的不同阶段进行了详细的综述遥而多产品段多产品订货风险决策模型遥蒋敏等对供应链报童模型作为报童模型理论和实践一个活跃的分中单周期和多周期的多产品组合采购与库存问题支袁在最近10多年取得了丰硕的成果遥相关研究主的CVaR模型进行研究遥Gotoh等尧周艳菊等尧蒋敏要集中在目标函数类型尧产品间的替代尧约束条件等将CVaR应用于多产品报童模型时采用历史观[4-10]类型三个方面袁且以研究不同类型约束条件的察法或MonteCarlo法生成需求样本集合袁近似计MPNP的优化算法为主遥上述文献没有考虑风险的算目标函数和约束条件袁从而将非线性模型转化为情形遥然而现实中决策者往往是理性的袁不会单纯线性规划问题求解遥这种方法的缺点是若最优解要追求最高收入或最低成本的期望值袁总是设法规避求较高的精度时需要的样本数量多尧计算量大尧计需求不确定性所带来的风险袁而选择基于期望和风算速度慢袁特别是当产品数量较大时尤为明显遥在险值的综合度量遥均值方差尧期望效用尧VaR尧CVaR上述文献的基础上袁本文建立以各产品利润的等风险度量准则已经被应用于报童风险模型中袁其CVaR值之和最大化为目标袁以预算为约束的多产中CVaR准则具有良好的优化和可计算性的特点品报童风险模型袁并应用算例分析影响零售商订购[11]引起了研究者的关注遥Chen等提出了无缺货惩策略的因素遥与之前研究不同的是模型求解的方罚时CVaR准则下报童问题的最优订购量遥许明辉法遥本文证明基于预算约束的多产品报童风险模型[12]等研究了CVaR准则下缺货惩罚和风险厌恶程具有凸可分非线性连续多产品资源分配问题的结度对厌恶风险的零售商的最优订购数量的影响遥构袁可以采用二分搜索算法进行计算曰同时根据问[13][14]Gotoh等也得到了类似的结论遥杨磊等研究了题的结构特征袁对Zhang等渊2009冤提出的二分搜索CVaR准则下零售商在能力约束条件下的最优订购算法进行修正遥修正的算法具有多项式复杂度和良[15-16]策略遥程露等以供应商为领导层袁零售商为从好精度袁避免了上述文献中近似算法计算量大袁计属层袁建立了基于CVaR准则的双层报童模型袁并算速度慢的缺点遥[17]分析了各类参数对最优订购策略的影响遥安智宇等一尧模型考虑供应商具有随机的违约概率及需求不确定的情况袁建立了基于CVaR值最小的制造商最优订货假设零售商有n种产品销售袁x渊i=1袁2袁噎袁n冤为i模型产品i的订购量曰p尧c尧v和s分别为产品的单位产遥上述大多数研究的对象是单产品袁没有考虑iiii[13]多产品的情形遥Gotoh等也提到了多个线性约束品i的价格尧订购成本尧残值和缺货成本袁且v臆c臆ii收稿日期院2010-05-09基金项目院国家自然科学基金资助项目渊70563005冤曰福建省社科基金资助项目渊2008B2033冤曰福建省教育厅资助项目渊JA08040S冤曰福州大学社科研究基金资助项目渊826535冤作者简介院阳成虎渊1980要冤袁男袁讲师袁博士遥E-mail院hcysun@
2011年第3期基于预算约束的多产品报童风险模型研究窑47窑*p曰假设各产品的市场需求相互独立袁产品i的市场其中袁琢为下面方程的解遥ii需求为D袁概率密度函数和分布函数分别为f渊窑冤和ii琢+渊c-v冤x渊p+s-c冤x-琢1iiiiiiiii1-{F[]+1-F[]}=0iiF渊窑冤袁均值为滋袁标准差为滓袁F渊窑冤存在可逆函数iiii茁p-vsiiii-1F渊窑冤曰B为预算函数袁B为总预算遥产品i在随机需iG渊5冤求D和控制策略x下的随机利润函数为ii由式渊4冤和式渊5冤可以得到袁若0臆r<渊p+s-iii++仔渊x袁D冤越pmin{x袁D}+v渊x-D冤-s渊D-x冤-cx渊1冤iiiiiiiiiiiiii*c冤/c袁产品i的订购量x和琢为iiii其中袁渊x冤+=max{x袁0}遥p+s-c-rci1-1iiii对i=1袁2袁噎袁n袁给定一个置信水平茁沂渊0袁1]袁ix=[渊p-v冤]F渊茁冤+siiiiiip+s-vp+s-viiiiii称覬渊x