基于极值理论估计外汇在险价值 VaR
李相栋1 ，刘召成2，3 ，刘希玉2
(1．山东财政学院 金融学院，山东 济南 250014;2．山东师范大学 管理与经济学院，山东 济南 250014;
3．山东职业学院 管理系，山东 济南 250104)
摘 要:采用极值理论 POT模型对欧元兑美元等 4 种外汇对数收益序列的 VaR进行了估计。为
了比较阈值选取对估计结果的影响，变化选取不同汇率的阈值分位点，则超限点数也相应地变化。使
用估计的 GPD分布参数，分别构造上界和下界的分布函数，从而计算出 VaR的 95%置信区间。极值
理论作为测量极端市场条件下市场风险的一种方法，具有超越样本数据的估计能力，并可以准确地描
述分布尾部的分位数。结果表明:外汇对数收益分布左右尾具有不对称性，而且都有一定程度的胖尾
现象，但是均存在二阶矩，分布具有有限方差。
关键词:极值理论;外汇收益;在险价值;POT模型;尾部指数
中图分类号:F830 文献标识码:A 文章编号:1008 － 2670(2011)04 － 0028 － 09
收稿日期:2011 － 04 － 20
作者简介:李相栋(1982 －) ，男，山东聊城人，山东财政学院金融学院讲师，经济学博士，研究方向:金融风险管理;刘召成
(1968 －) ，男，山东济南人，山东职业学院管理系副教授，山东师范大学博士研究生，研究方向:金融工程;刘希玉(1964 －) ，男，
山东莱芜人，山东师范大学管理与经济学院教授，博士生导师，研究方向:计算智能与非线性分析。
一、引 言
(一)课题的意义
自 20 世纪 70 年代以来，金融市场的波动日益加剧，一些金融危机事件频繁发生，1987 年 10 月发生的美
国股票市场崩盘，1992 年 9 月欧洲货币体系的瓦解，1997 年开始的亚洲金融危机以及 2007 年 4 月美国积累
很久的次级债危机爆发，逐渐蔓延形成了世界金融危机。这一些情况使金融监管机构和广大的投资者对金融
资产价值的暴跌变得尤为敏感。金融资产收益序列的尖峰、厚尾现象也使传统的正态分布假定受到严重的质
疑，因此如何有效地刻画金融资产收益序列的尾部特征，给出其渐近分布形式，及各种风险度量模型的准确估
计方法和置信区间，对于金融机构改进风险度量方法、制定投资策略，国家制定风险监管制度等都具有重大意
义。
目前，对金融资产收益序列的估计方法主要包括历史模拟法、参数方法和非参数方法。历史模拟是一种
最简单的方法，它利用收益序列的经验分布来近似真实分布，但是该方法不能对过去观察不到的数据进行外
推，在运用中受到限制。参数方法假设收益率符合某种特定的分布如:正态分布、学生 t分布、GED分布等，通
过假定的分布与样本均值、方差的匹配对参数进行估计，或者是假设收益率序列符合某种特定的过程如:RW、
ARMA、GARCH等，它可以在一定程度上解释收益序列的尖峰厚尾和波动率聚类现象，具有比较好的整体拟
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第 4 期 总第 114 期
2011 年 7 月
山 东 财 政 学 院 学 报
JOURNAL OF SHANDONG UNIVERSITY OF FINANCE
No． 4 Vol． 114
Jul 2011
合效果。不过参数方法只能对已经到来的灾难信息给出准确的估计，对于即将到来的灾难信息无法进行准确
的预测。非参数方法则主要包括极值理论(Extreme Value Theory，EVT) ，它与前面的两种方法有着明显的区
别，它并不研究收益序列的整体分布情况，只关心收益序列的尾部特征，利用广义帕累托分布来逼近收益序列
的尾部分布。
如何描述极端事件的分布规律，进行极端事件的风险建模是外汇市场风险测度的一个重要问题。分布尾
部反映的是潜在的灾难性事件，可能导致金融机构的重大损失，这正是金融风险管理所关注的地方，对收益分
布的尾部进行建模成为问题的关键。极值理论(EVT)是研究序统计量渐近分布的理论，提供了拟合分布尾部
的方法，而且可以对左、右尾分布分别建模，解决了分布的不对称问题。极值理论在工程实践中得到了广泛的
应用，例如，在荷兰根据极值理论的数学原理进行测算，进而设计了一条条海堤防范海水的侵扰，以拯救一半
以上的位于海平面以下的国土。在保险行业，极值理论用来测算科学合理的保险费率，一方面使客户能够接
受，另一方面保证保险公司不至于因重大灾害的发生导致严重亏损。
许多学者对极值理论及其应用展开了研究。Longin［1］认为极值理论的优点在于它没有假设特定的模型，
而是让数据自己去选择，对突发事件具有较强的预见性，而 GARCH族模型作为估计风险的一种方法，只能反
