固定收益证券
李磊宁
中央财经大学金融工程系
第五讲:债券定价
内容提要
收益率曲线与利率期限结构
1
债券价格的连续形式
2
利率期限结构变动下债券价格波动的测量
3
收益率曲线和利率期限结构
基本概念
收益率曲线
利率期限结构
利率期限结构的构造
利率期限结构形状及变化的几种理论解释
预期理论
流动性偏好理论
市场分割理论
收益率曲线和利率期限结构
基本概念
收益率曲线——在由时间（横轴）和到期收益率（纵轴）构成的坐标系中，把观察到的品质相同、剩余时间不同的债券的到期收益率的点连成一条曲线
收益率
到期期限
收益率
到期期限
收益率
到期期限
收益率
到期期限
收益率曲线和利率期限结构
基本概念
收益率曲线（移动方式）
平行移动
斜向移动
正碟式移动
负碟式移动
到期时间
到期时间
收益率
到期时间
原曲线
新曲线
收益率
原曲线
新曲线
收益率
新曲线
原曲线
斜向移动
正碟式移动动
负碟式移动动
新曲线
原曲线
平行移动
收益率
到期时间
收益率曲线和利率期限结构
基本概念
利率期限结构——零息国债收益率曲线被称为利率期限结构，构成资本市场利率水平和结构的基石
收益率曲线和利率期限结构
利率期限结构的构造
STEP 1:利用“息票剥离法”构造“主干点”
%
%
%
%
%
到期收益率
8%
5
E
%
4
D
%
3
C
6%
2
B
5%
1
A
债券价格
票息率
剩余期限
债券的信息
设定为Ri（i=1,2,3,4,5），Ri表示第i期的现金流所对应的利率，并构造下列方程组
收益率曲线和利率期限结构
如何利用债券的信息“剥离”出利率期限结构？
R1=%，R2=%，R3=%，R4=%，R5=%
收益率曲线和利率期限结构
利率期限结构的构造
STEP 2:运用各类“插值法”将主干点之间的空隙“填充”，形成完整的利率期限结构
所谓“曲线插值”，就是已知一批数据点（比如利率期限结构）是准确的，而这些数据点所表现出来的函数关系是未知的。人们在这种情况下要构造一个近似的函数关系，使得观察到的每一个数据点都在这个近似的函数关系所表现的曲线上。
收益率曲线和利率期限结构
利率期限结构的构造
“曲线拟合”，就是认为观察到的数据点可能并不准确（债券收益率常常出现的异常值就是例子），人们在这种情况下要构造一个近似的函数关系，该函数关系能够“宏观地”反应出这些数据点背后所隐含的数量变化规律
设某一期限的即期利率为i0,n，剩余期限为n的债券价格为B0,n，该债券的面值为Bn,0，则可以由
收益率曲线和利率期限结构
收益率曲线和利率期限结构有什么不同?
设想有一只债券B*正在发行，该债券期限为2年，票息率为12%，发行价格为，到期收益率为%。简单比较一下B与B*，人们起初会认为B*比B价格“昂贵”（yB> YB*）
收益率曲线和利率期限结构
收益率曲线和利率期限结构有什么不同?