冤越sup{z渣Pr渊仔渊x袁D冤臆z冤臆茁}为仔渊x袁D冤的iiiiiii茁iic-v+rci茁分位数曰茁越小袁零售商对风险越厌恶袁当茁越1袁零-1iiiiiiF渊1-茁冤]渊6a冤iip+s-viii售商是风险中性的遥产品i在置信水平茁和库存控i制策略x下的CVaR值为V渊仔渊x袁D冤冤越E[仔渊x袁iiiiii渊p-v冤渊p+s-c冤p+s-c-rc茁ii*iiiii-1iiii琢越F渊茁冤-茁iiiip+s-vp+s-viiiiiiD冤渣仔渊x袁D冤臆覬渊x冤]遥定义在置信水平序列茁越渊茁袁iiii1茁ii渊c-v冤sc-v+rciiii-1iii茁袁噎袁茁冤尧库存控制策略X越渊x袁x袁噎袁x冤和随机需2n12nF渊1-茁冤渊6b冤iip+s-vp+s-viiiiii求D越渊D袁D袁噎袁D冤下各产品CVaR值总和为装12n茁当r=0时袁式渊6冤即为无约束多产品报童风险ni渊X袁D冤移V渊仔渊x袁D冤冤遥根据上述假定袁基于预算模型的最优解遥iii茁ii=1引理院对i=1袁2袁噎袁n袁x在[0袁渊p+s-c冤/c]上是i约束的多产品报童风险模型表述如下iiiir的严格减函数遥max装渊X袁D冤i茁扇-1设n证明院根据F渊窑冤的定义袁由式渊6a冤可知袁当设i设设B渊X冤越移cx臆B设iiG缮渊2冤设i=10臆r约渊p+s-c冤/c时袁x是r的严格减函数遥证毕遥iii设iiii设设设X逸0**墒p+s-v琢+渊c-v冤xi*iiiiii因为r渊x冤越[-F渊冤+渊p+iiii去掉预算约束袁得到无约束多产品报童风险模茁p-viii***型袁最优解为X*越渊x袁x袁噎袁x冤袁其中12ns-c冤]/c越0袁根据引理1袁r作为x的逆函数袁在iiiiip+s-ci1*-1iix越[渊p-v冤F袁渊茁冤-1iiiiisF渊1-茁冤iii*p+s-vp+s-viiiiii渊袁x冤上是x的严格减函数袁且0臆r约渊piiiip+s-viiic-vi-1i+sF渊1-茁冤]袁渊i=1袁2袁噎袁n冤渊3冤-1iiisF渊1-茁冤ip+s-viiiii+s-c冤/c曰在[0袁]上袁r越渊p+s-c冤]/c遥iiiiiiiip+s-viii二尧求解算法通过上述分析袁基于预算约束的多产品报童风险模型具有正边际成本渊线性预算约束显然满足冤由于装渊X袁D冤中的V渊仔渊x袁D冤冤直接计算很茁iii茁i和增边际代价损失率渊从成本的角度理解边际预算困难袁可以利用V渊仔渊x袁D冤冤的等价函数g渊x袁琢冤iiiii茁茁iiCVaR值的单调性冤袁实质是一类凸可分非线性连续1[12-13][22]=max{琢+E[min渊仔渊x袁D冤-琢袁0冤]}来简化计算袁iiiii多产品资源分配问题袁可以采用文献[22]的二分搜琢沂R茁iin索算法求解遥首先在区间[0袁max{渊p+s-c冤]/c]上iiiii=1,2,噎,n式渊2冤的目标函数装渊X袁D冤变为移g渊x袁琢冤遥茁ii茁i********i=1确定x渊i沂O冤处的边际预算利润r=r渊x冤袁r是iii定义r为产品i的边际预算CVaR值袁表达式为i满足命题1的最小值曰然后再利用r和x的关系求ii鄣g渊x袁琢冤**鄣装渊X袁D冤鄣B茁ii茁i解x遥在文献[22]中袁每轮迭代得到r后袁x可以通iir越r渊x冤越/=/ciiii鄣x鄣x鄣xiii过x渊r冤的解析式直接得到遥但由于本文中r是分段ii扇设-1设设sF渊1-茁冤函数袁每轮迭代得到r后袁x的取值需要进行讨论袁iiii设设渊p+s-c冤/cx臆iiiii设设p+s-v因此文献[22]的二分搜索算法需要进行修正才能用iii设缮=设设-1设*于模型的求解遥具体算法如下院设p+s-v琢+渊c-v冤xsF渊1-茁冤iiiiiiiiii设设[渊p+s-c冤-F渊冤]/cx>iiiiii设步骤0.设置误差着曰设茁p-vp+s-viiiiii墒**步骤1.由式渊3冤求解x袁i=1袁2袁噎袁n袁得X曰i渊4冤47