映当时的波动率情况，缺乏对突发事件的预见性。另外，Christoffersen and Goncalves［2］、Gilli and Kellezi［3］、
Jondeau and Rockinger［4］和 Neftci［5］也分别采用极值理论对金融收益序列的尾部特征进行了分析和比较。
极值理论是测量极端市场条件下市场风险的一种方法，它具有超越样本数据的估计能力，并可以准确地
描述分布尾部的分位数。它主要包括两类模型:BLOCK模型和 POT模型。其中 BLOCK模型是一种传统的极
值分析方法，主要用于处理具有明显季节性数据的极值问题上，POT模型是一种新型的模型，对数据要求的数
量比较少，是目前经常使用的一类极值模型。本文将采用 POT 模型对外汇对数收益序列的 VaR(Value at
Risk)进行估计。
(二)VaR的定义
在险价值 VaR也称为受险价值，是指在一定的概率水平下，证券组合在未来特定一段时间内的最大可能
损失［6］。设一资产或资产组合收益的分布函数为 F(x) ，考虑 F(x)为连续函数的情况，取概率水平为 p(置信
水平为 1 － p) ，VaRp 的定义是:
P(X ＜ VaRp)= p，VaRp(X)= － F
－ 1(p) (1)
可见，VaRp 即收益分布的左侧 p分位点。有些文献用损失 Y = － X 表述 VaRp，设 Y 的分布函数为 L(y) ，
则:
P(Y ＞ VaRp)= p，VaRp = L
－ 1(1 － p) (2)
这两种定义方法是一致的，尽管 VaRp 指的是损失值，但习惯上用正值表示。
VaR测度有三个关键参数:持有期限(Holding Period)、置信水平和观察期间。持有期限是衡量收益或损
失的基本时间单位，即观察数据的频率，比如日收益率、周收益率等。在 1997 年巴塞尔委员会公布的资本充
足性条款中，持有期为 10 天(两星期) ，但允许用 1 天的 VaR乘以槡10计算 10 天的 VaR数值。
置信水平的选择依赖于金融机构对极端事件风险的厌恶程度，置信水平越高，则对资本充足性的要求也
越高，安全性也越高;反之，置信水平越低，对资本充足性的要求也越低，安全性较差。VaR后验测试和监管要
求对置信水平也有影响，在 1997 年巴塞尔委员会公布的资本充足性条款中要求的置信水平为 99%。
观察期间是对给定持有期限资产的波动性进行考察的整体时间长度。观察期间的长度选择，必须在历史
数据的可用性和市场发生结构性变化的危险之间进行权衡。置信水平越高，对观察期间的要求越长，在 1997
年巴塞尔委员会要求的观察期间为 1 年(250 天)。
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第 4 期 李相栋，刘召成，刘希玉:基于极值理论估计外汇在险价值 VaR
二、极值理论
(一)次序统计量与极值分布
极值理论(EVT)是研究次序统计量的极端值的分布特性的理论，这里介绍有关的定义与假设［7］。
设 Xi，i = 1，2，…，n是取自分布函数为 F(x)的总体的一个样本，将其按大小排序:X(1)≥X(2)≥…≥X(n)，
称(X(1)，…，X(n))为次序统计量，X(1)= max(X1，…，Xn) ，X(n)= min(X1，…，Xn)分别称为样本极大值、样本极
小值，统称样本极值。它们的分布称为极值分布。
极值分布有三种形式，分别称为 Gumbel、Frechet、Weibull 分布。尽管有资料表明［8 － 10］，金融时间序列的
极值是 Frechet分布，然而，根据极值理论，可以完全基于样本数据直接得到极值分布的估计形式，而不需要判
断极值的分布类型。
(二)规则变化假定和幂指数规则
当用极值理论来计算 VaR时，只考虑对尾部的近似表达(n→∞) ，而不是对整个分布进行建模。实证研
究表明，金融价格的时间序列数据的实际分布是“厚尾”分布。然而，如何判断一个分布是否有“厚尾”特征
呢?这需要用到规则变化(Regular Variation)的假定条件。
当下式成立时，称分布函数 F(x)是规则变化的:
lim
t→∞
1 － F(tx)
1 － F(t)= x
－ a，x ＞ 0，α ＞ 0 (3)
其中，α称为分布的尾部指数，当 α ＞ 2 表示分布的尾部比正态分布的更厚，α ＜ 2 时表示比正态分布更薄
的尾部。规则变化意味着次序统计量 X的大于 α的无条件矩是无界的，正是在这个意义上，称具有规则变化
特征的分布为“厚尾”分布［11 － 12］。这一假定是用极值理论研究次序统计量 X 的尾部特征时所需要的唯一假
定。它保证了尾部分布的稳定性。
另外一个关于尾部分布的重要发现就是幂指数规则(Power Law) ，即在极限条件下，所有“厚尾”分布的