但是,运用利率期限结构为B*定价的结果表明债券B*的市场价格符合当前的利率期限结构。
推论:其他方面相同，票息率不同的债券的到期收益率可以有所不同。
收益率曲线和利率期限结构
贴现因子、债券现金流、债券价格
假设手中有n只期限不同的债券，期限分别为T=1，2，…，n，B(t)代表剩余期限为t期的债券价格，用c1(t), c2(t),…, ct(t)分别代表t期债券的第1，第2，…，第t期的现金流，dt代表第t期的贴现因子，我们可以构造包含n个未知数的n元方程组
B= C d
d= C-1 B
B≡债券价格矩阵，C≡债券现金流矩阵，d≡贴现因子矩阵
96
10
3
C
10
2
B
99
10
1
A
债券价格
票息率(%)
剩余期限
债券
收益率曲线和利率期限结构
利率期限结构形状及变化的几种理论解释
预期理论(The expectation theory)
预期理论认为利率期限结构完全取决于市场对未来利率的预期
“上升”的利率期限结构表明市场预期短期利率在未来会上升；
“平坦”的期限结构表明市场预期短期利率将不变
“下降”的期限结构则表明市场预期未来的短期利率将下降。
预期理论认为长期债券是短期债券的理想替代物，长短期债券取得相同的收益率
收益率曲线和利率期限结构
利率期限结构形状及变化的几种理论解释
预期理论(The expectation theory)
如果以2年期和1年期利率分别代表长期利率与短期利率，它们之间应该存在如下关系：
收益率曲线和利率期限结构
利率期限结构形状及变化的几种理论解释
预期理论(The expectation theory)
假如当前1年期利率为6%，市场普遍预期1年后的利率为7%，那么，2年期的即期利率应该是[（1+6%）（1+7%）]1/2-1≈%。
如果2年期市场利率低于这一水平，比如%，即
[（1+6%）（1+7%）]1/2-1＞%
2年期借款利率便宜，1年期借款利率昂贵，借款者势必放弃1年期借款而转向2年期借款，而贷款者则愿意放弃2年期贷款转向1年期贷款，结果是1年期贷款利率下降，2年期贷款利率上升，最后市场重新回到均衡。
收益率曲线和利率期限结构
利率期限结构形状及变化的几种理论解释
流动性偏好理论（liquidity preference theory）
流动性偏好理论认为短期债券的流动性比长期债券要高，因为到期期限越长，利率变动的可能性越大，利率风险就越大，投资者为了减少风险，偏好于流动性较好的短期国债。而对于流动性相对较差的长期国债，投资者要求给予流动性报酬(或称风除酬金)。
流动性偏好理论在预期理论的基础上为预期远期收益率加上了流动性溢价，以改进预期理论忽视人们对不同期限产品流动性偏好的纰漏
收益率曲线和利率期限结构
利率期限结构形状及变化的几种理论解释
流动性偏好理论（liquidity preference theory）
以1年期代表短期，2年期代表长期，两者的关系应该是
L代表流动性溢价
收益率曲线和利率期限结构
利率期限结构形状及变化的几种理论解释
流动性偏好理论（liquidity preference theory）
长期债券投资的资本利得或者损失
滚动的短期债券投资的资本利得或者损失
时间
图中横轴代表时间，纵轴代表债券价格，虚线表示投资长期债券收益，实线表示投资短期债券收益
收益率曲线和利率期限结构
利率期限结构形状及变化的几种理论解释
市场分割理论（market segmentation theory）
市场分割理论认为债券市场由具有不同投资要求的投资者所组成的 。每类投资者都习惯于使其资产寿命和债务寿命相匹配的投资活动，因而每类投资者固定偏好于收益率曲线的特定部分，所以收益率曲线所代表的各个期限的利率之间没有内在的联系，各种利率都具有相对的独立性。
长期利率只取决于长期资金的供求，短期利率只取决于短期资金的供求。利率期限结构则取决于短期资金市场供求状况与长期市场供求状况的比较，或者说取决于各类资金供求曲线交叉点利率之间的对比。