窑48窑北京理工大学学报渊社会科学版冤2011年6月******步骤2.若B渊X冤臆B袁令X=X袁转至步骤7曰步骤6.令X=X+X曰G1**步骤7.输出X袁算法终止遥步骤3.令r=0袁r=max{渊p+s-c冤]/c}曰LUiiiii=1,2,噎,n上述算法具有o渊n冤阶的多项式复杂度袁且适应步骤4.若r-r臆着袁转至步骤6曰否则令r=渊r+ULU于任何需求分布遥通过该算法袁可以得到模型的最r冤/2袁对所有i沂{1袁2袁噎袁n}袁操作如下院若0臆r<渊pLi优解或者近似最优解遥+s-c冤/c袁x=0袁并通过式渊6a冤计算x曰当x臆0时袁i1iiiii三尧数值分析令x=0曰若r>渊p+s-c冤/c袁x=0袁x=0遥若r>=渊p+s-iii1iiiiii某零售商销售2个系列6种产品袁产品1尧2尧3-1-1sF渊1-茁冤sF渊1-茁冤iiiiii属于系列一袁产品3尧4尧5属于系列二遥这6种产品c冤/c袁x=0曰当>0袁x=袁否则ii1iip+s-vp+s-viiiiii的基本信息渊包括单位产品的价格p尧订购成本c尧iix=0遥令X=渊x袁x袁噎袁x冤袁X=渊x袁x袁噎袁x冤遥i112n11121n1残值v尧缺货成本s以及产品i的市场需求服从正ii步骤5.若B渊X+X冤<B袁r=r袁转至步骤4曰若1GU态分布袁均值为滋袁标准差为滓冤均来源于文献[23]袁iiB渊X冤跃B袁r=r袁转对步骤4院若B渊X+X冤>B且BGL1G如表1所示遥为了简化问题袁假设零售商对每个系12渊X冤约B袁令A越{i渣x屹0袁i越1袁2袁噎袁n}袁K为集合AGi1列产品的置信水平相同袁分别用茁尧茁表示系列一中的元素个数袁对i沂A袁x越渊B-B渊X冤冤/渊Kc冤袁转i1Gi和系列二产品的置信水平遥至步骤6遥本文算法在下实现袁运行在CPU为表1基本信息表产品cpsv滋滓收益率酌变差系数浊注院收益率酌=渊p-v冤/c袁变差系数浊=滓/滋iiiiiiiIntelPentiumDualE2180岳尧内参数下模型的最优解遥-5存为1GB的微机上袁误差着越10遥表2给出了不同采用修正的二分搜索算法袁预算为8000和表2不同参数下模型的最优解产品12**B渊茁袁茁冤期望收益rs123456渊1,1)渊,冤渊,冤渊,冤渊,冤渊1,1冤渊,冤渊,冤渊,冤渊,冤渊1,1冤15581523215320071133815284780渊,冤1520148220721959106973828205034112渊,冤14831440199119591069738281460渊,冤14831440199119341038702279610渊,冤14451397191119101007666276510注院表中数值均为四舍五入的结果遥48
2011年第3期基于预算约束的多产品报童风险模型研究窑49窑10000时袁算法运行10次袁运算时间在秒算CVaR值越小袁每一单位预算承担的风险越小遥这到秒之间袁平均运算时间为秒遥预是因为在相同条件下袁预算越多袁零售商承担风险算为34112时袁预算约束不再起作用袁算法运行5的能力越强袁零售商调控订购计划的余地越大袁订次袁运算时间在秒到秒之间袁平均购产品的种类越多袁风险相对减小遥特别的袁当总预运算时间为秒遥从上面的结果可以看出袁修算大于阈值34112袁边际预算CVaR值为0袁预算约正的二分搜索算法具有良好的求解精度和较快的束不再起作用袁零售商的最优订购数量将不再变运算时间遥化袁最优解为无约束情形下的最优解遥在预算较小从表2可以得到如下有意义的结论院时袁零售商更倾向于收益率大的产品遥渊3冤风险中性渊1冤在有限预算下袁风险厌恶的零售商会优先时零售商的期望收益大于风险厌恶时零售商的期订购收益率较高袁变差系数较小渊产品5尧产品6冤曰望收益袁且随着风险厌恶程度的增加袁期望收益越而收益率较低袁变差系数较大渊产品2冤订购量小袁甚小遥但通过产品组合的调整袁零售商规避风险时袁期至不订购遥这与文献[18]的结论类似遥随着风险厌恶望收益并不会大幅下降遥12程度的增加渊茁和茁值的减少冤袁零售商会调整产品文献[18]认为在市