证券市场
基于极值理论的风险价值度量
李 纲!，杨辉耀!，郭海燕"
（! 广州大学 数量经济研究所，广东 广州 #!$%$#；" 华中科技大学 经济学院，湖北 武汉 %&$$’%）
摘要：精确度量风险价值（()*+, - ). - /012，()/）和以及由此衍生的 345,6.,7 89:;.<)**（38）是
对风险管理者的挑战。广泛应用的正态分布不足以描述金融收益的厚尾特征，尤其是风险管
理者最为关心的 ==>或 =#>分位数。极值理论可以准确地描述分布尾部的分位数。本文利
用极值理论计算 ()/ 和 38，并给出它们的误差分析，然后利用深成指数据进行返回检验。两
种返回检验方法的结果表明，极值理论方法可以比较精确地度量 ()/ 和 38。
关键词：()*+, - ). - /012；345,6.,7 89:;.<)**；极值理论；?@A 模型；返回检验
中图分类号：BC&$D=! 文献标识码：E 文章编号：!$$" - ""#"（"$$"）$# - $$%$ - $#
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（! .+., :< Q+).).0R, 36:I:S061，H+)IJT9:+ PI0R,;，H+)IJT9:+ #!$%$#，U90I)；
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收稿日期："$$" - $C - "’
作者简介：李纲（!=’’ - ），男，河南省永城市人，广州大学理学院硕士研究生，研究方向：金融工程。
> 引言
近年来，金融市场的波动日益加剧，一些金融危
机事件接连发生，这对风险度量和管理提出了挑战，
需要更适合的工具来处理这些极端情况。极值理论
（3(A）提供了建立模型描述极端事件的理论基础。
以往的极值理论研究多在科技、工程领域，最近，越
来越多的学者开始转向用该理论分析金融市场的波
动。很 多 学 者 研 究 分 析 了 金 融 序 列 的 厚 尾 行
为［!］［"］，\0,Y:*7、]6L,0* 等人也讨论了极值理论在风险
管理中的应用问题［&］［%］［#］。本文讨论了在厚尾分布
条件下怎样应用极值理论度量风险的问题。
? 风险价值（!"’）的概念
近年来，()*+, - ). - /012（()/）已经成为最重要
并被广泛接受的风险度量工具之一。一般地，它可
第 !#卷第 #期
" $ $ "年 !$月
决 策 借 鉴
?@FGUK - ]E^GLH /3B3/3LU3
(:*W!# L:W#
@6.:Y,;，
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" $ $ "
以定义为在一定的概率水平下，某一资产或投资组
合在未来特定时间内的最大可能损失［!］。假定 ! 代
表某一金融资产的收益，则其密度函数 "（ !）就表
示它的损益分布（"#$ 分布）。%&’ 为 "（ #）的左 ()
或 *)分位数（对应于 ++)或 +*)的概率水平）。但
在有些情况下，考虑资产的负收益可能会更方便。
相应地 %&’ 变为 "#$ 分布 "（ $ !）的 ++)或 +*)分
位数 % ，本文就采用这种处理方法。
尽管 %&’ 已被广泛接受，但它本身存在一些不
足之处。一是没有考虑到尾部风险，即损失超过
%&’值 的 风 险；再 者 它 不 满 足 次 可 加 性（ ,-. /
&0012134），因而不是一个一致的（ 56748492）风险度量工
具。为弥补这些缺陷，:82;948 提出了 <=>45240 ?7682@&AA
（<?）的概念［B］。它的定义（用 &’（ %）表示）如下：
&’（ %）( )［ ! * ! + %］ （(）
其中，! 为负收益，’ 为相应的概率水平（如 ++)
等），% 为与 %&’ 相应的分位数。很显然，<? 度量了
当损失超过 %&’ 时损失的期望值，特别是它被证明
满足一致性［C］。
在计算 %&’ 和 <? 时存在着两个问题：数据太少
以及由此导致的难以挑选适当分布函数，尤其是考
虑到实际收益的厚尾特征时。因为即使利用 ( DEE
个数据（约为股票 * 年的收益数据）来估计一个实际
分布的 ++)分位数也是不够的。但是我们可以运用
极值理论（<%F）来解决这两个问题。首先我们考察
实际金融收益的厚尾特征。
! "" 图和超额均值函数
很多实证研究表明，与正态分布相比，金融资产
的收益分布具有尖峰厚尾特征。那么不考虑这些特
征（如基于正态分布）计算出的 %&’ 和 <? 将会低估