尾部都可以用幂函数近似表达，这点已为学术界所公认［8，11，12］。现在问题的难点，就是找出来近似表达分布
函数的尾部的具体的幂函数形式。
设金融时间序列 St 代表在时刻 t的金融变量，如股价、指数或汇率等，则这些序列所对应的连续复合日收
益可用下式对数收益形式表示:
Xt = lnSt － lnSt － 1 (4)
传统的 VaR计算方法是考虑金融资产收益分布的全部，而极值理论只考虑分布的尾部，外汇风险管理者
关注的正是分布的尾部。通过一段长时间观察出的极值收益的极限分布独立于收益的初始分布［1］，因此没
有必要假设一个收益的初始分布，这正是极值理论在计算 VaR方面的最大优势。
极值理论的应用有两大类模型:一类是依据独立同分布 i． i． d 序列的最大或最小统计量的渐近分布，服
从 GEV(Generalized Extreme Value)分布(包括 Gumbel、Freche 和 Wweibull 三种分布形态) ，在应用中需要用
序列的分块样本的极值数据进行建模，称为 BLOCK 模型。另一类是对序列设一个阈值(Threshold) ，超限点
渐近分布服从 GPD分布(Generalized Pareto Distribution) ，这种建模方式称为 POT(Peaks Over Threshold)模型。
(三)极值理论的 POT模型
假设序列{zt}的分布函数为 F(x) ，定义 Fu(y)为随机变量 Z 超过阈值 u 的条件分布函数，它可以表示
为:
Fu(y)= P(Z － u≤y |Z ＞ u) y≥0
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山东财政学院学报 2011 年
根据条件概率公式我们可以得到:
Fu(y)=
F(u + y)－ F(u)
1 － F(u) =
F(z)－ F(u)
1 － F(u) F(z)= Fu(y) (1 － F(u) )+ F(u) ，z≥u (5)
定理(Pickands)［13］:对于一大类分布 F(几乎包括所有的常用分布)条件超限分布函数 Fu(y) ，存在一个
Gk，σ(y)使得:
Fu(y)≈G'k，σ(y)=
1 － 1 + kσ( )y － 1 / k k≠0，u→∞
1 － e － y /σ， k{ = 0 (6)
当 k≥0 时，y∈［0，∞) ;当 k ＜ 0 时，y∈［0，－ σ / k］。函数 G'k，σ(y)称广义帕累托分布。
其中 k的不同取值决定了尾部的厚度，k越大尾部越厚，k越小尾部越薄。从 G'k，σ(y)函数我们还可以看
到当 k ＜ 0 时，y 的最大取值为 － σ / k，有上界。Lee and Saltoglu 指出在金融资产收益时间序列上直接使用
EVT时，由于序列的尖峰厚尾，使得估计出来的 k一定是大于零的，但是在模型中，如果对残差序列进行极值
分析，得到的 k就并不一定要求大于零。
根据公式(6)我们可以得到，对于给定的一个符合广义的帕累托分布的样本{z1，…，zn}的对数似然函数
L(k，σ | z)为:
L(k，σ | y)=
－ nlnσ － 1 + 1( )k ∑
n
i = 1
ln 1 + k
σ
y( )i ， k≠ 0
－ nlnσ － 1σ∑
n
i = 1
yi， k =
{ 0 (7)
在 POT模型中另一个重要的问题，是如何得到定理中的阈值 u，它是准确估计参数 k和 σ的前提。如果阈
值 u选取的过高，会导致超限数据量太少，估计出来的参数方差很大;如果阈值 u 选取的过低，则不能保证超
限分布的收敛性，使估计产生大的偏差。Danielsson，J．，C． G． de Vries［14］和Dupuis［15］给出了对阈值 u的估计
方法，一般有两种:根据 Hill图、根据样本的超限期望图。如果采用样本的超限期望图确定阈值 u，令 X(1) ＞
X(2) ＞ … ＞ X(n)，样本的超限期望函数定义为:
e(u)=
∑ ni = j(Xi － u)
n － j － 1 j = min{i | Xi ＞ u} (8)
超限期望图为点(u，e(u) )构成的曲线，选取充分大的 u作为阈值，使得当 x≥ u时 e(x)为近似线性函数。
另外，如果超限期望图当 x≥ u时是向上倾斜的，说明数据来源于参数 k为正的 GPD分布;如果超限期望图当
x≥ u时是向下倾斜的，说明数据来源于尾部较短的分布;如果超限期望图当 x≥ u时是水平的，则说明该数据
来源于指数分布。这一判断方法是根据广义 Pareto分布在参数 k ＜ 1的时，它的超限期望函数 e(m)是一个线
性函数得到的:
e(m)= E(X － m | X ＞ m)= σ + km1 + k σ + km ＞ 0