场需求等约束下袁产品订购的组合袁增加订购的产品种类以规避风险袁如在总量的绝对值并不能真实反映零售商对市场需求的**预算为8000时袁零售商减少了产品5和6的订购反映袁因此用啄=x/滋袁渊i越1袁2袁噎袁n冤来度量产品iiii数量袁增加了产品1和3的订购量遥相应的袁边际预的最优订购量接近市场的程度遥但本文认为用啄=i****算CVaR值会减小遥渊2冤在其他条件不变的情况下袁x/x来表示将更合适遥这是因为x是零售商在没iii预算较少时袁零售商更倾向于订购收益率大的产有预算约束时考虑市场需求和自身生产及风险情品袁如在总预算为8000时袁零售商选择订购产品况得出的最优决策袁是零售商经营目标的综合体3袁而不选择产品4遥随着零售商的预算越多袁边际预现遥表3的计算结果渊B=10000冤s产品12B渊茁袁茁冤s123456(1,1)(,)(,)(,)(,)从表3可以看出袁产品5相对于其他产品更接渊1冤在需求分布类型和参数确定的情形下袁修近于零售商的经营目标遥这说明在在风险决策下袁正的二分搜索算法能够有效求解模型遥零售商平衡收益和风险袁收益率高袁变差系数低的渊2冤最优订购策略是零售商在面临不确定的市产品将优先考虑遥对比产品1和产品4尧产品1和产场需求时袁为达到收益与风险的平衡袁根据预算和品6的相关计算结果渊啄值尧收益率和变差系数冤袁发风险承受水平制定的曰随着预算及风险厌恶程度的i现产品的收益率在零售商的决策中占有更重要的增加袁零售商订购产品的种类增加袁风险减小曰而增位置遥这说明零售商决策时将优先考虑产品的收益加的产品种类由产品的收益与市场需求不确定性情况袁在此基础上袁再将风险因素融入决策中遥这与所带来的风险共同决定曰零售商的期望收益是风险现实中零售商的决策过程一致遥厌恶程度的减函数遥这与现实情况相符袁说明模型能够满足不同风险偏好的决策者制定最适宜自身四尧结论决策方案的要求遥本文对基于预算约束的多产品报童风险模型在本文基础上袁尚有许多相关问题值得进一步进行了研究遥针对模型的结构特征袁证明了产品的的研究袁如院非线性约束和多约束的多产品报童边际预算CVaR值是产品订购量的非增分段函数袁CVaR风险模型遥并应用二分搜索算法进行求解遥算例的结果表明院49
窑50窑北京理工大学学报渊社会科学版冤2011年6月参考文献:[1]-period渊news-vendor冤problem:literaturereviewandsuggestionsforfutureresearch[J].omega袁1999袁27渊5冤:537-553.[2]万仲平袁侯阔林袁程露袁等.报童问题的扩展模型[J].武汉大学学报:理学版袁2008袁54渊3冤:259-266.[3]张斌.收益管理中基于结构特征的概率预测与资源分配问题研究[D].合肥院中国科学技术大学袁2007.[4]胡劲松袁闫伟.负指数折扣模糊报童问题Stackelberg均衡策略[J].计算机集成制造系统袁2009袁15渊6冤:1243-1248.[5]LauH袁-productmulti-constraintnewsboyproblem:application袁formulationandSolution[J].JournalofOperationsManagement袁1995袁13渊2冤:153-162.[6]LauH袁:acapacitatedmultiple-productsingleperiodinventoryproblem[J].EuropeanJournalofOperationalResearch袁1996袁94渊1冤:29-42.[7]Abdel-MalekL袁MontanariR袁袁approximate袁andgenericiterativemodelsforthemulti-productnewsboyproblemwithbudgetconstraint[J].InternationalJournalofProductionEconomic袁2004袁91渊2冤:189-198.