风险。下面我们利用两种图形技术来证实实际金融
收益的厚尾特征。GG 图是用来检验样本分布的一
种统计图形技术，它把被检验数据的实际分位数对
所指定分布的理论分位数描绘在图形上。如果被检
验的数据符合所指定的分布，代表样本数据的点就
会落在一条直线上。由图 ( 可以明显看出，与正态
分布相比，深成指对数收益的分布函数在收益和损
失两端都具有厚尾特征。
另一个图形技术是超额均值函数（H4&9 <=54,,
I-952169，即 H<I），定义为：
,（ %）( )［ ! $ % * ! + %］ （J）
在图形上描出点｛%，,（ %），% + E｝，即为 H<I
图。图 J 为深成指对数收益数据的 H<I 图，与图 D
显示的标准正态分布的 H<I 图相比可以明显看出，
在 % 值大于零时，图形出现向上的趋势，也显示出深
成指数据的厚尾特征。下面我们用极值理论来处理
厚尾问题。
# 极值理论的 $%& 模型
极值理论是测量极端市场条件下风险损失的一
种常用方法，它具有超越样本数据的估计能力，并可
以准确地描述分布尾部的分位数，这些对于精确计
算 %&’ 和 <? 都是非常有帮助的。 "KF（ >4&L, 6348
2784,76A0）模型是极值理论中最有用的模型之一，它对
样本数据中超过某一充分大的阈值的所有样本数据
进行建模，即只考虑对尾部的近似表达，而不是对整
个分布进行建模。极值理论对分布尾部的估计方法
主要有两种：半参数方法和全参数方法。本文采用
全参数方法，即对于充分大的阈值 -，样本中超过阈
值的数据（超额数据）的分布函数可以用广义帕累托
分布近似。我们可以据此估计出相应的分位数，以
计算 %&’ 和 <?［+］。
# ’ ( 广义帕累托分布
分布函数为：
.!，"（ #）(
( $（( /!
#
"
）$
(
!，!! E
( $ 4=>（$ #
"
），! (
{ E （D）
图 ( 深成指对数收益数据（( !!) 个） 图 * 深成指对数收益数据（( !!) 个）
与正态分布的 "" 图 的 +,- 图
(M第 *
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
期 基于极值理论的风险价值度量
图 ! 标准正态分布的 "#$ 图 图 % 深成指对数收益数据（& !!’ 个）的 ()** 图
其中，!! !，" " !，且当!" ! 时 # " !，! $ ! 时
!# # # % "!
。!是分布的形状参数，"是尺度参数。
当!" ! 时对应于厚尾的普通帕累托分布，这时 #$%
看起来好像一条逐渐增加的直线。相应地超额数据
的分布函数表示为：
&（ ’）(（& % &（ )））*!，"（ ’ % )）+ &（ )），’ " )
（’）
我们要根据此式构造出 ,（ ’）的一个尾部估计，
并反求出分位数的形式。首先要估计和确定各个参
数。
% + , 阈值的确定和参数估计
阈值 ) 的确定非常关键，它是正确估计参数"和
!进而精确度量 ()* 和 $+ 的前提。过高的 ) 值会导
致超额数据太少，从而估计参数的方差会偏高。而
太小的 ) 值则会产生有偏的估计量。通常有两种方
法来确定阈值 )，其一是根据超额均值函数 -（ ’）的
性质，即选取充分大的 ) 值，使得 ’ " ) 时，-)（ ’）
是近似线性的（如图 ,）；其二是根据 -.// 图。令 ’（&）
" ’（,） " ⋯ " ’（.）表示独立同分布的有序数据，尾
部指数的 -.// 统计量定义为：
/0，. (
&
0$
0
1 ( &
/0（
’（ 1）
’（ 0）
） （1）
-.// 图定义为点｛（ 0，/%&0，.），&# 0 # . % &｝的集合
（如图 ’）。阈值 ) 选择图形中尾部指数稳定区域起
始点的横坐标 0 所对应的数据 ’0。可以把两种方法
相比较以更准确地确定阈值。
参数"和!的估计值 2"和 2!可以用极大似然估计
法求得。这在软件 + 2 3/45 环境下很容易实现。
% + ! -./ 和 #0 模型
用 3 表示样本数据的总数，3) 代表所有大于阈
值 ) 的样本数据个数。那么对于给定的概率 4，我们
应用完全参数方法求出分位数 5（即 ()*）的表达式
为：
254 ( ) +
2"2!
｛［ 33)
（& % 4）］%! % &｝ （6）
根据 $+（见（&）式）和 #$%（见（,）式）的定义可
以发现 $+ 对应 6（ 54）与 ()* 的联系：
64（ 5）( 54 + -4（ 5） （7）
由公式（6）和（7）可推导出 6（即 $+）的表达式：
264 ( ) %
2"2!