当 u确定以后，利用{zt}的值，根据公式(7)进行最大似然估计得到 k^和 σ^。同时，我们得到{zt}的值中比
阈值 u大的个数，记为 Nu，根据公式(5)用频率代替 F(u)的值，可以得到 F(z)的表达式:
F(z)= Fu(y) (1 － F(u) )+ F(u)=
Nu
N(1 +
k
σ
(z － u) )－1 / k)+ (1 －
Nu
N)
Nu
N(1 － e
－(z－u)/σ)+ (1 －
Nu
N
{ )
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第 4 期 李相栋，刘召成，刘希玉:基于极值理论估计外汇在险价值 VaR
=
1 －
Nu
N(1 +
k
σ
(z － u) )－1 / k， k≠ 0
1 －
Nu
N e
－(z－u)/σ， k ={ 0 (9)
对于给定某个置信水平 p，可以由{zt}的分布函数公式(9)得到:
VaRp =
u + σk ( (
N
Nu
(1 － p) )－ 1) ，k≠ 0
u － σln(NNu
(1 － p) ) ，k ={ 0 (10)
三、实证研究
(一)研究方法与数据
鉴于汇率收益序列不含季节性因素，不宜采取BLOCK的方法来分析。我们直接采用POT的方法来研究汇
率收益序列数据，当取足够大的阈值时，极值序列将渐进地服从广义帕累托分布 GPD(Generalized Pareto
Distribution)。我们研究的步骤是:
(1)首先确定阈值及其分位点，从而确定出超限点数。
(2)估计 GPD 的参数及其标准差。计算参数 95% 的置信区间。
(3)利用确定的 GPD分布，通过累计概率分布的反函数计算出 99% 分位点即 VaR并计算出其95% 的置
信区间。
(4)对试验结果进行比较分析。
作为研究对象的汇率数据，采集渠道为英格兰银行统计网站，数据区间为2005年1月4日至2010年12月
30日共计6周年的日收盘价格，每种汇率1516个数据，我们只研究其中4种汇率:欧元兑美元(eur2usd) ，欧元
兑英镑(eur2gbp) ，英镑兑美元(eur2usd) ，日元兑美元(jpy2usd)。由于研究的需要，我们必须先把汇率价格序
列转换为收益序列，这样每种汇率的数据变为 1515 个，变化图见图 1。
我们利用 Matlab统计工具箱，编写了具体的计算程序。
(二)研究的过程与结果
(1)确定阈值
确定一个合适的阈值是采用 POT方法进行计算的关键。阈值选的太小会把一些中央分布的观测点引入
到模型之中，增大了超限点的数量，参数估计方差可能变小，但是估计有可能是有偏的。反之则反之。目前，有
两种方法选取阈值:
① 图形观察法
利用 Q － Q图将经验分布与正态分布的分位点在同一图中画图线比较，可以发现观察序列偏离正态分布
的情况，并可以观察是否存在胖尾现象，同时可以辅助确定阈值的大小。
Loretan与 Philips［16］ 提出选择阈值的原则，一般不能太小，超限点的数目不能超出样本长度 T的 10%。
② 平均超限函数法
把超出阈值的超限点的平均超越量定义为平均超限函数(Mean Excess Function，MEF) ，即 e(u)= E(X
－ u | X ＞ u) ，u≥ 0，样本超限函数为:
en(u)= ［∑
n
i = 1
(Xi － u)I(Xi ＞ u) ］∑
n
i = 1
I(Xi ＞ u) (11)
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山东财政学院学报 2011 年
其中，I(Xi ＞ u)=
1，Xi ＞ u
0，{ 其它
对于 GPD分布，v ＞ u，e(v)= ［σ + k(v － u) ］/(1 － k) ，0 ＜ k ＜ 1，则 GPD 分布的 MEF 在 u之上应
该是具有正斜率的直线，这样也可以对是否具有胖尾现象进行直观的判断。公式(11)与公式(8)的含义完全
相同，只是表述方式略有不同。
如果计算右尾分布和分位点 VaR，直接使用汇率收益序列即可。如果要计算左尾分布与分位点 VaR，首先
要把汇率收益序列取相反数以转换为汇率损失序列。为了便于说明，在此以欧元兑美元汇率为例介绍具体计
算过程，其它三种汇率只给出计算结果。
欧元兑美元汇率数据的样本经验分布相对于正态分布的 Q － Q图见图 2，在分布的左右尾的相同概率处，
经验分布的分位点的绝对值比相应的正态分布分位点的绝对值均大，说明经验分布左右尾都存在胖尾现象。
为了对比阈值选取对实验效果的影响，我们按分位点选取阈值，即对于欧元兑美元汇率数据的右尾取 0． 90，
左尾取 0． 10;对于其它汇率的阈值分位点不断变化选取，则超限点数也不断变化。具体数据见表 1。
表 1 GPD选取阈值对应的分位点及超限点数