[8]Abdel-MalekL袁-productnewsvendorproblemwithsideconstraints[J].EuropeanJournalofOperationalResearch袁2007袁176渊3冤:1607-1619.[9]-productmultipleex-anteconstraintnewsvendorproblemandextensions[J].EuropeanJournalofOperationalResearch袁2007袁176渊2冤:941-955.[10]ZhangB袁XuXY袁-productnewsboyproblemwithbudgetconstraint[J].InternationalJournalofProductionEconomic袁2009袁117渊1冤:136-141.[11]ChenX袁SimM袁SimchrlevD袁[J].OperationsResearch袁2007袁55渊5冤:828-842.[12]许明辉袁于刚袁张汉勤.带有缺货惩罚的报童模型中的CVaR研究[J].系统工程理论与实践袁2006渊10冤:1-8.[13]GotohJY袁-at-riskminimization[J].EuropeanJournalofOperationalResearch袁2007袁179渊1冤:80-96.[14]杨磊袁王明征袁李文立.两种带有能力约束的报童风险模型最优策略[J].系统工程理论与实践袁2008渊4冤:35-42.[15]程露袁万仲平袁侯阔林袁蒋威.CVaR准则下的双层报童问题模型研究[J].运筹学学报袁2008袁12渊4冤:83-93.[16]ChengL袁WanZP袁[J].Computers&IndustrialEngineering袁2009袁57袁310-318.[17]安智宇袁周晶.考虑供应商违约风险的CVaR最优订货模型[J].中国管理科学袁2009袁17渊2冤:66-70.[18]周艳菊袁邱菀华袁王宗润.基于CVaR约束的多产品订货风险决策模型[J].中国管理科学袁2006袁14渊5冤:62-67.[19]ZhouYJ袁ChenXH袁-productswithstochasticdemand:Return-CVaRmodel[J].InternationalJournalofProductionEconomics袁2008袁112:782-795.[20]周艳菊袁邱菀华袁王宗润.基于信息更新的多产品两阶段订货风险模型[J].系统工程理论与实践袁2008袁1:9-16.[21]蒋敏袁孟志青袁周根贵.供应链中多产品组合采购与库存问题的条件风险决策模型[J].系统工程理论与实践袁2007袁12:29-35.[22]ZhangB袁[J].EuropeanJournalofOperationalResearch袁2008袁191渊1冤:1-6.[23]周艳菊袁邱菀华袁王宗润.不同约束下多产品报童问题解的比较研究[J].系统工程与电子技术袁2008袁1:-productRisk-averseNewsvendorModelwithBudgetConstraintYANGChenghu(All-TransLogisticsSchool,FuzhouUniversity,Fuzhou350108)Abstract:Themulti-productnewsvendorproblembasedontheconditionalvalue-at-risk(CVaR),togainmaximumthesumofCVaRofproducts爷revenue,,,themorecategoriesofproductsareorderedbytheretailer;:multi-product;newsvendor;budget;conditionvalue-at-risk;binarysearchalgorithm[责任编辑院孟青]50