+
2"2!（& % 2!）
［ 33)
（& % 4）］%! （8）
1 -./ 和 #0 的误差分析
由于模型给出的 ()* 和 $+ 的结果只是真实值的
一种估计，因此受样本变化的影响很大。当样本数
据足够大时，估计值会收敛于真实值，但实际中样本
数据往往不足，这自然会产生误差。在实际风险管
理中，由误差大小可判断模型准确性下降的原因，如
误差较大，说明原因可能来自于市场条件的变化；如
误差较小，则原因可能是模型本身的问题，这种判断
对于风险管理者非常有价值。我们提供两种计算
()* 和 $+ 误差的方法：#90:; <)=/9 模拟法和标准误差
估计方法。首先利用极大似然估计方法估计"和!
以及协方差矩阵 7（"，!）。
7（"，!）(
>9?（"，"） >9?（"，!）
>9?（!，"） >9?（!，!
( )） （@）
从（@）可以得到"和!的标准差#"和#!。
1 + & "2345 *2 模拟
由公式（6）和（8），()* 和 $+ 可以看作概率 4、
阈值 ) 、估计参数 A"和 A!的函数。如果我们把"和!
看作具有协方差结构（ @）的随机变量，那么计算
()*、$+ 和它们的误差的问题就转变为计算 8［ 5（ 4，
)；"，!）］和 8［ 6（ 4，)；"，!）］以及它们的标准差的
问题了。
利用 + 2 3/45 软件产生 &! !!! 个具有协方差结
构（@）的（"，!）值的随机集合，对于每一个（"1，!1）（ 1
,’ 决策借鉴 ,!!,年 &!
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
月
! !，⋯，!" """），我们可以得到相应的 " 和 # 的值，
然后计算 $｛"｝和 $｛#｝以及它们的标准差。
! " # 标准误差估计
首先假设公式（#）和（$）给出的估计量 %"& 和 %#& 是
%&’ 和 () 值很好的近似，那么误差可以用一个广泛
应用的标准物理过程来求得，即令 ’（ (!，⋯，()）表
示参数 (!，⋯，() ! * 的连续函数，用!(!，⋯，!() 来
表示测度这些参数值的误差。那么计算函数 ’（ (!，
⋯，()）在点 ("! ，⋯，(") 处的值的误差可以由下式得
到：
!’（!("! ，⋯，!(") ）! #
)
+ ! !
（$’
$(+
（ ("! ，⋯，(") ）!(+）% *
（!"）
假定偏导数$’ ,$(+（ + ! !，⋯，)）存在。
参照上面的物理方法，我们用!"和!#作为计算
"和#的误差，由（!"）我们可以得到 %&’ 和 () 的误
差为：
!"（ &，-；%"，%#）!
（$"
$"
（ &，-；%"，%#）$"）
* .（$"$#
（ &，-；%"，%#）$#）% * （!!）
!#（ &，-；%"，%#）!
（$#
$"
（ &，-；%"，%#）$"）
* .（$#$#
（ &，-；%"，%#）$#）% * （!*）
$ 返回检验（%&’()*+),-.）
实证研究中通常依靠返回检验来验证一个假设
模型的正确性，这种方法用模型预测的结果与真实
数据相比较，来检验模型预测的精确程度。我们给
出两种返回检验方法。
$ " / %&+0* 交通灯方法
该方法简单地计算“异常”（即该天的实际损失
超过模型预测的 %&’）的数量。如果模型在 ++,的
概率上是正确的，那么平均来说异常的数量应该仅
有 !,左右。该方法根据出现异常的数量依次分为
三个区域（见表 !，仅列出样本数据为 *-" 的部分），
出现在绿灯区意味着模型是可以接受的，而黄灯区
表示模型的质量不确定，红灯区则表示模型应该被
拒绝。
表 / %&+0* 交通灯方法各区域所对应的异常数量范围
样本数量 区域 ++, +-, +",
*-"
绿 " . / " . !0 " . 1*
黄 - . + !$ . *# 11 . /1
红 2 + 2 *# 2 /1
$ " # 点估计方法
假定“异常”是服从 34567899: 分布 /（!，0）的随
机变量，用极大似然估计方法估计 ; 值可得：
%0 ! !)#
)
+ ! !
/+ !
1
) （!1）
这里 1 为异常的数量，) 为用于返回检验的数据个
数，其方差为：
2 !
%0（! 3 %0）
) （!/）
对于任意的 )，我们计算区间 4 !［! 3（ %0 .