汇 率
左 尾 右 尾
阈值分位点 超限点数 阈值分位点 超限点数
Eur2usd 0． 10 151 0． 90 151
Eur2gbp 0． 08 121 0． 92 121
Gbp2usd 0． 06 91 0． 94 91
Jpy2usd 0． 05 76 0． 95 76
(2)GPD的分布参数估计
对于欧元兑美元汇率数据设定阈值分位点后，超限点数为 151 个，采用极大似然法估计参数值，得到左尾
形状参数 k = 0． 1445，其标准差 Se(k)为 0． 0847;尺寸参数 σ = 0． 0037，其标准差 Se(σ)为 4e － 04。右尾形
状参数 k = 0． 0500，其标准差 Se(k)为 0． 0828;尺寸参数 σ = 0． 0039，其标准差 Se(σ)为 4e － 04。其它几种
汇率的 GPD 参数估计值见表 2。
表 2 GPD参数估计值
汇 率
左 尾 右 尾
k Se(k) σ Se(σ) k Se(k) σ Se(σ)
Eur2usd 0． 1445 0． 0847 0． 0037 4e － 04 0． 0500 0． 0828 0． 0039 4e － 04
Eur2gbp 0． 1590 0． 1133 0． 0036 5e － 04 0． 2022 0． 1232 0． 0029 4e － 04
Gbp2usd 0． 2424 0． 1375 0． 0037 6e － 04 0． 1249 0． 1374 0． 0047 8e － 04
Jpy2usd 0． 4176 0． 1782 0． 0033 7e － 04 0． 0930 0． 1539 0． 0037 7e － 04
估计 GPD分布与超限数据的拟合效果:图 3 为概率密度拟合情况，图 4 为累积概率分布拟合情况，直观
观察拟合情况较好。
表 3 GPD估计参数的 95%置信区间
汇 率
左 尾 右 尾
K － L K － U σ － L σ － U K － L K － U σ － L σ － U
Eur2usd － 0． 0214 0． 3104 0． 0029 0． 0046 － 0． 1123 0． 2123 0． 0031 0． 0049
Eur2gbp － 0． 0631 0． 3810 0． 0027 0． 0047 － 0． 0392 0． 4436 0． 0022 0． 0039
Gbp2usd － 0． 0271 0． 5120 0． 0027 0． 0052 － 0． 1445 0． 3943 0． 0034 0． 0066
Jpy2usd 0． 0683 0． 7668 0． 0022 0． 0049 － 0． 2086 0． 3946 0． 0025 0． 0054
其中参数估计标准差通过 BootStrap 抽样模拟方法 1000 次获得，见图 5。参数估计分布相对于正态分布
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的 Q － Q图见图 6。从图中可见，参数的分布基本与正态分布吻合。我们同时计算出参数的 95%置信区间，
见表 3。
(3)计算汇率在险价值 VaR
利用上述估计的 GPD分布的分布函数的反函数可以计算出任意分位点的数值，按照风险管理的一般需
要 99%分位点即 VaR是我们最感兴趣的。而且根据上述参数的 95%置信区间，可以分别上界和下界的分布
函数，从而计算出 VaR的 95%置信区间。具体结果见表 4。
表 4 左尾 1%及右尾 99%分位点 VaR的 95%置信区间
汇 率
左 尾 右 尾
下界 分位点 上界 下界 分位点 上界
Eur2usd － 0． 0463 － 0． 0294 － 0． 0198 0． 0190 0． 0232 0． 0384
Eur2gbp － 0． 0313 － 0． 0285 － 0． 0169 0． 0154 0． 0269 0． 0272
Gbp2usd － 0． 0443 － 0． 0429 － 0． 0207 0． 0216 0． 0375 0． 0389
Jpy2usd － 0． 0460 － 0． 0451 － 0． 0240 0． 0182 0． 0303 0． 0310
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四、分析与结论
(1)因为我们针对四种不同的汇率收益序列采用了不同的阈值，虽然每个序列的长度 T 是相同的，但是
超限点数是不同的。从表 2 和表 3 可以看出，选择较高的阈值，使得超限点数量减少，估计偏差降低，但是参
数估计的标准差却增大。反之则反之。因此，必须在估计标准差和有偏性两个方面进行权衡。根据实际需