收益率曲线和利率期限结构
利率期限结构形状及变化的几种理论解释
市场分割理论（market segmentation theory）
如果长期资金供求曲线交叉点利率＞中期资金供求曲线交叉点利率＞短期资金供求曲线交叉点利率，期限结构呈上升趋势；反之，则呈下降趋势；如果三者相等，则呈现平行形状。
收益率
收益率
剩余期限
剩余期限
债券价格的连续形式
零息债券
从远期利率的观点：
从即期利率的观点：
附息债券
附息债券的价格是未来债券各次现金流按照各自的贴现因子贴现后加计的总和
浮息债券与逆浮息债券
票面利率随着基准利率的变动而正向变动的债券叫做浮息债券。
票面利率=基准利率+利差，假设三者的符号分别是yt、it、s，则yt=it+s。
yt就是各期市场要求的贴现率，因为浮息债券的票面利率的设定要求就是使得票面利率与市场要求的贴现率相等，该贴现率由基准利率与市场要求的利差组成。
浮息债券与逆浮息债券
假设浮息债券有n期，令Bft代表在第t期时浮息债券的价格(t=1,2,…,n-1,n)，那么刚刚发行时债券价格的表达式为
浮息债券的现金流
t0
t1
t2
t3
tn-1
tn
浮息债券与逆浮息债券
在第n期期末，也就是浮息债券的期满日，债券价格（包含累计票息）就是面值加上最后一次票面利息，即
在第n-1期期末，债券价格（扣除累计票息后）等于
其全价格等于
在第1期期末，债券价格（扣除累计票息后）等于
其全价格等于
浮息债券与逆浮息债券
在第0期，债券价格等于
票息日浮息债券价格的决定
在所有的票息日（包括初始日和期满日，以及中间的利率重设日），浮息债券的净价格等于其面值，全价格等于面值加上本期的累计票息。
浮息债券与逆浮息债券
任意两个票息日（t,t+1）之间的任意一个时间点s处（ tst+1 ）的价格自然由下式确定
t
s
t+1
Bfs
100(1+yt)
Syt+1
任意两个票息日之间的浮息债券价格
浮息债券与逆浮息债券
可以把浮息债券的价格运动看作是周而复始的零息债券价格的运动。每当一个票息日来临，都可看作是前一个零息债券即将结束，而另一个新的零息债券即将诞生。
浮息债券的久期完全失去了久期的第二种含义，因为票息率随着市场利率而变动的浮息债券并不存在利率风险。
浮息债券的久期只是目前到下一个票息日的期限，其久期的最大值就是两个票息日之间的时间距离。比如，浮息债券的利率重设日为一年一次，那么久期最大值就是1年；如半年一次，浮息债券的久期就是年。
浮息债券与逆浮息债券
逆浮息债券是票面利息随着基准利率的变动而反向变动的债券。逆浮息债券的票面利率=约定的固定利率-基准利率。
假设一只期限为3年的逆浮息债券，约定的固定利率为10%，选择sibor利率为其基准利率，一年利率重设一次。如果第一年年初sibor=%，那么第一年逆浮息债券的票面利率=10%%=%；如果第二年年初确定sibor=%，那么第二年逆浮息债券的票面利率=10%%=%，等等。
逆浮息债券的票面利率一般都有上限和下限。本例中，其上限就是10%，此时基准利率达到最小值（名义最小值为零，不可能为负数）；下限为零。
浮息债券与逆浮息债券
逆浮息债券和浮息债券合在一起，可以构成一只固定利率的普通债券。
假设前例中的逆浮息债券的面值为50元，我们另外找到一只面值50元的浮息债券，该浮息债券期限同样是3年，票面利率=基准利率（sibor）+2%
那么这两只债券加在一起的票面利率=（约定的固定利率-基准利率+基准利率+2%=10%-基准利率+基准利率+2%）/2=12%/2=6%。
浮息债券与逆浮息债券
我们用一只面值50元的浮息债券和一只面值50元的逆浮息债券“合成”了一只票面利率为6%，为期3年的固定利率普通债券。
如果例中那个固定利率债券的市场价格当前是106元，而当前正好是例中浮息债券的票息日（前面提到过这一天其价格等于面值），那么今天面值为50元的逆浮息债券的价格就是106-50=56元，折算成面值为100元的逆浮息债券的价格就是256=112（元）。
