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黼谭瑞林 刘月芬 河北经贸大学数学与统计学学院
[摘 要]微积分在经济理论和经济管理的定量分析中起着十分重要的作用。本文介绍了其中的一些应用：1．利用重要
极限推导出连续复利公式；2．导数在边际和弹性理论中的应用；5．微分方程在信息传播问题和价格的时问路程问题中的应用。
[关键词]重要极限 导数 微分方程 经济分析
微积分在经济分析中有着重要的应用 ．它为解决以 ”变量”为
研究对象的大量问题提供 了一种深刻的思想方法 ，是运用定量 分
析方法研究经济理论 和管理问题的有效工具 。本文介绍了重要极
限 导数 微分方程在 经济 分析 中的一 些应 用。
一
、 重要极限与连续复利公式
利用重要极限 ( + r 可以推得连续复利公式 。
设本金为A 期利率为r．每期结算一次．第一期终了本利和
为
r 《l+，)
如果将第一期终 了的本利 和为第二期的本金 ．第二期终 了的
本利和 为
r ^(1+，) +一
依 此类推 ．到第 t期终 了的本利和为
^ (1 r
现将每期平均分成 m 次结算 ．此时每次结算 时利率 是 ．第
一 期结算时共结算 m 次 ．所 以满第一期的本利和是 4 焉0+ ．满
两期时共结算2m次．满两期的本利和是 焉(1+ ．以此类推．
满 t期的本利和是4 (^1’ 。
若将每期结算的次数无限增大 (m ∞ )．也就是可 以瞬时结
算 ．则满 t期的本利和为
li
—
raAo(1+ r)~,
r *
4 既为连续复利公式。使用此公式不仅可以计算所谓
连续复利问题．此公式还反映了现实世界中一些事物增长和衰减
的数量规律。如设备 的折旧 ．人 口的增长等。例 如设有一机器原
来价值 1 0万元 ．因逐年损耗 ．每年价值减少 0 9％ ．利用此公式
可以知道 1 0年后 ．该机器的价值大约是 91 3 93 48元。再如假如
已知人 口的自然增长率 (出生率与死亡率之差)为 1％ ，利用此
公式我们可 以知道大约在 60年后人 口将翻一番。
二、 导数与边际分析和需求的价格弹性分析
1 导数与边际分析
设函数 ／∽ 是可导函数．则厂( )称为 )的边际函数。
在西方经济学中．它的含义是：当 时．若自变量 再增加一
个单位．函数 将增加的量的近似值。经济学中有边际效用 商
品的边际替代率 边际产量 边 际成本 边际收入 ，边际利润等。
《1)边际效用
在效用论中效用是指消费者在消费商品时所感受到的满意程
度 。基数效用论者所说的总效用 是指消费者在 一定 时间内从
一 定数量的商品中所得到的效用量的总和。假定消费者对一种商
品的消费数量为()，则总效用函数为TU ～， j，相应的边际效用函
数为 塑
。MU是指消费者在一定时间内增加一单位商品
的消费所得到的效用量的增量。边际效用具有递减的规律．这一
点可以从 ：H 。体现 。
(2)商品的边际替代率
序数效用论者所说的效用函数表示某一商品组合给消费者所
带来的效用水平。假定消费者只消费两种商品．则效用函数为
，．其中 、 表示两种商品的数量 ： 为效用水平。在
维持效用水平不变的前提下 (既：U 常数)．消费者增加一单位
某种商品的消费数量时所需要放弃另一种商品的消费数量．被称
为商品的边际替代率 (MRS)。商品 1对商品2的边际替代率的定
义公式 为 =： 。
l
(3)边际产量
在短期 生产理论 中 ．在 资本投入 量 固定 时 ．短期 生产 函数
，《五)表示：由劳动投入量 变化所带来的最大产量 的变化。其中
p表示劳动 的总产量 ．点表示劳动投入量。劳动的边际产量 指
增加一单位的劳动投入量所增加的产量．其定义公式为 =筹。
当劳动投入量 固定时 ．资本的总产量 可看作是资本投入量 K 的
函数．既短期生产函数 ／ )．资本的边际产量 ^ 指增
加一单位的资本投入量所增加 的产量 。
(4)边际成本
在成本论中．总成本函数c )反映的是厂商的总成本C与
生产水平 Q (产量 )间的关系。边际成本 矗 l 表示产量为
p时．再增加一个单位产品的生产 总成本将增加的数量。若产
品的单价为P ．则当 P时．意味着此时扩大生产是盈利的；
当 MC》P时 ．意味着此时扩大生产反而是亏损的。
《商场现代化》2008年 2月 (上旬刊)总第529期
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字 木 研 讨
(5)边际收入和边际利润
设销售某种商品9 单位时的总收入函数为置 (曾)，则
撇 《p)称为销售量为9单位时的边际收入 ．其经济含义是：
在销售量为 单位时．再增加一单位产品销售总收入所增加的
量。设销售某种商品9单位时的利润函数为上 上 )．则 称为
销售量为p单位时的边际利润。
(6)利润最大化的均衡条件
厂商的利润等式为： 》=露 一 9)