要，反复试验，以便设定合理的阈值。
(2)这些汇率收益序列都有不一样的左右尾分布，即分布具有不对称性。极值理论可以针对左右尾分开
处理，是该方法的一个有利的特点。GPD分布的形状参数 k 均大于 0，说明所有汇率收益序列的左右尾都具
有一定程度的胖尾现象。尾部形状参数越大，尾部就越胖，相应地说明极端事件发生的概率越大。
(3)胖尾分布的尾部指数 α = 1 / k，分布的阶矩最多 α阶矩是有限的。对各个汇率收益序列分布参数估计
的左右尾均满足 k≤0． 5，那么 α≥2，所以各个汇率收益分布均存在二阶矩，即分布的方差是有限的。
(4)欧元兑英镑汇率的分布形状参数 k右尾比左尾大，也就是说右尾更胖一些。这表明这种汇率发生极
端高收益(牛市)比发生极端低收益(熊市)的机会更多一些。然而，其他三种汇率正好相反，左尾比右尾更胖
一些，表明这几种汇率发生极端低收益(熊市)比发生极端高收益(牛市)的可能性更大。
(5)从左尾的分布来看，欧元兑美元汇率的胖度最小，而日元兑美元汇率的胖度最大。说明日元兑美元
汇率经历的极端不利事件相对较多，外汇的投资风险相应较大。这有可能与近 6 年来日本的经济形势持续低
迷有一定的关系。
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Estimating the VaR of Exchange Rates Using Extreme Value Theory
LI Xiang-dong，LIU Zhao-cheng，LIU Xi-yu
(1． School of Finance，Shandong University of Finance，Jinan 250014，China;
2． School of Management and Economics，Shandong Normal University，Jinan 250014，China;
3． Department of Business Administration，Shandong Professional School，Jinan 250014，China)
Abstract:An evaluation of the logarithm gains of the Euro against 4 foreign currencies including the U． S． dollar is
made，using the POT model of the Extreme Theory． In order to compare the impact of the threshold value selection
on the estimated consequence，we change the threshold quantile of different exchange rates，then a corresponding
change of the number of the extreme points will be shown． GPD distribution with estimated parameters，upper and
lower bounds of the distribution function are constructed to calculate the VaR of the 95% confidence intervals． Anal-
ysis on the distributional characteristics of several exchange rates is delivered based on the computational results． Re-
sults show that the left and right tails in the distribution of the logarithm gains of foreign exchanges are asymmetric，
both having a fat tail to some degree，and a secondary moment． The distribution presents finite variance．
Key words:Extreme Value Theory (EVT) ;foreign exchange rate return;Value － at － Risk(VaR) ，POT model;
tail index
(责任编辑 时明芝)
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山东财政学院学报 2011 年