浮息债券与逆浮息债券
如果今天就是浮息债券的票息日，意味着此时其久期等于1，而市场上价格为106元，剩余期限为3年，票息率为6%的债券久期大约为，用Dif代表逆浮息债券的久期，那么根据组合久期的算法，逆浮息债券的久期由下式确定
浮息债券与逆浮息债券
利率变化通过两个渠道强化了逆浮息债券的价格波动效应
√当利率上涨时，逆浮息债券的票面利率减少，减少了现金流的数量；另一方面随着贴现率提高，现金流的数量进一步减少。
√当利率下降时，一方面逆浮息债券的票面利率增加，进而增加了现金流的数量，另一方面随着贴现率的下降，现金流的数量会有增加。
浮息债券与逆浮息债券
逆浮息债券的久期已经失去久期的第一种含义（债券现金流发生的加权平均时间），而只能用久期的第二种含义解释。
逆浮息债券的久期不仅大于浮息债券的久期，而且大于合成的固定利率债券的久期。
久期理论的局限
久期理论建立在扁平期限结构和其平行移动的基础上
剩余期限
利率
原来的期限结构
新的期限结构
利率期限结构变动下债券价格波动的测量
关键利率基点值与关键利率久期
关键利率（key rate）
在一个时点上，利率期限结构某些重要期限的利率品种对其他的利率品种有重要影响，这些利率品种被称为“关键利率” 。
利率
剩余期限
３０年
２年
５年
１０年
利率期限结构变动下债券价格波动的测量
关键利率基点值与关键利率久期
关键利率的变动（key rate shift）
一个关键利率的变动以均匀递减的方式影响相邻的两个关键利率点
0
5
10
15
20
25
30
2y
5y
10y
30y
2
利率期限结构变动下债券价格波动的测量
关键利率基点值与关键利率久期
关键利率基点值：一个关键利率变动时百万面值（或者百元面值）债券的价格变动量。 Key rate 01s:the key rate equivalent of DV01
关键利率久期：一个关键利率变动时债券价格的变动率。 key rate duration: the key rate equivalent of duration
关键利率风险暴露：债券所面临的主要的利率风险。Key rate exposure
例子: ３０年抵押贷款的关键利率暴露（１０万）
Total
%
After30-shift
%
After10-shift
%
After 5-shift
%
After 2-shift
贷款初始价值
%of total
Key rate dur
Key rate 01s
$
当前利率期限结构水平形状，５％。每６个月支付３２５０元,利率上涨一个基点时债券价格的变动。
基点价值与（修正）久期的关系
Example: key rate exposure of
5-key rate 01 is
-()=
5-key rate duration is
10*
Key rate exposures decompose a sensitivity measure in to component sensitivities.
关键利率风险暴露把总的利率敏感度分解到各个关键利率品种身上。
费雪·威尔久期（Fisher and Weil Duration）
期限
原有的利率期限结构
平移后的利率期限结构
α
费雪·威尔久期（Fisher and Weil Duration）
考虑到各个期限的利率不同，我们需要对麦考利久期进行适当变形。费雪·威尔久期（用DFW代表）考虑到这种情况，其表达式为
式中B代表债券价格，i(0,t)代表一个利率期限结构，t=1,2,…,n。n是债券剩余期限。Cn代表第n期的现金流。
当利率期限结构发生平行移动时，债券价格的变动率为
期限
即期利率
原有的期限结构
新的期限结构
比如：如何在费雪·威尔久期中反映类似这样变动呢？