由微积分知识可得 ，满足上式利润最 大化 的条 件是 ：
= R 一 ㈣ = 一MC=0且 一矗 《0
既厂商应该选择最优的产量使得边际收入等于边际成本．既
MC ，且边 际收入曲线 的斜率小于边际成本曲线 的斜率 ．既
· 埘 r．这样．厂商才能获得最大的利润。习惯上往往将利润
最大化的均衡条件简称为 MC。这个均衡条件有时也被称为
利润最大或亏损最小的均衡条件。这是因为当厂商实现 MC
的均衡条件时，并不意味着厂商一定能获得利润．如果此时厂商
是获得利润的 ，则厂商所获得的一定是相对最大 的利润 ；相反 ，
如果此 时厂商是亏损 的 ．则厂商所遭 受的一定是相 对最小 的亏
损 。
2 导数与需 求的价格弹性
设某种商品的需求函数为g f(P)．其中0表示需求量．户表
示价格。~,U ed=一 P称为需求的价格弹性
。 其经济含义是：在
价格为，的水平上．若价格上升 (或下降)1％．需求量将下降 (或
上升)ed％。需求的价格弹性反映了价格变化时．需求量变化的灵
敏程度。当 >l时 ．说 明需求量 变化的幅度大于价 格变化的幅
度．此时称该商品需求对价格是富有弹性的：当 <l时．说明需
求量变化 的幅度小于价格变化的幅度 ．此时称该 商品需求对价格
是缺乏弹性的 ．当 =l时 ．说 明需求量变化的幅度等于价格变化
的幅度．此时称该商品需求对价格是单位弹性的。
需求的价格弹性对于厂商进行市场分析预测和商品定价有重
要参考价值。实际的经济生活中会发生这样 一些现象 ：有的厂商
提高自己的产品价格．能使自己的销售收入得到提高．而有的厂
商提 高自己的产品价格 ．却反而使 自己的销售收入减少了。这意
味着．以降价促销来增加销售收入的做 法．对有 的产品适用 ．对
有的产品却不适用。这些现象可以从需求的价格弹性与销售收入
的关系得到解 释。
设总收入函数R=p-口．需求函数为Q=，( ．其中，为价格，口
为销售量或需求量．则总收入冗可写成价格，的函数R _P ．求
对的导数可得：
l=，(
当 《l时 ， dR>0
． 表明总收入函数 P0 R P．，( 是单调递增 当 《l时， ．表明总收入函数 ·，( 是单调递增
的，提高价格会使厂商的销售收入增加，降价会使厂商的销售收
入减少．既商品的价格与销售收入成同方向的变动。
当时 >l，筹<o表明总收入函数霞=P-，(尸)是单调递减的，
“商场现代化 2008年2月 (上旬刊)总第529期
提高价格会使厂商的销售收入减少．降价会使厂商的销售收入增
加．既商品的价格与销售收入成反方向的变动。
三、微分方程在经济上的应用
微 分方程在经济数量分析 ，特别是动态经济模型 中有重要用
途 ，现举 两例说 明之。
例 1(信息传播问题)这里所指的信息．可以是一条新闻．或
是市场上某项新产品的消息．也可以指有待于推广的技术革新成
果。设在 t时知道某信息的人数为P0)．不知道这一信息的人数为
Ⅳ一 )， )对时间的变化率和P(f)成正比．也和Ⅳ一，(f)成正
比，比例系数K>0．求P(O的函数表达式。
依照题意有：警； ， (Ⅳ一，)
解此可分离变量的微分方程可得 ：，(，) (其中c为
任意 常数 )
例如．信息为某商品的调价．起初有 1 O％ 的市民知道了这一
信息．2小时后有2 596的市民知道了这一信息．那么多长时间有
75％ 的市民知道这一信息呢7由上式计算可知 6小时全市有75％
的市 民了解到商 品调价 的信息 。
例 2 (市场价格的时间路程 )已知某商品在市场上供给 函数
Q和需求函数 分别为：Q --c十P· ： a—P·b．其中户为价
格． 6-c’d均为大于琴的常数。令均衡价格为≯．当Q； 时解得
≯ 等。在市场上．Q， 。P都随时间而变化．假定在变化中．
价格对时间的变化率总和当时的超额需求 ～Q)成正比，比例
系数K>0(调节系数)．求价格的时问路程。
dP 鬈《
一 ， 鬈 ⋯P∞一(一c+P 1
依照题意可得 ：删
，
= 【d+c)一K(b+d)P
既警+K(b+d)P；K(a
解此一阶线性微分方程可得尹(1) + ，e ’枷 ．其中c为
任意 常数
令f=0时初始价格为户(O)．则有J，(r)：≯+【，(0)一 ．
称为市场上价格的时问路程。 P(O P表明．无论初始价格如
何．随着时间的推移．价格将趋近于均衡价格 。
类似 的应 用问题 还有很多很多 ．在经济活动 的定量分析 中，
微积分起着十分重要的作用，愿我们的广大学生和经济工作者．
学好用好微积分这个数学工具 ，更好 的为祖国的经济建设 服务。
参考文献：
[1】高鸿业：西方经济学[M]．中国人 民大学出版枉，2006
[2】杨学忠：微积分[M]．中国商业出版社，2001
[3】王卓等：经济数学基础——微积分，电子科技大学出版社，
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