%2），! 3（ %0 3 %2）］。然后看我们选定的置信水平
& 是否落在区间 4 内。如果是，我们的模型是适用
的；如果不是，特别是当 & & ! 3（ %0 3 %2）时，模型
就存在问题了。
1 实证研究
我们利用深圳成分指数 !++# 年 ! 月 * 日 . *""*
年 0 月 *# 日（共 ! -$# 天）的日对数日收益进行实证
研究。分析数据我们发现，在滞后 $ 期内都不能拒
绝没有自相关的原假设。因此深成指数据的对数收
益序列可以看作是大致平稳的。如第一部分所述，
我们取所有数据的负数，根据上分位数来计算 %&’
和 ()。我们根据 !++# 年 ! 月 * 日 . *""! 年 0 月 !"
日共 ! 11# 个数据来确定阈值 - 和估计参数，利用其
余的 *-" 个数据进行返回检验。
1 " / 参数的确定
根据样本数据，结合 <(= 图（图 *）和 >:99 图（图
/），我们确定阈值 - ? " @ ""+0，则 5- ? !!*，进而得
到下面估计的参数值和协方差（表 *）。
表 # 估计的参数值与协方差
%# %" AB%（"，#）
估计值 "@**0-10$ "@""#"++!
标准差 "@!-!--10 "@""!"$!/
C "@"""!*/$$
1 " # 估算 2&3 和 45
两种方法计算的 %&’ 和 () 的结果如下（表 1 和
表 /）。
表 6 78-)* 9&:08 模拟方法结果
& %&’（$［ "］） 误差 ()（$［ #］） 误差
"@++ "@"*#0*/0 "@""/*/#- "@"/!$!*# "@"!1/!-*
"@+0- "@"!$*-## "@""!0!+/ "@"*+01-+ "@""#0$/-
"@+- "@"!1"-** "@"""#"0# "@"**-"+1 "@""1$!$1
"@+" "@""$#//- "@"""!$0# "@"!#-*11 "@""!+#1$
表 ; 标准误差估计方法结果
& %&’ 误差 () 误差
"@++ "@"*#10$0 "@""-$*+ "@"1+!$0 "@""/"$*
"@+0- "@"!$!+-1 "@""1**! "@"*$-+1 "@""*+!$
"@+- "@"!1"//0 "@""!1/! "@"*!+*# "@""!10*
"@+" "@""$#/-0 "@"""//- "@"!#*1! "@""1!-1
1/第 -
’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’
期 基于极值理论的风险价值度量
比较表 ! 和表 " 可以看出，两种方法得到的 #$%
和 &’ 的估计值非常相近，()*+, -$./) 模拟方法估计
的 #$% 的误差相对较小，但该方法给出的 &’ 的误差
却较高。
! " # 返回检验
我们利用 012 天的数据依次向前递推进行返回
检验，两种方法得到的 #$% 的检验结果如下（表 1、
表 3）。
表 $ 交通灯方法检验结果
! 445 415 425
异常数 6 66 07
所处区域 绿 绿 绿
表 % 点估计方法检验结果
! " 区间
445 ［28440229，28444440］
415 ［284"!2!，2843947］
425 ［28970"，284663］
从表 1 和表 3 可以看出，模型的检验结果还是很
理想的。对于三种不同的概率水平，交通灯方法的
检验结果都处于绿灯区；点估计方法的 ! 值在 415
和 425概率下都介于相应的 " 区间内，尽管在 445
概率时 ! 没有处于 " 区间内部，但也是很接近下界
的，说明上面计算 #$% 的模型方法是可以接受的。
利用交通灯方法的结果，我们对 &’ 进行检验，
我们求出超过预测 #$% 的所有实际损失的期望值，
与预测的 &’ 相比较，并用两者的绝对差与实际损失
的百分比值作为差距的度量，结果如表 7。
表 ! 对 &’ 的检验结果
! 445 415 425
预测的 &’ 282!40 282064 282630
超过 #$% 的实际
损失的均值
282!26 28264 2826!9
两者差距 !2805 61805 678"5
当然这种方法存在着很大的不确定性。因为限
于样本数据，我们所得的异常很少，特别是对于
445概率水平，仅有 6 个异常出现，所以这种简单比
较的结论不是绝对的。但还是可以大致看出预测的
&’ 与实际值之间是比较接近的。
( 结论
在风险管理中，收益分布的合理假设是正确度
量风险的前提条件。而现有的分布，尤其是广泛应
用的正态分布，都与实际金融收益分布存在着较大
的差距。极值理论的 :;< 模型仅考虑分布尾部，而
不是对整个分布进行建模，这就避开了分布假设难
题；并且极值理论可以准确地描述分布尾部的分位
数，这更有助于处理风险度量中的厚尾问题。我们
的检验结果也表明极值理论的确可以比较精确地度
量 #$% 和 &’。
参考文献：
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