常见的办法是用利率相对变化率这一变量来体现期限结构的这种变动。如果用K（t）代表利率相对变化率，它反映了第t期的利率相对于第1期的利率变化的比例。比如，如果第1期利率上涨了10个基点，而第3期利率仅上涨了6个基点，则此时K（3）=。由于第1期的K等于1，所以我们用Kt-1来代表第t期的K，即K（t）=Kt-1。K（t）可以是正数，负数，可以大于1，也可以小于1。这样以来，当期限结构发生非平行移动时，费雪·威尔久期的形式为
利率期限结构变动下债券价格波动的测量
趋势久期（ Directional duration ）
考虑了不同期限的利率的不同变动趋势的久期。
趋势久期是债券现金流发生时间的加权和，权数是各期现金流的趋势权重。
将利率结构的变化可以理解为由两个部分组成：一是常态化的变化，二是趋势性的变化 。
这里dλ可以代表一个微小的常态化增量，at作为主观预测的量（可以是正数，也可以是负数或者是零）构成一个n维向量，即a≡a1,a2,…,aT,
利率期限结构变动下债券价格波动的测量
趋势久期
趋势久期公式
利率期限结构变动下债券价格波动的测量
趋势久期
债券价格变动率公式
利率期限结构变动下债券价格波动的测量
2006年为例，如果年初某机构持有10年期长期国债并且预计到国债收益率曲线的上述变化（1年期以下品种上移33个基点，7年期以下品种收益率平均上移20个基点，10年期以上品种收益率则平均下移10个基点），该机构在计算矢量久期时，不妨可以将趋势向量设定为a≡a1,a2,…,aT=1,, , , , ,,0,,
把上述趋势系数加入到久期计算式子中后，会大大缩小久期各个计算因子的代数和，结果计算出来的矢量久期远远小于麦考雷久期。这表明尽管短期利率上升剧烈，但由于收益率曲线属于扁平化的变化，长期利率上涨温和，甚至有些区间还下降，所以持有长期债券有一定的风险，但风险程度不如按照一般久期理论计算出来的那样大。
利率期限结构变动下债券价格波动的测量
修正久期、威尔久期和矢量久期 的比较案例
本例所选取的评估日为2006年2月28日。通过Wind资讯或中国债券网等数据库获取当日的利率期限结构数据，当日的利率期限结构如图所示。
评估基准日（2006-2-28）的利率期限结构
（1）根据传统久期进行债券价格的利率敏感性分析
假设评估日的即期利率为各期即期利率的平均值%。预测利率期限结构将向上平移10个基点，如图所示。
根据利率期限结构贴现未来的现金流，加总后得到债券价值
根据连续复利形式的麦考利久期计算公式，有
则修正久期为
即期利率变动后重新计算债券的价值为
本例采用计算相对误差的方法衡量久期测度的准确性。
本例采用计算相对误差的方法衡量久期测度的准确性。从表可知债券价格的相对变动为
在线性近似时，这一相对变动由修正久期与利率期限结构微小变动
乘积计算得到，即
则根据传统久期进行线性估计的相对误差为
（2）根据威尔久期进行债券价格的利率敏感性分析
首先，将非连续的即期利率转化为连续复利，如表5-6第5栏所示。在本例中，我们假设连续复利即期利率的变动幅度为10个基点，即，如图5-19所示。
接着，利率期限结构贴现未来的现金流，加总后得到债券价值
则该债券的威尔久期为
利率期限结构平行变动后重新计算债券价值为。
在线性近似时，这一相对变动由威尔久期与利率期限结构微小变动
乘积计算得到，即
则根据威尔久期进行线性估计的相对误差为
（3）根据矢量久期进行债券价格的利率敏感性分析
在本例中，我们仍假设连续复利即期利率的变动幅度为10个基点，即。若投资者认为，尽管即期利率存在上升趋势，但是新的利率期限结构会发生非平行变动，变动后利率期限结构如表5-7的第6栏所示，即短期和长期的即期利率上升幅度会较大，而中期即期利率上升幅度较小。据此，可以计算出方向系数向量如表5-7第8栏所示。由此，采用与计算威尔久期类似的步骤，可以计算出矢量久期为
利率期限结构非平行变动后重新计算债券价值为
同理，在考虑利率期限结构的非平行移动时，得债券价格的相对变动为
在线性近似时，这一相对变动由矢量久期与利率期限结构微小变动
乘积计算得到，即
则根据矢量久期进行线性估计的相对误差为
